专题复习-之数学必修1.pdf

第 1 页 共 16 页 目目目目 录录录录 1 集合 1 1 1 元素与集合 集合与集合的关系问题 1 1 2 有关集合表示方法的问题 2 1 3 有关子集的问题 3 1 4 集合的基本运算 3 2 函数及其性质 5 2 1 求给定函数的定义域 值域 5 2 2 求函数的解析式 6 2 3 函数的求值问题 8 2 4函数图像的变换 平移变换 对称变换 翻折变换 8 2 5 函数的单调性与最大 小值 9 3 基本初等函数 11 3 1 根式 指数式 对数式 11 3 2 指数函数 对数函数 幂函数的图像及性质 12 3 3 反函数问题 13 第 1 页 共 16 页 数学必修数学必修数学必修数学必修 I I I I 专题专题专题专题复习 复习 复习 复习 1 1 1 1 集合集合集合集合 1 11 11 11 1 元素与集合 集合与集合的关系问题元素与集合 集合与集合的关系问题元素与集合 集合与集合的关系问题元素与集合 集合与集合的关系问题 1 1 11 1 11 1 11 1 1 给定集合及元素 集合给定集合及元素 集合给定集合及元素 集合给定集合及元素 集合 直接判断其关系 直接判断其关系 直接判断其关系 直接判断其关系 例 1 cbaa N 2 1 2 1 Zyxyx 是矩形是正方形xxxx 4 2 ZnnxxZnnxx 1 1 21 1 21 1 21 1 2 给定集合 一般用描述法表示给定集合 一般用描述法表示给定集合 一般用描述法表示给定集合 一般用描述法表示 需先对集合 需先对集合 需先对集合 需先对集合 或者元素或者元素或者元素或者元素 作适当变换 如化简 作适当变换 如化简 作适当变换 如化简 作适当变换 如化简 解方程 不等式等解方程 不等式等解方程 不等式等解方程 不等式等 然后判断其关系 然后判断其关系 然后判断其关系 然后判断其关系 例 2 已知集合 0 1 xxxA 则 A A 0B A 1C A 1D A 0 例 3 已知集合 332 xxxA 2 xxB 则 A 4 B 7 A 2 B BA 例 4 集合 2 ZbZabaxxA 判断下列元素x和集合 A 间的关 系 1 0 x 2 12 1 x 3 23 1 x 1 1 31 1 31 1 31 1 3 已知元素已知元素已知元素已知元素 a a a a 属于集合属于集合属于集合属于集合 A A A A 或者集合或者集合或者集合或者集合 A A A A 包含于集合包含于集合包含于集合包含于集合 B B B B 求集合 求集合 求集合 求集合 A A A A 代表元素代表元素代表元素代表元素 x x x x 的值的值的值的值 或取值范围 或取值范围 或取值范围 或取值范围 注意 集合的互异性 注意 集合的互异性 注意 集合的互异性 注意 集合的互异性 例 5 若 1 2 2 xx 则 x 例 6 设 2 3 32 3 2 2 aBaaA 已知A 5 且B 5 则 a 例 7 已知 1 1 3 1 2 aaBaA 且AB 求a 例 8 集合 61 axxBxxA xfxfy a 4 指数 对数式的底必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义域是使各部分 都有意义的x的值组成的集合 6 指数为零底不可以等于零 6 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 2 1 22 1 22 1 22 1 2求复合函数的定义域求复合函数的定义域求复合函数的定义域求复合函数的定义域 例 2 已知 1 xf的定义域为 1 2 求 xf的定义域 例 3 已知 xf的定义域为 2 3 求 3 xf的定义域 例 4 已知 xf的定义域为 2 3 求 2 xf的定义域 注 1 若 xfy 的定义域为 ba 则 xgfy 的定义域是 bxga 的解集 2 若 xgfy 的定义域为 ba 则当 bax 时 xg 的函数值的取值集合就是 xfy 的定义域 第 6 页 共 16 页 2 1 32 1 32 1 32 1 3求实际问题函数的定义域求实际问题函数的定义域求实际问题函数的定义域求实际问题函数的定义域 略 2 1 42 1 42 1 42 1 4求函数的值域求函数的值域求函数的值域求函数的值域 例 5 求函数12 xxy的值域 换元法换元法换元法换元法 注 求函数值域的一般方法 1 配方法 2 分离常数法 3 判别式 法 4 换元法 备注 备注 备注 备注 2 22 22 22 2 求函数的解析式求函数的解析式求函数的解析式求函数的解析式 2 2 1 已知已知已知已知 xgfy 或已知函数类型 求 求 求 求 xfy 型型型型 例 1 已知函数23 1 2 xxxf 求 xf 2 2 22 2 22 2 22 2 2 已知已知已知已知 xfy 求 求 求 求 xgfy 型型型型 例 1 已知函数23 2 xxxf 求 2 xf 2 2 32 2 32 2 32 2 3 已知已知已知已知 1 xg x fbxfa 求 求 求 求 xf型型型型 例 2 已知函数 xfy 满足x x fxf2 1 2 Rx 且且且且0 x 求求求求 xf 第 7 页 共 16 页 2 2 42 2 42 2 42 2 4 结合函数的奇偶性考察函数的解析式结合函数的奇偶性考察函数的解析式结合函数的奇偶性考察函数的解析式结合函数的奇偶性考察函数的解析式 例 3 已知 xf是定义在 R 上的奇函数 且当0 x时 1 2 xxxf 求 xf 的表达式 提示 1 设0 x 则0 aaay x 且的反函数 其图像经过点 aa 则 xf 2 2 52 2 52 2 52 2 5其他其他其他其他 例 6 已知幂函数 xfy 的图像国点 2 2 2 试求出此函数的解析式 并判 断其奇偶性和单调性 备注 备注 备注 备注 第 8 页 共 16 页 2 32 32 32 3 函数的求值问题函数的求值问题函数的求值问题函数的求值问题 2 3 1 已知已知已知已知 xfy xgy 求 求 求 求 af agf型型型型 例例例例 1 1 1 1 已知函数 xf xg分别由下表给出 求 1 f 1 g 1 gf 1 fg 例例例例 2 2 2 2 已知函数 00 0 043 2 x x xx xf 求 0 ff 2 3 22 3 22 3 22 3 2 已知已知已知已知 xfy 及及及及 af bf baf baf 之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系 求求求求 cf 的值的值的值的值 例例例例 3 3 3 3 已知函数 xf满足 bfafbaf 且pf 2 qf 3 求 36 f的值 2 3 32 3 32 3 32 3 3 已知已知已知已知 xfy 求 求 求 求 bfaf型型型型 例例例例 4 4 4 4 已知函数 2 2 1 x x xf 1 求 1 x fxf 的值 2 求 2012 1 3 1 2 1 2012 2 1 ffffff LL的值 2 3 42 3 42 3 42 3 4 结合函数奇偶性求函数值结合函数奇偶性求函数值结合函数奇偶性求函数值结合函数奇偶性求函数值 例例例例 5 5 5 5 10 10 10 10 山东山东山东山东 设 xf为定义在 R 上的奇函数 当0 x时 bxxf x 22 b 为常数 则 1 f 提示 0 0 f求解 b 根据 xfxf 求函数值 2 42 42 42 4函数图像的变换函数图像的变换函数图像的变换函数图像的变换 平移变换 对称变换 翻折变换平移变换 对称变换 翻折变换平移变换 对称变换 翻折变换平移变换 对称变换 翻折变换 略 x 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 xf3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 x 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 xg1 1 1 13 3 3 32 2 2 2 第 9 页 共 16 页 2 52 52 52 5 函数的单调性与最大 小值 函数的单调性与最大 小值 函数的单调性与最大 小值 函数的单调性与最大 小值 2 5 12 5 12 5 12 5 1 函数单调性的判定和证明函数单调性的判定和证明函数单调性的判定和证明函数单调性的判定和证明 例例例例 1 1 1 1 设 21 baxx 如果0 21 21 xx xfxf 则 xf在 ba上是单调 例例例例 2 2 2 2 求证 函数1 2 xy在区间 0 上单调递增 提示 单调性证明的四 个步骤 设元 作差 变形 定论 2 5 22 5 22 5 22 5 2 求解函数的单调区间求解函数的单调区间求解函数的单调区间求解函数的单调区间 例例例例 3 3 3 3 求以下函数的单调区间 12 1 2 xxy12 2 2 xxy 12 2 3 xx ey12log 4 2 5 0 xxy 注注注注 1 应熟练掌握一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函 数 幂函数等常见函数的单调区间 2 求复合函数的单调区间 可简记为 同 增异减 即若 ufy 与 xgu 在 a b 上单调性相同 则 xgfy 在 a b 单调递增 反之 单调递减 2 5 32 5 32 5 32 5 3 单调性的应用单调性的应用单调性的应用单调性的应用 比较大小 求最值 求参数的取值范围 解不等式等比较大小 求最值 求参数的取值范围 解不等式等比较大小 求最值 求参数的取值范围 解不等式等比较大小 求最值 求参数的取值范围 解不等式等 例例例例 4 4 4 4 已知函数cbxxy 2 其图像的对称轴为直线1 x 则 1 f 1 f 2 f的大小关系为 例例例例 5 5 5 5 已知3log 5 0 a 5lg b 4 0 2 1 c 则cba 的大小关系为 提示 解本题的关键在于找到 桥梁 1 和 0 一般的 利用1 0 a 1log a a 01log a 第 10 页 共 16 页 例例例例 6 6 6 6 已知函数xxxf2 2 4 2 2 2 xxxxg 1 求 xf xg的单调区间 2 求 xf xg的最小值 例例例例 7 7 7 7 求函数xxxf21 的最值 提示 先判断函数 xf的单调性 然 后求值 例例例例 8 8 8 8 已知函数22 2 axxxf 5 5 x 1 当1 a时 求函数 xf的最大值与最小值 2 求实数a的取值范围 使 xfy 在区间 5 5 上是单调函数 例例例例 9 9 9 9 解不等式 xxx552 2 24 1 2 log 4 log2 2 xx aa 2 5 42 5 42 5 42 5 4 单调性 奇偶性 定义域等的综合运用单调性 奇偶性 定义域等的综合运用单调性 奇偶性 定义域等的综合运用单调性 奇偶性 定义域等的综合运用 例例例例 10101010 定义在 2 2 上的函数 xf是奇函数 并且在 2 2 上是增函数 求 满足条件0 21 2 mfmf的实数m的取值范围 例例例例 11111111 已知函数 2 1 x bax xf 是定义在 1 1 上的奇函数 且 5 2 2 1 f 1 确定函数 xf的解析式 2 用定义证明 xf在 1 1 上是增函数 3 解不等式0 1 注 注 注 注 考察对公式 为偶数 为奇数 na na a nn 的掌握 例 2 化简下列各式 x x3 1 0 2 bbb 0 3 54 3 a aa a 0 4 2 1 2 a ba ba 注 注 注 注 掌握以下公式 1 0 1 nNnmaaa nm n m 且 0 2 1 aaa s s 0 3 Qrsaaaa srsr 0 4 Qrsaaa rssr 0 4 Qrsababa rrr 例 3 已知ba 是方程046 2 xx的两根 且0 ba 求 ba ba 的值 3 1 23 1 23 1 23 1 2 指数式与对数式间的转换指数式与对数式间的转换指数式与对数式间的转换指数式与对数式间的转换 转换关系为bxba a x log 3 1 33 1 33 1 33 1 3 对数的运算对数的运算对数的运算对数的运算 例 4 求下列各式的值 7 1 log1000lg3log 1 2121 2log5log4log3log 2 5432 例 5 已知a 3log2 73 b 求56log12 第 12 页 共 16 页 例 6 若1052 ba 求 ba 11 的值 例 7 10 辽宁 若m ba 52 且2 11 ba 求m的值 熟记以下公式 ba b a log 1 NMNM aaa loglog log 2 NM N M aaa loglog log 3 MnM a n a log log 4 a b b c c a log log log 5 3 2 3 2 3 2 3 2 指数函数 对数函数 幂函数的图像及性质指数函数 对数函数 幂函数的图像及性质指数函数 对数函数 幂函数的图像及性质指数函数 对数函数 幂函数的图像及性质 3 2 13 2 13 2 13 2 1 定义域 值域定义域 值域定义域 值域定义域 值域 略 3 2 23 2 23 2 23 2 2 利用函数单调性比较大小利用函数单调性比较大小利用函数单调性比较大小利用函数单调性比较大小 略 3 2 33 2 33 2 33 2 3 考察函数图像考察函数图像考察函数图像考察函数图像 例1 如图3 3 3 3 1 1 1 1所示的是指数函数 x ay 1 x by 2 x cy 1 x dy 1 的图像 则dcba 及 1 的关系为 badc 1 例 2 如图 3 23 23 23 2 所示的是指数函数 x a ylog 1 x b ylog 2 x c ylog 3 x d ylog 4 的图像 则dcba 及 1 的关系为 abcd 1 图 3 13 13 13 1图 3 23 23 23 2 第 13 页 共 16 页 3 3 3 3 3 3 3 3 反函数问题反函数问题反函数问题反函数问题 3 2 13 2 13 2 13 2 1 求反函数解析式求反函数解析式求反函数解析式求反函数解析式 例 1 求下列函数的反函数 xy 6 1 log 1 x e y 1 2 0 3 xxy 2 4 xy 求反函数的步骤 1 求原函数的值域 2 用 y 表示 x 3 把 x 与 y 互换 并注明定义域 3 2 23 2 23 2 23 2 2 对反函数图像特征 性质的考查 如 图像关于对反函数图像特征 性质的考查 如 图像关于对反函数图像特征 性质的考查 如 图像关于对反函数图像特征 性质的考查 如 图像关于 y xy xy xy x 对称对称对称对称 单调性相同等 单调性相同等 单调性相同等 单调性相同等 略 备注 数学思想方法 1 分类讨论 2 数形结合 3 函数与方程的思想 4 逼近思想 5 归纳 类比思想 参考资料 参考资料 参考资料 参考资料 1 张柏林 新教材 完全解读 高中数学必修 1 M 吉林人民出版社 2009 11 2 王三兴 全品学练考 测评卷 高中数学必修 1 M 阳光出版社 2012 6 第 14 页 共 16 页 练习题 练习题 练习题 练习题 1 已知 2 xxxA 61 xQxB 8 的约数是xxC 4 2 1 D 1 0 E 1 yxyxF 1 0 G 则 A 0B 3 C 用列举法表示 EA CD B 8 1 4 2 1 GF 2 1 已知 1 2 3 xx 则 x 2 已知 2 2 4 2x x 则 x 3 已知集合 1 2 xxA 1 axxB 若AB 求实数a的值 4 已知 集合 A 为非空集合 且 2 axRxA 试求实数a的取值范围 5 试写出集合 dcba的子集 dcba的真子集个数为 3 1 已知 7 6 5 4 3 2 U 7 5 4 3 M 6 5 4 2 N 求NM NM NMCU NMCUI 的值 2 已知 0 yxyxM 043 y