数学分析-教学大纲.pdf

本课程是重要的理论基础课 其任务是为学生打下良好的分析数学基础并为 后继其他数学类课程和专业学习提供知识和能力 培养学生严谨的治学作风 知识方面包括极限论 单变量微积分学 级数论 多变量微积分学 能力方面包括抽象思维能力 严密的逻辑推理能力 空间想象能力 分析 综合 猜测与判断的能力 理论联系实际 解决某些实际问题的能力 以及自学 能力 教学内容 教学时数 第一章 实数集与函数 10 学时 第二章 数列极限 8 学时 第三章 函数极限 16 学时 第四章 函数的连续性 8 学时 第五章 导数与微分 12 学时 第六章 微分中值定理及其应用 20 学时 第七章 实数的完备性 10 学时 第八章 不定积分 14 学时 第九章 定积分 20 学时 第十章 定积分的应用 12 学时 第十一章 反常积分 6 学时 第十二章 数项级数 12 学时 第十三章 函数列与函数项级数 8 学时 第十四章 幂级数 8 学时 第十五章 傅里叶级数 10 学时 第十六章 多元函数的极限与连续 10 学时 第十七章 多元函数微分学 12 学时 第十八章 隐函数定理及其应用 12 学时 第十九章 含参量积分 10 学时 第二十章 曲线积分 8 学时 第二十一章 重积分 26 学时 第二十二章 曲面积分 15 学时 第二十三章 流形上微积分初阶 14 学时 其他 机动 复习等 8 学时 1 函数 极限 连续 理解极限的基本思想 掌握极限的定义 会根据定义证明极限存在和求极限 掌握极限的四则运算法则 掌握两个重要极限 理解无穷大量 无穷小量及阶的 概念 深刻理解函数连续性的概念 会判别函数的间断点 会用极限 连续等数 学语言论证问题 理解并掌握实数基本定理及其证明 学会用这些实数定理证明 问题 理解掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质及其证明方法 并 学会用这些性质证明问题 2 一元函数微分学 理解导数与微分的概念 理解导数的几何意义 物理意义 理解微分的几何 意义 理解可导性与连续性之间的关系 掌握导数与微分的四则运算法则 掌握 各种求导方法 理解一阶微分形式不变性 理解高阶导数并掌握求高阶导数的方 法 理解并会应用微分中值定理 熟练掌握 L Hospital 法则 较熟练地运用Taylor 公式 掌握用导数性质描述函数性态的方法并会描绘函数的图形 3 一元函数积分学 掌握原函数 不定积分 定积分概念及其性质 积分中值定理 掌握不定积 分和定积分的换元积分法和分部积分法及几种特殊类型函数的积分法 理解可积 性条件并由此了解可积函数类 会用定积分求解几何与物理问题 4 无穷级数 理解级数收敛 发散 和的概念 掌握级数的基本性质 掌握正项级数收敛 的比较判别法 d Alembert 判别法 Cauchy 判别法 积分判别法及交错级数收 敛的 Leibniz 定理 理解条件收敛和绝对收敛的概念 绝对收敛的性质 理解 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法 理解函数列与函数项级数一致收敛性的的定义 掌握一致收敛的性质 掌握 Weierstrass 判别法及 Abel 判别法 Dirichlet 判别法 理解幂级数的收敛半径和 收敛域的概念 掌握收敛半径的求法 幂级数的性质 求和以及函数幂级数展开 的方法 了解复变量的指数函数与欧拉公式 理解 Fourier 级数的概念 理解 Fourier 级数的收敛定理及其证明 掌握函数 展开成 Fourier 级数的方法 5 多元函数的极限与连续 理解平面点集的基本概念 理解点列的极限概念 掌握平面点集的几个基本 定理 理解多元函数及其极限概念 理解并会求重极限和累次极限 掌握多元函 数连续性概念及有界闭域上连续函数的性质 6 多元函数微分学 理解偏导数和全微分的概念及其几何意义 理解可微性条件 掌握复合函数 求导法则 理解并会求方向导数和梯度 掌握 Taylor 公式 理解多元函数的极 值和条件极值 会求函数的极值 会用 Lagrange 乘数法求函数的条件极值 理 解隐函数和隐函数组的概念 理解隐函数存在定理 了解隐函数组定理 反函数 组定理 掌握隐函数的微分法及其几何应用 7 含参量积分 理解含参量积分的概念及其性质 理解含参量的反常积分和一致收敛的概念 及性质 掌握含参量反常积分一致收敛的判别法 理解 Euler 积分 8 多元函数积分学 理解并掌握两类曲线积分 二重积分 三重积分 两类曲面积分的概念及其 性质 掌握各种积分的计算方法 了解积分在几何 物理上的应用 理解曲线积 分和路线的无关性 理解各种积分间的关系 掌握 Green 公式 Gauss 公式和 Stokes 公式 了解 重积分和广义二重积分的概念 了解场论初步 9 流形上微积分初阶 理解 维欧氏空间 向量函数及向量函数的极限与连续的概念 了解向量函数的可微性 概念及性质 了解向量函数的极值 了解反函数和隐函数定理 了解外积与微分形式的概念 了解微分形式的外微分的概念 了解一般的 Stokes 公式 推荐教材 1 数学分析 第三版 华东师范大学数学系 编 高等教育出版社 2001 2 数学分析 陈传璋等 高等教育出版社 1983 参考书 1 数学分析同步辅导 彭舟 姬燕妮 主编 航空工业出版社 2005 2 数学分析学习指导书