工科数学分析第1学期期末考试试卷与答案.pdf

一 填空题 1 3 0 sinarctan lim x xx x 1 6 2 22 0 cos x d txtdt dx 2 cosxx 3 如果 sinsinf xxdxxxC 0 x 则 f x 1cot xx 4 2 1 ln d x x x 1 5 初值问题 0 20 0 y x dy xe dx y 的解为 2 ln 1 yx 6 用定积分表示 110 09 11111 lim 1218 n dxdxdx nnnnxx 二 选择题 1 下列级数中条件收敛的是 D A 1 1 3 1 n n n n n n B 1 1 1 cos 0 n n n 常数 C 1 11 1 ln n n n nn D 1 11 1 2 n n nn 2 设函数 22 121 2 sincos 0 0 0 xx f xxxx x 则 A A f x在 上有连续的原函数 B 0 x 是 f x的连续点 C 1 1 f x D 因为 0 lim x f x 所以 1 1 f x 三 1 解 2 2 sec1tan arctan 9tan33 xdxx C x 2 解 22 2222 00 21 1 xxx dxxxdx 1 1 22 1 1 1 xt tt dt 1 22 0 2 1 1tt dt 第2页 共4页 sin 22 2 0 2 sin1 cos tu uudu 5 8 3设 yy x 由方程 2 2 1 0 sin 0 2 y t x t e dtdt t 确定 求 dy dx 2 2 d y dx 解 2 2 sin y dy ex dx 2 2 22 2 2 cos sin y d y exxyyx dx 22 222 2 cossin yy exxyex 四 1 求函数 2 3 5 yxx 的极值 单调区间及曲线 2 3 5 yxx 的拐点 凹凸区间 解 令 3 5 2 0 3 x y x x 解得驻点2 x 不可导点为0 x 且 2 3 5 yxx 在 0 2 内单调递增 在 0 2 内单调递减 所以 3 2 3 4y 为 f x的极小值 0 0y 为 f x的极大值 34 10 1 0 9 x y x x 解得1x 且0 x 是二阶导数不存在的点 且 2 3 5 yxx 在 1 内是凹的 在 1 内是凸的 所以 1 6 是拐点 2 设非负函数 0 yy xx 满足微分方程20 xyy 又已知当 0 0y 时 曲 线 yy x 与1x 及0y 所围图形 的面积等于2 求 y x 并求图形 绕y 轴旋转所得旋转体的体积 解20 xyy 是可降阶方程 令p y 则20 xpp 解一阶线性方程 12 0pp xx 得 11 22 2 dxdx xx pecedxx cxc xx 2 12 2 2yxcdxc xxc 其中 1 c 2 c为任意常数 代入条件 0 0y 得 2 0c 第3页 共4页 又由条件 有 11 2 1 1 00 2 2 1 3 c y x dxxc xdx 于是得 1 3c 故所求非负函数为 2 32yxx 图形 绕y轴旋转所得旋转体的体积 11 2 00 17 2 2 23 6 Vxy x dxxxxdx 五 对于积分中值定理 若若函数 f xC ab 则至少存在一点 ab 使得 d b a f xxfba 问 ab 能否改为 ab 要说明理由 答 能改为 ab 事实上 f xC ab 由微积分基本定理 d x a xf tt 是 f x的一个原函数 即 xf x 由 Newton Leibitz 公式和 Lagrange 微分中值定理 有 d b a f xxba ba fba ab 六 1 证明 当0 x 时 2 ln 1 2 x xx 证明 令 2 1ln 2 x xxxf 0 1 2 x x xf 0 0 fxf 2设 f x在 0 2 0 aa上连续 证明 2 00 2 aa f x dxf xfax dx 证明 22 00 aaa a f x dxf x dxf x dx 2 0 0 2 a t x a a fatdt 0 2 a f xfaxdx 3 设 f x的二阶导数 fx 在 2 4 上连续 且 3 0f 1 将 f x在3x 处展开成带 Lagrange 余项的一阶 Taylor 公式 第4页 共4页 2 证明在 2 4 上必存在一点 使得 4 2 3 ff x dx 证明 1 2 3 3 3 2 f f xfxx 在 3 与 x 之间 2 对上式两边求定积分 444 2 222 3 3 3 3 2 f f x dxffxdxxdx 4 2 2 3 2 f xdx 2 2 4 f xC 2 4 2 4 max min xx M mMfxmfx 使得 从而有 444