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材料力学 I 1静矩和形心 I 2惯性矩和惯性半径 I 3惯性积 I 4平行移轴公式 I 5转轴公式主惯性轴 附录I平面图形的几何性质 一 静矩 定义 称为图形对x和y轴的静矩 面积矩 一次矩 I 1静矩和形心 二 形心 则 1 简单图形的形心和静矩 2 组合图形的静矩和形心 3 图形有对称轴时 形心在对称轴上 4 x y 例I 2 P375 试确定下图的形心 一 惯性矩 定义 Ix Iy称为图形对x轴 y轴的惯性矩 量纲 长度 4 I 2惯性矩和惯性半径 例I 4 计算矩形对于其对称轴 形心轴 的惯性矩 解 计算圆形对于其对称轴 形心轴 的惯性矩 例I 5 解 dA x y 极惯性矩 计算空心圆对于其对称轴 形心轴 的惯性矩 例 三 惯性半径 ix和iy分别称为图形对于x轴和y轴的惯性半径 圆截面 四 组合图形的惯性矩 I 3惯性积 Ixy称为图形对x y轴的惯性积 如果x轴 或y轴 是对称轴 则惯性积Ixy 0 Ixy 0 Ixy 0 一 平行移轴公式 I 4平行移轴公式 已知 求 解 注意 C点必须为形心 同理 例 计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩 单位 cm 解 例 计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩 C x y 15 10 40 20 单位 cm 解 x1 1 2 a C x y 15 10 40 20 单位 cm x1 1 2 a 单位 cm 例 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩 解 一 惯性矩和惯性积的转轴公式 I 5转轴公式主惯性轴 已知 求 解 同理 二 主惯性轴和主惯性矩 x1 令 求Ix1极值 与 0对应的旋转轴为x0 y0轴 平面图形对x0 y0轴惯性矩为 平面图形对x0 y0轴的惯性积为 平面图形对x0 y0轴的惯性积为零 称x0 y0轴为主轴 称为主惯性矩 使惯性积为零的坐标轴称为主轴 平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩 主轴过形心时 称其为形心主轴 平面图形对形心主轴之惯性矩 称为形心主惯性矩 三 图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩 求图形形心主惯性矩的方法 1 建立坐标系 2 计算面积和面积矩 3 求形心位置 4 建立形心坐标系 求 IyC IxC IxCyC 5 求形心主轴方向 0 6 求形心主惯性矩 如果图形有对称轴 则对称轴就是形心主惯性轴 如果图形有对称轴 则对称轴就是形心主惯性轴 yc xc c 图形有对称轴 xc和yc轴是形心主惯性轴 例 确定图示图形的形心主惯性轴的位置 并求形心主惯性矩 解 由反对称性可知形心在反对称点 如图所示图形 求形心主惯性矩Ixc 解 2 求形心位置 3 求 IxC 例3 1 建立坐标系如图 3 求 IxC 在矩形内挖去一与上边内切的圆 求形心主惯性矩 b 1 5d 解 1 建立坐标系如图 2 求形心位置 3 建立形心坐标系 求 IxC IyC IxCyC d b 2d 例4 d b 2d x O
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