高考数学 9.2 平面向量的数量积及坐标运算复习课件 理.ppt

9 2平面向量的数量积及坐标运算 1 平面向量数量积的定义 1 已知两个a b 且oa a ob b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的 很显然 当且仅当两非零向量a b同方向时 当且仅当a b反方向时 同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题 非零向量 夹角 0 180 2 如果a b的夹角为 则称a与b垂直 记作a b 3 a b是两个非零向量 它们的夹角为 则数 a b cos 叫做a与b的数量积 即a b a b cos 规定0 a 0 当a b时 90 这时a b 0 4 a b的几何意义a b等于a的长度与b在a的方向上的 90 投影的乘积 2 向量数量积的性质 1 如果e是单位向量 则a e e a a cos 2 a b 且a b 0a b 3 a a a 4 cos a b 5 a b a b a e a b 0 a 2 3 数量积的运算律 1 交换律a b 2 分配律 a b c 3 对 r a b 4 数量积的坐标运算设a a1 a2 b b1 b2 则 1 a b 2 a b 3 a 4 cos a b b a a c b c a b a b a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 0 5 平面向量基本定理如果e1 e2是一平面内的两个不平行的向量 那么该平面内任一向量a 存在唯一的一对实数a1 a2使a a1e1 a2e2 把不共线向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 记为 e1 e2 叫做向量a关于基底 e1 e2 的分解式 6 如果基底的两个基向量e1 e2互相垂直 则称这个基底为 在正交基底下分解向量 叫做 基底 a1e1 a2e2 正交基底 正交分解 7 设 e1 e2 为平面直角坐标系内的正交基底 由平面向量基本定理 对于平面上的任意一个向量a 有且只有一对实数x y使得 我们把有序数对 x y 叫做向量a在基底 e1 e2 下的 记作a x y 叫a在x轴上的坐标 叫a在y轴上的坐标 a x y 叫做向量的坐标表示 a xe1 ye2 坐标 x y 8 向量的直角坐标运算设a a1 a2 b b1 b2 则a b a b a 9 用平面向量的坐标表示向量共线的条件设a a1 a2 b b1 b2 向量a ba1b2 a2b1 0 b1 0且b2 0 a1 b1 a2 b2 a1 b1 a2 b2 a1 a2 解析 因为a 3b与7a 5b垂直 所以 a 3b 7a 5b 0 即7 a 2 16a b 15 b 2 0 同理得7 a 2 30a b 8 b 2 0 由 得 46a b 23 b 2 所以a b b 2 代入 得 a 2 b 2 所以 a b 设a与b的夹角为 则所以 60 即a与b的夹角为60 点评 向量的数量积是最基本的向量运算 两个向量的数量积主要是转化为两向量的模及夹角余弦的积 注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化 拓展训练 已知 a 1 a b a b a b 求 1 a与b的夹角 2 a b与a b的夹角的余弦值 解析 1 因为 a b a b 所以 a 2 b 2 又因为 a 1 所以设a与b的夹角为 则所以 45 2 因为 a b 2 a2 2a b b2 所以 a b 2 a2 2a b b2 所以设a b与a b的夹角为 则 例题2 在平行四边形abcd中 a 1 1 ab 6 0 点m是线段ab的中点 线段cm与bd交于点p 1 若ad 3 5 求点c的坐标 2 当 ab ad 时 求点p的轨迹 分析 1 利用ac ad ab 即可求得c点的坐标 2 因为 ab ad 且四边形abcd为平行四边形 所以abcd为菱形 解析 1 设点c的坐标为 x0 y0 又ac ad ab 3 5 6 0 9 5 所以 x0 1 y0 1 9 5 所以x0 10 y0 6 即点c的坐标为 10 6 2 设p x y 则bp ap ab x 1 y 1 6 0 x 7 y 1 因为 ab ad 所以平行四边形abcd为菱形 所以p为 abc的重心 ac am mc ab 3mp ab 3 ap ab 3ap ab 3 x 1 3 y 1 6 0 3x 9 3y 3 又ac bp 即 x 7 3x 9 y 1 3y 3 0 所以x2 y2 10 x 2y 22 0 y 1 即 x 5 2 y 1 2 4 y 1 故点p的轨迹是以 5 1 为圆心 2为半径的圆 去掉与直线y 1的两个交点 拓展训练 已知向量u x y 与向量v y 2y x 的对应关系用v f u 表示 1 设a 1 1 b 1 0 求向量f a 及f b 的坐标 2 求使f c p q p q为常数 的向量c的坐标 3 证明 对于任意向量a b及常数m n 恒有f ma nb mf a nf b 解析 1 由题设 得f a 1 2 1 1 1 1 f b 0 2 0 1 0 1 2 设c x y 则f c y 2y x p q 所以y p且2y x q 即x 2p q 从而向量c 2p q p 3 设a a1 a2 b b1 b2 则ma nb ma1 nb1 ma2 nb2 所以f ma nb ma2 nb2 2ma2 2nb2 ma1 nb1 mf a nf b m a2 2a2 a1 n b2 2b2 b1 ma2 nb2 2ma2 2nb2 ma1 nb1 所以f ma nb mf a nf b 成立 例题3 已知向量且 1 求 a b 的取值范围 2 若f x a b a b 试求f x 的最小值 并求此时x的值 分析 向量a与b的坐标都是关于x的式子 利用向量模的意义可得 a b 是x的函数 然后求函数的值域即可 由f x a b a b 也可得到f x 的函数关系式 求时的最小值即可 解析 依题意 a b 1 a b cos2x 所以 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 2 2cos2x 所以 1 因为 所以 1 cosx 0 所以0 2cosx 2 即 a b 0 2 2 因为f x a b a b 所以f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1所以当即时 f x a b a b 取最小值 解析 1 设甲 乙两人起初的位置是a b 则由余弦定理得 ab2 oa2 ob2 2 oa ob cos60 32 12 2 3 1 7 所以甲 乙两人起初的距离是 ab km 2 设甲 乙两人t小时后的位置分别是p q 则 ap 4t bq 4t 当0 t 时 由余弦定理得 pq 2 3 4t 2 1 4t 2 2 3 4t 1 4t cos60 当时 pq 2 4t 3 2 1 4t 2 2 4t 3 1 4t cos120 注意到上面两式实际上是统一的 所以 pq 2 16t2 24t 9 16t2 8t 1 16t2 8t 3 48t2 24t 7 即 3 因为所以当时 pq的最小值是2 即在15分钟末 pq 最短 例题4 已知且存在实数k和t 使得x a t2 3 b y ka tb 且x y 试求的最小值 分析 由x y得到的一个关于t的二次函数 从而求出它的最小值 解析 因为所以所以故有a b 由x y 得 a t2 3 b ka tb 0 即 ka2 t3 3t b2 t kt2 3k a b 0 所以 k a 2 t3 3t b 2 0 将 a 2 b 1代入上式 得 4k t3 3t 0 所以 所以故当t 2时 有最小值点评 1 两向量a ba b 0 x1x2 y1y2 0 2 两向量a bx1y2 x2y1 拓展训练 已知向量a 1 2 b 2 1 k t为正实数 x a t2 1 b 1 若x y 求k的最大值 2 是否存在k t 使x y 若