fourier级数 习题课.pdf

数学分析数学分析 第十六章第十六章 习题课习题课 一 内容回顾一 内容回顾 二 例二 例 题题 数学分析数学分析 1 1 傅里叶级数 傅里叶级数 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf 一 内容回顾一 内容回顾 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 nnxdxxfb nnxdxxfa n n 数学分析数学分析 sincos 2 1 0 l xn b l xn a a xf n n n 2 1 0 cos 1 ndx l xn xf l a l l n 2 1 sin 1 ndx l xn xf l b l l n nxbxf n n sin 1 cos 2 1 0 nxa a xf n n 2 1 sin 2 0 nnxdxxfbn 2 1 0 cos 2 0 nnxdxxfan 数学分析数学分析 2 2 收敛定理 收敛定理 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf du u u m uxfxSm 2 sin2 2 12 sin 1 0 2 sin2 2 12 sin 1 du u u m uxfuxf 1 Dirichlet积分积分 数学分析数学分析 2 Riemann引理引理 定理定理 16 2 116 2 1 Riemann 引理 引理 设函数设函数 x 在在 ba上可上可 积或绝对可积 则成立积或绝对可积 则成立 0cos limsin lim b a p b a p pxdxxpxdxx 推论推论 16 2 116 2 1 局部性原理 局部性原理 可积或绝对可积函数可积或绝对可积函数 xf 的的Fourier级 数 在级 数 在x点 是 否 收 敛 只 与点 是 否 收 敛 只 与 xf在在 xx的性质有关 的性质有关 这里这里 是任意小的正常数 是任意小的正常数 推论推论 16 2 2 设函数设函数 u 在在 0 上可积或绝对可积 则成立上可积或绝对可积 则成立 00 2 12 sin lim 2 sin2 2 12 sin limdu u u m udu u u m u mm 数学分析数学分析 3 收敛定理收敛定理 定理定理 16 2 3 Dirichlet 引理 引理 设函数设函数 u 在在 0 上单调 上单调 则成立则成立 0sin 0 lim 0 pudu u u p H lder 条件条件 的的定义定义 定义定义 16 2 2 设点设点x是函数是函数 xf的连续点或的连续点或第一类不连续点 若第一类不连续点 若 对于充分小的正数对于充分小的正数 存在常数 存在常数0 L和和 1 0 使得成立 使得成立 Luxfuxf 0 u 则称则称 xf在点在点x处满足指处满足指 数为数为 1 0 的的 H lder 条件条件 当 当1 也称为也称为 Lipschitz 条件条件 分段单调函数分段单调函数的定义的定义 定义定义 16 2 1 设设函数函数f在在 ba 或 或 ba 上有定义 上有定义 如果在如果在 ba 或 或 ba 上存在 上存在有限个点有限个点 10 xxa 2 2 x bxN 使得使得f在每个区间在每个区间 1ii xx Ni 2 1 上是 上是单调函数 则单调函数 则 称称 f在 在 ba 或 或 ba 上 上分段单调分段单调 数学分析数学分析 3 收敛定理收敛定理 定理定理 16 2 2 设函数设函数 xf在在 上上可积或绝对可积 且可积或绝对可积 且 满足下列两个条件之一 满足下列两个条件之一 则则 xf的的 Fourier 级数在点级数在点x处处 收敛于收敛于 2 xfxf 1 1 Dirichlet Jordan 判别法判别法 xf在在点点x的某个邻域的某个邻域 xO上是分段单调有界函数 上是分段单调有界函数 2 Dini Lipschitz 判别法判别法 xf在在点点x处满足指数为处满足指数为 1 0 的的 H lder 条件 条件 推论推论 16 2 3 若若 xf在在 上上可积或绝对可积 在可积或绝对可积 在点点x处两处两 个单侧导数个单侧导数 xf 和和 xf 都存在 或更进一步 只要都存在 或更进一步 只要两个拟两个拟 单侧导数单侧导数 h xfhxf h lim 0 存在 存在 则则 xf的的 Fourier 级数级数 在点在点x处收敛于处收敛于 2 xfxf 数学分析数学分析 3 Fourier级数的性质级数的性质 定理定理 16 3 1 设设 xf在在 上上可积或绝对可积 则对于可积或绝对可积 则对于 xf的的 Fourier 系数系数 n a与与 n b 有 有 0lim n n a 0lim n n b 定理定理 16 3 2 Fourier 级数的级数的逐项积分定理 逐项积分定理 设设 xf在在 上上 可积或绝对可积 可积或绝对可积 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf 则则 xf的的 Fourier 级数可以级数可以逐项积分逐项积分 即对于任意 即对于任意 xc 1 0 sincos 2 n x c nn x c x c dtntbntadt a dttf 1 1 分析性质分析性质 数学分析数学分析 推论推论 16 3 1 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 是某个在是某个在 上上可可 积或绝对可积函数的积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是级数的必要条件是 1n n n b 收敛收敛 定理定理 16 3 3 Fourier 级数的级数的逐项微分定理 逐项微分定理 设设 xf在在 上连续 上连续 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a xf ff 且除了有限个点外且除了有限个点外 xf可导 进一步假设可导 进一步假设 x f 在在 上上可可 积或绝对可积 注意 积或绝对可积 注意 x f 在有限个点可能无定义 但这并在有限个点可能无定义 但这并 不影响其可积性 不影响其可积性 则 则 x f 的的 Fourier 级数可由级数可由 xf的的 Fourier 级数级数逐项逐项微微分得到 即分得到 即 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa dx da dx d xf 1 cossin n nn nxnbnxna 数学分析数学分析 2 逼近性质逼近性质 定义定义 16 3 1 设设S是一个定义了内积运算是一个定义了内积运算 的线性空间的线性空间 取取S中的范数为中的范数为 T是是S一个一个n维子空间维子空间 记记T的的 一组正交基为一组正交基为 n 2 21 1 即即 21n spanT 若对于若对于Sx 有有Tcccx nnT 2211 使得使得 T xx yx Ty min 则称则称 T x是是x在在T中的中的最佳平方最佳平方 逼近元素逼近元素 定理定理 16 3 4 Fourier 级数级数的平方逼近性质 的平方逼近性质 设设 xf在在 上上可积或平方可积 则可积或平方可积 则 xf在在T中的最佳平方逼近元中的最佳平方逼近元 素恰为素恰为 xf的的 Fourier 级数的部分和函数级数的部分和函数 n k kkn kxbkxa a xS 1 0 sincos 2 逼近的余项为逼近的余项为 n k kkn ba a dxxfSf 1 22 2 022 2 1 数学分析数学分析 推论推论 16 3 216 3 2 Bessel 不等式 不等式 设设 xf在在 上上可积或平方可积或平方 可积 则可积 则 xf的的 Fourier 系数满足不等式系数满足不等式 dxxfba a k kk 1 2 2 1 22 2 0 这表示这表示 Fourier 系数的平方组成了一个收敛的级数 系数的平方组成了一个收敛的级数 定理定理 16 3 16 3 5 5 Parseval 等式 等式 设设 xf在在 上上 可积或平方可积 则成立可积或平方可积 则成立等式等式 dxxfba a k kk 1 2 2 1 22 2 0 数学分析数学分析 定义定义 16 3 2 若函数序列若函数序列 x n 满足满足0 lim 2 xxf n n 这里这里 xf是某一个固定函数是某一个固定函数 则称则称 x n 按范数按范数 平方收平方收 敛敛于于 xf 简称简称 x n 平方收敛于平方收敛于 xf 推论推论16 3 316 3 3 Fourier级数级数的平方收敛性质的平方收敛性质 设设 xf在在 上上可积或平方可积 则可积或平方可积 则 xf的的 Fourier 级数的部分和函数级数的部分和函数序序 列列平方收敛于平方收敛于 xf 定理定理 16 3 16 3 6 6 Weierstrass 第二逼近定理第二逼近定理 对周期为对周期为 2的的 任意一个连续函数任意一个连续函数 xf 都存在三角多项式序列 都存在三角多项式序列 n k kkn kxBkxA A x 1 0 sincos 2 使得使得 x n 一致收敛于一致收敛于 xf 数学分析数学分析 f 的 的 Fourier 逆逆变换变换 defxfF xi 2 1 1 f的的 Fourier 变换变换 dxexff xi dxexfffF xi f的的 Fourier 积分积分 dtetfddedtetf txixiti 2 1 2 1 4 Fourier 变换与变换与积分积分 定理定理16 4 1 设函数设函数f在在 上绝对可积 且在上绝对可积 且在 中中 的任何闭区间上分段可导 则的任何闭区间上分段可导 则f的的 Fourier 积分满足 对于积分满足 对于 任意任意 x成立成立 dtetfd txi 2 1 2 xfxf 数学分析数学分析 定义定义 16 4 1 设函数设函数f在在 ba上除有限个点上除有限个点 bxxxxa N 210 外均可导 而在外均可导 而在 i x 2 1 0Ni 处处f的左右极限的左右极限 i xf和和 i xf都存在 在都存在 在ax 0 0 右极限存在 在右极限存在 在bxN 左极限存在 左极限存在 并且极限并且极限 h xfhxf ii h lim 0 和和 h xfhxf ii h lim 0 都存在 在都存在 在ax 0 0 上述第二个极限存在 在上述第二个极限存在 在bxN 上述第一上述第一 个极限存在 那么称个极限存在 那么称f在在 ba上上分分段可导段可导 数学分析数学分析 线性性质线性性质 设设 2 21 1 c c是常数 若是常数 若gf 的的 Fourier 变换存在变换存在 则 则 2121 gFcfFcgcfcF 若若 gFgfFf 的的 Fourier 逆逆变换存在变换存在 则 则 1 2 1 121 1 gFcfFcgcfcF 位移性质位移性质 若函数若函数f的的 Fourier 变换存在变换存在 则 则 0 0 0 0 xi efFxxfF 若若 fFf 的的 Fourier 逆逆变换存在变换存在 则 则 xi exfFxfF 0 0 1 1 0 0 1 1 数学分析数学分析 时间尺度性时间尺度性 a f a axfF 1 频率尺度性 频率尺度性 1 af a x f a F 微分性质微分性质 1 设函数设函数 xf在在 上连续上连续可导 可导 且绝对可积 且绝对可积 若若0 lim xf x 则有 则有 fFifF 2 若若 xf和和 xxf在在 上绝对可积 则上绝对可积 则 fFfixF 数学分析数学分析 微分性质微分性质 1 设函数设函数 xf在在 上连续上连续可导 可导 且绝对可积 且绝对可积 若若0 lim xf x 则有 则有 fFifF 2 若若 xf和和 xxf在在 上绝对可积 则上绝对可积 则 fFfixF 积分性质积分性质 设函数设函数 xf和和 x dttf 在在 上绝对可积上绝对可积 则则 1 fF i dttfF x 数学分析数学分析 定理定理 16 4 3 Parseval 等式 等式 设函数设函数f在在 上绝对可积 上绝对可积 且且 2 dxxf收敛 收敛 记记f的的 Fourier 变换为变换为f 则 则 dfdxxf 2 2 2 1 定义定义 16 4 2 设函数设函数f和和g在在 上定义 且积分上定义 且积分 dttxgtfxgf 存在 则称函数存在 则称函数gf 为为f和和g的的卷积卷积 5 5 卷积卷积 卷积具有对称性 即卷积具有对称性 即fggf 定理定理 16 4 216 4 2 卷积的卷积的 Fourier 变换变换 设函数设函数f和和g在在 上绝对可积 则有上绝对可积 则有 gFfFgfF 数学分析数学分析 4 3 4 3 2 1 A 2 1 2 5 1 0 cos 2 cos 2 1 2 1 22 2 1 0 1 0 1 0 ACA Sndxxnxfa dxxna a xS xx xx xf n n n 则则 设设 解解 C 由收敛定理由收敛定理 例例1 1 1 1 例例1 2 1 2 cos 2 0 2 axdxxnax n n 则则设设 12cos 2 0 2 2 傅里叶系数傅里叶系数解解dxxxa 二 二 例题例题 数学分析数学分析 设设 xxf 0 x 1 将将 xf展开成展开成正弦正弦级数级数 2 求求和函数和函数并绘并绘出和函数图形出和函数图形 3 判断判断该级数在该级数在 0 上是否一致收敛上是否一致收敛 并说明理由并说明理由 解解 例例2 2 1 将将 进行奇延拓进行奇延拓 2 sin 2 0 n nxdxxbn 0 sin 2 3sin 3 1 2sin 2 1 sin2 1 x n nx xxxxf n 0 0 0 0 sin 2 1 x xx xx n nx xS n 2 根据收敛定理知根据收敛定理知 和函数的周期为和函数的周期为 它在它在 上的表达式为上的表达式为 2 厦门大学厦门大学 数学分析数学分析 o 和 函 数 图 象 和 函 数 图 象 2 2 3 3 x xS 3 该级数在该级数在 上不一致收敛上不一致收敛 因为若因为若级数在级数在 上一致收敛上一致收敛 由级数在由级数在 收敛收敛 则级数应该则级数应该 在在 连续连续 矛盾矛盾 0 0 x 0 0 x 数学分析数学分析 解解 例例3 3 方法方法 间接展开间接展开 得得由由 1cos 1 cos 2 1 sinsinxnxnxnx Fourier sin sin 1 2 Fourier 1 1 展开式展开式上的上的 在在试求试求 展开式为展开式为上的上的在在已知已知 xxxgxnx n x xxf n n sinsin 1 2sin 1 1 n n xnx n xx sin 1 2 1 1 xnx n x n n cos 1 1 2 2 cos 1sin 1 2 1 xnx n x xx n n 因为级数因为级数在在 上一致收敛上一致收敛 且且级数在级数在 收敛收敛 故上式即为所求故上式即为所求 x 数学分析数学分析 扩展扩展 间接方法 间接方法 初等变形 逐项积分 微分初等变形 逐项积分 微分 sin 1 2 1 1 xnx n x n n 由由例如例如 因为该级数因为该级数在在 上一致收敛上一致收敛 且在且在 收敛收敛 故故 x 1 2cos 1 2 sin 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 2 x n nx n dtnt n tdtx n n n n n x n x 可得可得 cos 1 4 3 1 2 2 2 xnx n x n n 12 1 2 1 2 1 n n n 数学分析数学分析 设设 xf是以为周期的函数是以为周期的函数 且满足且满足 阶阶H lder 条件条件 1 0 yxLyfxf 证明证明 1 1 n n Ob n Oa nn 例例4 4 证证 n n n dtnt n tf n txnxdxxfa cos 1 cos 1 nxdx n xfntdt n tfcos 1 cos 1 dxnx n xfxfa nxdx n xfxfa a n n n cos 2 1 cos 2 1 变换前后相加平均得变换前后相加平均得 数学分析数学分析 设设 xf是以为周期的函数是以为周期的函数 且满足且满足 阶阶H lder 条件条件 1 0 yxLyfxf 证明证明 1 1 n n Ob n Oa nn 例例4 4 同理 同理即即 1 1 n Ob n Oa nn dxnx n L dxnx n xfxfan cos 2 1 cos 2 1 由题设由题设 cos 2 1 n Ldxnx n L 数学分析数学分析 解解 例例5 5 同济大学同济大学 cos 2 2 cos 2 Fourier 2 1 1 cos 2 Fourier 2 1 2 2 0 1 2 2 0 1 0 xHnxa a nxa a xH dttftxfxH nxa a xf xf n n n n n n 一致收敛于一致收敛于 级数为级数为它的它的连续偶函数连续偶函数 为周期的为周期的是以是以函数函数 证明证明 级数为级数为其其为周期的连续偶函数为周期的连续偶函数是以是以设设 1 1 1 000 0 连续连续在在故故连续连续区域区域 在在故故连续连续因因 xxHxx tftxfxxf 数学分析数学分析 cos 2 1 0 n n nxAAxH xHxHxH 设设 为周期为周期以以显然显然可验证可验证 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 adttf a A aduuftxudttxf dxdttftxfdxxHA t t 故故 而而 dxtfnxdttxf dxdttftxfnxnxdxxHAn cos 11 1 cos 1 cos 1 数学分析数学分析 cos sin sin 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 nxa nxnuduufnxnuduuf duxunufntdttxfA txu n t t n 令令 cos 1 2 nnn anxdxxfaA 故故 cos 2 2 cos 2 2 Parseval 2 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 xxHnxa a a a nxa a a a n n n n n n n n 一致收敛于一致收敛于故故 又又收敛收敛等式知等式知由由 数学分析数学分析 证证 例例6 6 2 0 sin cos 2 sincos 2 Fourier 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 上逐项可积上逐项可积可在可在 试证试证 级数级数内可展它的内可展它的且在且在 上连续上连续在在上可积上可积在区间在区间设设 n nn n nn nxxfbnxxfaxf a xxf nxbnxa a xf xxf 0d sin cos d 2 d 1 2 0 2 0 0 2 0 nxkxxfbkxxfa xxf a xxxf n k kk 要证的结论等价于要证的结论等价于 数学分析数学分析 sincos 2 1 0 n k kkn kxbkxa a xS记记 0d 2 0 nxxSxxf n 要证的结论等价于要证的结论等价于 2 1 2 0 2 2 0 2 2 0 d d d Cauchy xxSxxxf xxSxxf n n 不等式得不等式得由由 2 d 1 d 1 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 2 k n k kn ba a xxxxS