2016年全国高中数学联赛（湖北赛区）预赛试题（高二年级）及答案.pdf

2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 高二 第1页 共 3 页 2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准 高二年级 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准 填空题只设9分和0分两档 其他各题的评阅 请严格按照本评分标准的评分档次给分 不要增加其他中间档次 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分 解答题中5分为一个档次 不要增加其他中间档次 一 填空题 本大题共10小题 每小题9分 共90分 1 已知函数 f x满足 1 2f 1 1 1 f x f x f x 对定义域内任意x都成立 那么 2016 f 1 3 2 从五个正整数 a b c d e中任取四个求和 得到的和值构成集合 44 45 46 47 则 abcde 57 3 已知 ABC是等边三角形 椭圆 的一个焦点为A 另一个焦点F在线段BC上 如果椭 圆 恰好经过 B C两点 则它的离心率为 3 3 4 已知实数 x y满足 2 2 1 3 x y 则 24 42 Pxyxy 的取值范围是 2 14 5 袋子中有 5 个白球 4 个红球和 3 个黄球 从中任意取出 4 个球 各种颜色的球都有的概率 为 6 11 6 以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有 14 个 说明 全等的三角形视 为形状相同 7 已知质数 p q满足 52 21qp 则pq 14 8 已知四面体的一条棱长为 6 其余棱长均为 5 则这个四面体的外接球的半径为 20 39 39 9 已知MN是边长为2 6的等边 ABC的外接圆的一条动弦 MN 4 P为 ABC的边 上的动点 则MP PN 的最大值为 4 10 设 a表示不大于a的最大整数 则方程 1 78 xx 的最大正整数解为 104 二 解答题 本题满分二 解答题 本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分 分 11 已知 2 Ax xx 2 log a Bx xx 且BA 求实数a的取值范围 解解 易知 01 Axx 显然有0a 且1a 1 当01a 时 若 2 logaxx 则必有01x 此时恒有BA 5 分 2 当1a 时 对于满足01x 的任意x 一定有 2 0 x log0 ax 此时必有 2 logaxx 所以 AB 又BA 所以B 设 2 logaf xxx 则B 等价于 0f x 在 0 上恒成立 10 分 令 1 20 ln fxx xa 得 0 1 2ln x a 可知 f x在 0 0 x上单调递减 在 0 x 上 单调递增 所以 f x的最小值为 0 f x 2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 高二 第2页 共 3 页 要使得 0f x 在 0 上恒成立 只需 0 0f x 即可 15 分 0 0f x 11 log0 2ln2ln a aa 11 ln 1 22ln 0 2lnln a aa 1 ln 2ln 0a 1 2e ea 综合 1 2 可知 实数a的取值范围 1 2e 0 1 e 20分 12 已知定义在R上的函数 f x满足 10 1 3 f 且对任意实数 x y 恒有 f x f yf xyf xy 若数列 n a满足3 1 n af nf n Nn 1 求数列 n a的通项公式 2 令 2 24 38 n n n a b a Nn n S是数列 n b的前n项和 求证 1 n S 解解 在 式中令1x 0y 得 1 0 2 1 fff 又 10 1 3 f 所以 0 2f 在 式中令xn 1y 1 1 1 f n ff nf n 所以 10 1 1 3 f nf nf n 5 分 所以 1 3 1 9 3 1 3 3 1 3 nn af nf nf nf nf nf na 又 1 3 1 0 8aff 所以 1 8 3n n a 10 分 2 1 2122 2424 8 33 38 3 8 38 31 nn n n nn n a b a 容易证明 1 1 31 31 4 kk 对一切 Nk 恒成立 从而可得 211 34 311 2 31 31 31 3131 kk k kkkkk b 15 分 所以 12 12231 111111 2 313131313131 nn nn Sbbb 11 11 2 3131 n 1 2 11 31 n 20 分 13 过抛物线 2 2 0 ypx p 外一点P向抛物线作两条切线 切点为M N F为抛物线的 焦点 证明 1 2 PFMFNF 2 PMFFPN 证明证明 设 00 P xy 11 M x y 22 N xy 易求得切线PM的方程为 11 y yp xx 切线 PN的方程为 22 y yp xx 因为点P在两条切线上 所以有 1001 y yp xx 1001 y yp xx 故点M N均在直线 2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 高二 第3页 共 3 页 00 y yp xx 上 所以直线MN的方程为 00 y yp xx 联立 00 2 2 y yp xx ypx 得 22 00 2p xxpxy 即 2 22 0 00 2 0 y xxxx p 由韦达定理可知 2 0 120 2 y xxx p 2 120 x xx 5 分 1 因为 0 2 p F 由抛物线的第二定义可得 1 2 p MFx 2 2 p NFx 所以 2 121212 2224 pppp MFNFxxx xxx 22 2 0 00 2 24 ypp xx p 2 22222 00000 42 pp xypxxyPF 因此 2 PFMFNF 10 分 2 因为 00 2 p FPxy 11 2 p FMxy 22 2 p FNxy 所以 2 00110 10101 2224 pppp FP FMxyxyx xxxy y 2 0 10101 24 pp x xxxp xx 2 0 101 24 pp x xxx 01 22 pp xx 又 1 2 p MFx cosFP FMFPMFPFM 所以 010