11.8 常系数非齐次线性微分方程.pdf

2009年7月27日星期一1 返回返回上页上页下页下页目录目录 第八节 常系数第八节 常系数非非齐次线性微分方程齐次线性微分方程 第十一章第十一章 Constant coefficient non homogeneous linear differential equation 三 欧拉方程三 欧拉方程 x m f xeP x 型型 xxPexf l x cos sin n P xx 型型 一 一 四 小结与思考练习四 小结与思考练习 二 二 2009年7月27日星期一2 返回返回上页上页下页下页目录目录 xfyqypy 为常数qp 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 根据解的结构定理根据解的结构定理 其通解为其通解为 Yy y 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解 求特解的方法求特解的方法 根据根据 f x 的特殊形式的特殊形式 y给出特解的待定形式的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 待定系数法待定系数法 2009年7月27日星期一3 返回返回上页上页下页下页目录目录 一 一 型 xPexf m x x 为实数为实数 P m 为为 m 次多项式次多项式 xQe x 2 xQp 2 xQqp xPe m x 设特解为设特解为 xQey x 其中为待定多项式其中为待定多项式 xQ xQxQey x 2 2 xQxQxQey x 代入原方程代入原方程 得得 x Q 1 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根 0 2 qp 即则取则取 xQm从而得到特解 形式为 从而得到特解 形式为 xQey m x 2 xQp 2 xQqp xP m Q x 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式 2009年7月27日星期一4 返回返回上页上页下页下页目录目录 2 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 0 2 qp 02 p x Q 则为为m 次多项式次多项式 故特解形式为故特解形式为 x m exQxy 3 若 是特征方程的若 是特征方程的重根重根 0 2 qp 02 p x Q 则是是 m 次多项式次多项式 故特解形式为故特解形式为 x m exQxy 2 小结小结 对方程 对方程 2 1 0 kexQxy x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 x Q 2 xQp xP m x 2 Qqp 即即 即即 当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时 可设可设 特解特解 2009年7月27日星期一5 返回返回上页上页下页下页目录目录 1332 xyyy求方程的一个特解的一个特解 032 2 rr解解 本题本题而特征方程为而特征方程为 不是特征方程的根不是特征方程的根 设所求特解为设所求特解为 10 bxby 代入方程代入方程 13233 010 xbbxb 比较系数比较系数 得得 33 0 b 132 10 bb3 1 1 10 bb 于是所求特解为于是所求特解为 3 1 xy 0 0 例例1 补充题 补充题 自行练习课本例 自行练习课本例1 2009年7月27日星期一6 返回返回上页上页下页下页目录目录 2 56 x yyyxe 求方程求方程 的通解的通解 解解 本题 特征方程为 本题 特征方程为 065 2 rr 其根为其根为 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 xx eCeCY 3 2 2 1 x ebxbxy 2 10 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为 比较系数比较系数 得得 12 0 b 02 10 bb 1 2 1 10 bb 因此特解为因此特解为 1 2 2 1x exxy 3 2 21 rr 代入方程得代入方程得xbbxb 010 22 所求通解为所求通解为 xx eCeCy 3 2 2 1 22 2 1x exx 2 例例2 补充题 补充题 自学课本例 自学课本例2 2009年7月27日星期一7 返回返回上页上页下页下页目录目录 二 二 型xxPxxPexf nl x sin cos xi m exPxf xi m exP 第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解 xi m exPyqypy yqypy 分析思路分析思路 第一步第一步 将将 f x 转化为转化为 第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解 第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点 xi m exP 2009年7月27日星期一8 返回返回上页上页下页下页目录目录 利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f x 变形变形 x exf i xPxP nl 2 2 xi e i xPxP nl 2 2 xi e xi m exPxf xi m exP xi m exP xi m exP 则令 maxlnm xPl 2 xixi ee xP n i ee xixi 2 第一步第一步 2009年7月27日星期一9 返回返回上页上页下页下页目录目录 i 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 k 0 1 xi m k exQxy 1 次多项式为mxQm 故故 xi m exPyqypy 111 等式两边取共轭等式两边取共轭 xi m exPyqypy 111 1 y这说明为方程 的特解为方程 的特解 xi m exPyqypy xi m exPyqypy 设设则 有则 有 特解特解 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 2009年7月27日星期一10 返回返回上页上页下页下页目录目录 利用第二步的结果利用第二步的结果 根据叠加原理根据叠加原理 原方程有特解原方程有特解 11 yyy xk ex xi m xi m eQeQ 原方程原方程 yqypy xxPxxPe nl x sin cos xk ex sin cosxixQm sin cosxixQm xk ex xRm cosxRm sin mm RR 其中均为均为 m 次多项式次多项式 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 2009年7月27日星期一11 返回返回上页上页下页下页目录目录 的特点 y xRxRex yyy mm xk sin cos 11 因因 11 yy y y所以 mm RR 因此均为均为 m 次实次实 多项式多项式 11 yyy 本质上为实函数本质上为实函数 11 yy 第四步第四步 分析分析 2009年7月27日星期一12 返回返回上页上页下页下页目录目录 xxPxxPe nl x sin cos yqypy 对非齐次方程对非齐次方程 为常数qp xRxRexy mm xk sin cos 则可设特解则可设特解 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 k 0 1 其中其中 i lnm max 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形 小 结小 结 2009年7月27日星期一13 返回返回上页上页下页下页目录目录 xxyy2cos 求方程的一个特解的一个特解 解解 本题本题 2 0 特征方程特征方程 故设特解为故设特解为 xdxcxbxay2sin 2cos 不是特征方程的根不是特征方程的根 ii2 代入方程得代入方程得 xxxadxcxcbxa2cos2sin 433 2cos 433 01 2 r xxP l 0 xP n 比较系数比较系数 得得 9 4 3 1 da 2sin2cos 9 4 3 1 xxxy 于是求得一个特解于是求得一个特解 13 a 043 cb 03 c 043 ad 0 cb 例例3 2009年7月27日星期一14 返回返回上页上页下页下页目录目录 三 欧拉方程三 欧拉方程 Euler equation 形如形如 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn 的方程 叫做的方程 叫做欧拉方程欧拉方程 求解基本思想求解基本思想 欧拉方程欧拉方程 t ex 令 常系数线性微分方程常系数线性微分方程 xtln 即 2009年7月27日星期一15 返回返回上页上页下页下页目录目录 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn t ex 令则则 x y d d x t t y d d d d t y x d d1 2 2 d d x y x t t y xtd d d d1 d d t y t y x d d d d1 2 2 2 计算繁计算繁 t y yx d d t y t y yx d d d d 2 2 2 lnxt 则 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法 2009年7月27日星期一16 返回返回上页上页下页下页目录目录 d d t D 记则由上述计算可知则由上述计算可知 yDyx yDyDyx 22 3 2 d d k t D k k k yDD 1 用归纳法可证用归纳法可证ykDDDyx kk 1 1 于是欧拉方程于是欧拉方程 1 1 1 1 xfypyxpyxpyx nn nnnn 1 1 t n nn efybyDbyD 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程 d d d d 1 1 1 t n n n n n efyb t y b t y 即 2009年7月27日星期一17 返回返回上页上页下页下页目录目录 ln2ln22 22 的通解求方程xxyyxyx t ex 令 lnx解解 t 则 d d t D 记 ttyyDyDD222 1 2 则原方程化为则原方程化为 亦即亦即tty t y t y 22 d d 3 d d 2 2 2 其根其根 2 1 21 rr 则 对应的齐次方程的通解为则 对应的齐次方程的通解为 特征方程特征方程 023 2 rr ttyDD2 23 22 即 tt eCeCY 2 21 例例4 自行练习 自行练习 例例4 补充题补充题 2009年7月27日星期一18 返回返回上页上页下页下页目录目录 的通解为 的通解为 4 1 ln 2 1 ln 2 1 22 21 xxxCxCy 4 1 2 1 2 1 22 21 tteCeCy tt 换回原变量换回原变量 得原方程通解为得原方程通解为 设特解设特解 CtBtAy 2 代入 确定系数代入 确定系数 得得 4 1 2 1 2 1 2 tty 2009年7月27日星期一19 返回返回上页上页下页下页目录目录 满足设函数 xyy 1 ln5d 3 2 1 xxttytyyx x 0 1 x y且 xy求 例例5 补充题 补充题 解解 由题设得定解问题由题设得定解问题 x yyxyx 52 4 0 1 0 1 yy t ex 令 d d t D 记 t eyDDD 则 化为则 化为 5 4 1 t eyD 5 4 2 特征根特征根 2ir 设特解设特解 t eAy 代入 得代入 得 A 1 2009年7月27日星期一20 返回返回上页上页下页下页目录目录 t etCtCy 2sin2cos 21 x xCxC 1 ln2sin ln2cos 21 利用初始条件 得利用初始条件 得 2 1 1 21 CC 故所求特解为故所求特解为 x xxy 1 ln2sin 2 1 ln2cos 得通解为得通解为 2009年7月27日星期一21 返回返回上页上页下页下页目录目录 内容小结内容小结 x m exPyqypy 1 为特征方程的为特征方程的 k 0 1 2 重根重根 x m k exQxy 则设特解为则设特解为 sin cos 2xxPxxPeyqypy nl x 为特征方程的为特征方程的 k 0 1 重根重根 i xk exy sin 则设特解为则设特解为 cos xxRxxR mm nlm max 3 欧拉方程欧拉方程 2009年7月27日星期一22 返回返回上页上页下页下页目录目录 课外练习课外练习 习题习题11 8 1 奇数题 奇数题 2 4 思考练习思考练习 时可设特解为时可设特解为xxxfcos 1 当 x exxxf 2 2cos 2 当 xfyy 时可设特解为时可设特解为 1 填空填空 设设 xxPxxPexf nl x sin cos xk exy lnm max 提示提示 sin cos xxRxxR mm xy xbxacos yxdxcxbxa2sin 2cos x ek 2 xdcxsin 2009年7月27日星期一23 返回返回上页上页下页下页目录目录 x eyyy 44的通解的通解 其中其中 为实数为实数 解解 特征方程特征方程 044 2 rr特征根特征根 2 21 rr 对应齐次方程通解对应齐次方程通解 x exCCY 2 21 2 时时 x eAy 令代入原方程得代入原方程得 2 2 1 A x exCCy 2 21 故原方程通解为故原方程通解为 x e 2 2 1 2 时时 2x exBy 令代入原方程得代入原方程得 2 1 B 故原方程通解为故原方程通解为 x exCCy 2 21 x ex 2 2 1 2 求微分方程求微分方程 2009年7月27日星期一24 返回返回上页上页下页下页目录目录 x ecybyay 有特解有特解 1 2xx exey 求微分方程的通解求微分方程的通解 解解 将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式 xxxx ecexbaeaeba 1 2 1 比较系数得比较系数得 01 ba ca 2 01 ba 0 a 1 b 2 c 故原方程为故原方程为 x eyy2 xx eCeC对应齐次方程通解对应齐次方程通解 Y 21 x