中考数学专家讲坛89 试论数学的分类讨论思想素材(PDF).pdf

收稿日期 2006 05 15 作者简介 王全庆 1963 河南社旗人 从事中学数学教学与研究 试论数学的分类讨论思想 王 全 庆 南阳农业学校 河南 南阳 473000 摘要 分类讨论是高中数学重要的思想方法和解题策略 也是教学的重点和难点 更是高考的热点 本文论述了数学 分类讨论的原则 步骤 并从六个方面阐述了高中数学中哪些内容需要分类讨论以及怎样分类讨论 关键词 高中数学 分类讨论 原则 步骤 原因及分析 中图分类号 G 633 6文献标识码 A 文章编号 1671 6132 2006 09 0119 03 在研究和解答某些数学问题时 有时会遇到多种情况 无法用同一种形式解决 或不能进行统一研究时 就需要选定一 个标准 将问题划分成几个能用不同形式解决的小问题 将这些问题一一解决 最后综合各类结果得到整个问题的解决方 法 这就是数学的分类讨论 分类讨论时要掌握的原则是 对象确定 标准统一 不重不漏 分清层次 逐级讨论 解决分类讨论问题时要按下列步骤进行 1 确定讨论对象 2 对对象合理分类 3 逐类讨论 4 归纳总结 进行分类讨论的关键是明确讨论的动因 即认识到为什么要分类讨论 只有这样 才能准确地 恰当地进行分类讨论 而引起分类讨论的原因很多 现根据原因 结合实例 逐一加以归类分析说明 1根据数学概念 定义分类讨论 有些数学概念是分类定义的 或受到一些条件限制 解题时遇到这些概念 就要分类讨论 如绝对值 偶次根式 直线与 平面成的角 直线斜率 k tan 2 二次函数 开口方向 复数辐角主值 0 argZ 2 曲线系中二次曲线的分类 分段函数 利用导数讨论极值点和单调性等 例 1解不等式 log 1 3 x log1 3 3 x 1 分析 实数的绝对值是分类定义的 a a a 0 a a 0 和 3 x 0 求出 x 的范围 0 x 3 再令 log1 3 x 0 和 log1 3 3 x 0 求出零点 x 1 x 2 对未知数 x 进行讨论 解 1 当 0 x 1 时 原不等式化为log1 3 x log1 3 3 x 1 3 4 x 1 2 当 1 x 2 时 原不等式化为 log1 3 x log1 3 3 x 1 1 x 2 3 当 2 x 3 时 原不等式化为 log1 3 x log1 3 3 x 1 2 1 和 0 a 0 令 Tn sn sn 1 求 limn Tn 分析 使用等比数列前 n 项和公式要分 q 1 和 q 1 讨论 另外 由于 q 0 还要对 q 再次分类讨论 解 1 q 1 时 sn na1 s n 1 n 1 a1 所以 lim n Tn lim n n n 1 1 2 q 1 时 sn a1 1 qn 1 q s n 1 a1 1 qn 1 1 q 所以 Tn sn sn 1 1 qn 1 qn 1 0 q 1 时 lim n Tn lim n 1 q n 1 1 q n q 1 q 第 5 卷第 9 期 2006 年 9 月 南阳师范学院学报 Journal of Nanyang Normal University Vol 5 No 9 Sep 2006 3由数学运算或证明的需要引起分类讨论 在数学运算或证明的过程中 有时不进行分类 将使运算或证明无法进行或难以说清 这时就要进行分类讨论 如除法 运算中除数不能为零 不等式同乘 除 以一个数时要考虑正负 三角运算要考虑角的象限 二次函数求根要考虑判别式 讨 论集合间的关系要考虑是否空集 解无理不等式要考虑被开方数和另一端的正负 平面向量题要考虑是否是零向量 是否 共线等 例 3 解不等式5 4x x 2 x 分析 解无理不等式 需将两边平方去根号 化为有理不等式来解 而只有两边非负时才能平方 因此应对 x 进行讨论 解 原不等式等价于 x 0 5 4x x2 0 或 x 0 5 4x x2 0 解 由 得 0 x 1 14 2 解 得 5 x 0 所以 5 x 1 14 2 原不等式的解集为 x 5 x 1 14 2 例 4求函数 y sinx sinx cosx cosx tanx tanx cotx cotx 的值域 分析 分子带有绝对值 其正负取决于 x 所在的象限 因此应分象限讨论 解 1 当 x 是第一象限角时 y sinx sinx cosx cosx tanx tanx cotx cotx 4 2 当 x 是第二象限角时 y sinx sinx cosx cosx tanx tanx cotx cotx 2 3 当 x 是第三象限角时 y sinx sinx cosx cosx tanx tanx cotx cotx 0 4 当 x 是第四象限角时 y sinx sinx cosx cosx tanx tanx cotx cotx 2 所以 函数的值域是 2 0 4 4由参数的变化引起讨论 有时方程 不等式 函数式中所含参数取不同的值时 导致结果不同 则要进行讨论 如圆锥曲线离心率不同曲线类型 不同 函数 不等式中二次项系数是否为零结果不同 集合中参数取值不同导致集合间关系发生变化等 例 5 当 从 0 到 180 变化时 曲线 x2 y2cos 1 分别表示什么曲线 分析 参数 取值不同 则方程会表示圆 直线 椭圆 双曲线等 因此要分类讨论 解 1 当 0 时 cos 1 方程为 x2 y2 1 它表示单位圆 2 当 0 90 时 0 cos 1 方程为 x 2 y2cos 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 3 当 90 时 cos 0 方程为 x2 1 即 x 1 它表示两条平行线 4 当 90 180 时 1 cos 0 方程为 x2 y2 1 cos 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线 5 当 180 时 cos 1 方程为 x2 y2 1 它表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线 例 6解关于 x 的不等式 ax 2 a 1 x 1 0 a 0 最后还要比较根的大小 因此要做三级分类 解 1 当 a 0 时 原不等式化为 x 1 1 2 当 a 0 时 原不等式化为 a x 1 x 1 a 0 若 a 0 因 1 a 0 则解集为 x x 1 若 a 0 原不等式化为 x 1 x 1 a 1 则 1 a 1 所以解集为 x 1 a x 1 ii 若 a 1 则 1 a 1 则解集为 iii 若 0 a 1 则解集为 x 1 x 0 求矩形 OPQR 在第一象限的面积 s t 分析 由 t 0 知 P 在第一象限 R 在第二象限 但点 Q 的横坐标 1 2t 可正 可负 可为零 故需要讨论 图 1 图 2 图 3 解 1 当 1 2t 0 即 0 t 1 2 时 点 Q 在第一象限 如图 1 所示 设 RQ 与 y 轴交于 M 则 kRQ t 则 RQ y 2 t x 2t 令 x 0 得 y 2t2 2 则 M 0 2t2 2 又 OP 1 t 2 OR 2 1 t 2 RM 2t 1 t 2 则 s t SOPQR SORM OP OR 1 2 OR RM 2 1 t t2 t3 2 当 1 2t 0 即 t 1 2 时 如图 2 所示 P 1 1 2 Q 0 5 2 则 s t SOPQ 5 4 3 当 1 2t 1 2 时 点 Q 在第二象限 如图 3 设 PQ 与 y 轴交于 N 则 kPQ 1 t 则 PQ y t x 1 t 令 x 0 得 y t 1 t N 0 t 1 t 则s t SOPN t 1 t 2 6根据实际情况分类讨论 在解决排列组合和概率统计问题时 经常要根据实际情况进行分类讨 论 有一些应用题也要根据实际情况分类讨论 例 8 某车间有 10 名工人 其中有 4 人仅会车工 3 人仅会钳工 另 3 人 车工 钳工都会 现从中选 6 人去完成一项工作 要求车工 钳工各 3 人 有多 少种选派方案 分析 若先考虑选钳工 总共 6 人会 有 C36种选法 但此时不清楚选出的 钳工中有几人是车工 钳工都会的 导致下一步选车工无法进行 若先选车 工 也会遇到同样问题 故必须先对 全能 工人 即车工 钳工都会 进行分类 讨论 解 1 选出的钳工中没有全能工人的选法有 C3 3C 3 7种 2 选出的钳工中有 1 名全能工人的选法有 C13C23C36种 3 选出的钳工中有 2 名全能工人的选法有 C23C13C35种 4 选出的钳工中有 3 名全能工人的选法有 C33C34种 因此 共有 C33C37 C13C23C36 C23C13C35 C33C34 309 种 随着高考对能力要求的提高 分类讨论的数学思想愈加显得重要 对此 必须给予足够的重视 真正达到该分就分 准确讨论的境界 但另一方面 很 多同学却因分类讨论的繁杂 易错 或重或漏 总是对其心存恐惧 其实 相当 多的分类讨论问题 是可以通过适当的方法 避免或简化讨论的 常用的方法 有 1 消去参数 2 整体代换 3 数形结合 4 主参易位 5 删繁就简等 限于篇幅 不再展开说明 On mathematical thought classified discussion WANG Quan qing Nanyang Agricultural School Nanyang 473000 China Abstract Classified discussion is a very important thinking idea and strategy for solving problems It is not only the important and difficult point but also the hot point in National Matriculation Maths Test In this essay the principles and steps of maths classified discussion are expounded on