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第六讲隐函数的求导公式 1 隐函数的求导公式 一 引言二 一个方程确定的隐函数的情形三 方程组确定的隐函数组的情形 2 隐函数的求导公式 一 引言二 一个方程确定的隐函数的情形三 方程组确定的隐函数组的情形 3 隐函数概念 显函数 隐函数 隐函数的显化 二元 隐函数 研究问题 在什么条件下 方程能够确定隐函数 方程确定的隐函数有什么性质 连续性 可导性 对方程确定的隐函数如何求导 4 隐函数组概念 显 函数组 研究问题 在什么条件下 方程组能够确定隐函数组 方程组确定的隐函数组有什么性质 连续性 可导性 对方程组确定的隐函数组如何求导 隐函数组 隐函数组的显化 5 隐函数的求导公式 一 引言二 一个方程确定的隐函数的情形三 方程组确定的隐函数组的情形 6 隐函数的求导公式 一 引言二 一个方程确定的隐函数的情形三 方程组确定的隐函数组的情形 7 则方程F x y 0在点x0的某邻域内可唯一确定一个函数y f x 隐函数求导公式 具有连续的偏导数 定理1 y f x 具有如下性质 在x0的上述邻域内连续 在x0的上述邻域内连续可导 且有 8 推导 F x y x 复合关系图 注 Fx和Fy分别表示F对x和对y求偏导 分子和分母不要颠倒 不要丢掉负号 例1 9 则方程F x y z 0在点 x0 y0 的某邻域内可唯一确定一个函数z f x y z f x y 具有如下性质 隐函数求导公式 具有连续的偏导数 定理2 在 x0 y0 的上述邻域内连续 在 x0 y0 的上述邻域内连续可导 且有 10 推导 复合关系图 注 Fx和Fz分别表示F对x和对z求偏导 分子和分母不要颠倒 不要丢掉负号 例2 F x y z y x 例3 11 隐函数的求导公式 一 引言二 一个方程确定的隐函数的情形三 方程组确定的隐函数组的情形 12 隐函数的求导公式 一 引言二 一个方程确定的隐函数的情形三 方程组确定的隐函数组的情形 13 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 由F G的偏导数组成的行列式 称为F G的雅可比 Jacobi 行列式 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 14 定理3 15 两边对x求导 若在点P的某邻域内系数行列式J 0 解方程组即得结论 推导 视u v为x y的函数 复合关系图 16 例4 其中f g具有一阶连续偏导数 设 求 解题思路 确定因变量个数与自变量个数 明确变量个数与方程个数 确定因变量个数 方程个数 确定自变量个数 1 2 明确因变量与自变量 题目要求 3
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