武汉大学高数上试题2009~2010.pdf

武汉大学数学与统计学院武汉大学数学与统计学院B B卷卷 20092009 20102010 第一学期第一学期 高等数学高等数学 A1A1 期末考试试题 期末考试试题 一 8 6 试解下列各题 1 计算 3 0 arctan lim ln 12 x xx x 2 计算 1 2 0 ln 1 d 2 x x x 3 计算积分 2 1 arctanx d x x 4 已知两曲线 yf x 与1 xy xye 所确定 在点 0 0 处的切线相同 写出 此切线方程 并求极限 2 lim n nf n 5 设 2 2 2 1 cos 1 coscos 2 t xt uduytt u 试求 d d y x 2 2 2 d d t y x 的值 6 确定函数 sinsin sin lim sin x tx tx t f x x 的间断点 并判定间断点的类型 7 设 1 1 y xx 求 n y 8 求位于曲线 0 x yxex 下方 x轴上方之图形面积 二 12 分 设 f x具有二阶连续导数 且 0f a f x xa g xxa Axa 1 试确定A的值 使 g x在xa 处连续 2 求 g x 3 证明 g x 在xa 处连续 三 15 分 设P为曲线 2 cos 0 2sin2 xt t yt 上一点 作原点 0 0 O和点P的直线 OP 由曲线 直线OP以及x轴所围成的平面图形记为A 1 将y表成x的函数 2 求平面图形A的面积 S x的表达式 3 将平面图形A的面积 S x表成t的函数 cos SStS t 并求 d dt S 取得最 大值时点P的坐标 四 15 分 已知函数 2 5 3 x y x 求 1 函数 xf的单调增加 单调减少区间 极大 极小值 2 函数图形的凸性区间 拐点 渐近线 五 10 分 设函数 f x在 l l 上连续 在0 x 处可导 且 0 0f 1 证明 对于任意 0 xl 至少存在一个 0 1 使 00 d d xx f ttf ttx fxfx 2 求极限 0 lim x 武汉大学数学与统计学院武汉大学数学与统计学院B B 卷卷 20092009 20102010 第一学期第一学期 高等数学高等数学 A1A1 期末考试试题参考答案 期末考试试题参考答案 一 试解下列各题 8 6 1 解 3 0 arctan lim ln 12 x xx x 2 22 322 000 1 1 arctan1 11 limlimlim 6266 xxx x xx xx xxx 2 解 原式 11 1 0 00 ln 1 1111 ln2 d 2 1 2 31 2 x dxx xxxxx 11 00 11 ln2 ln 1 ln 2 ln2 33 xx 3 解 1 22 11 arctanx11 darctan d x 1 xxx xxx 2 1 11 lnln 1 ln2 4242 xx 4 解 由 0 0 0 0 ffy 又 1 0 xy yxyey 0 1 0 1yf 故所求切线方程为 0 xy 且 2 0 2 lim lim22 0 2 2 nn ff n nff n n 5 解 222 2sin 0 2 sin dydt ttttt dtdx 2 2t dydy t dxdx 22 222 2 11 2 sin 2 t d yd y dxttdx 6 解 sinsinsin sin lim sin xx txx tx t f xe x 故0 x 是 xf的第一类可去间断点 lim xk f x 故 1 2 xkk 是函数 xf的第二类无穷间断点 7 解 由 11 1 y xx 1 1 1 1 nnnn yxxn 8 解 00 00 1 xxxx Sxe dxxee dxe 二 10 分 解 1 lim xa f x Afa xa 2 当2 fxxaf x xa g x xa 当2 limlim 2 xaxa g xg af xfxxafa xa g a xaxa 所以 2 2 fx xaf x xa xa g x fa xa 3 2 lim lim 2 xaxa fxxaf xfa g xg a xa 故 g x 在xa 处连续 三 10 分 解 1 2 2 1 yx 2 设曲线上有点 2 2 1 P xx 而OP的方程为 2 2 1 yx YXX xx 则所求面积为 1 2 23 0 2 1 41 2 1 33 x x x S xXdXXdXxx x 3 3 41 coscos 33 S ttt 2 sin 1cos S ttt 2 cos 3cos1 Sttt 令 22 14 0cos sin 33 Sttt 14 3 3 xy d dt S 取得最大值时点P的坐标 14 3 3 P 四 15 分 解 定义域为 3 3 2 1 3 3 xx y x 令 0y驻点1 3x 3 8 3 y x x 1 1 1 3 3 3 5 5 5 y y y 单增极大值点单减单减极小值点单增 xfy 上凸上凸下凸下凸 1 故单调增加区间为 1 5 单调减少区间为 1 3 3 5 极小值为 5 10f 极大值 1 2f 2 下凸区间为 3 上凸区间为 3 由 3 2 3 lim 1 x x x 故 3x 为函数图形的铅直渐近线 又 lim1 x f x x lim 3 x f xx 故3yx 为函数图形的斜渐近线 五 9 分 解 1 设 00 d d xx F xf ttf tt xl l 应用拉格朗日中值定理有 00 d d xx f ttf ttx fxfx 2 由 1 所以 00