九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题4.doc

九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题4抛物线与存在性-4一、解答题（共30小题）1、（2010孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上（1）二次函数的解析式为y=_；（2）证明点（m，2m1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作CEx轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点y轴上存在点K，使以K，Z，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是_；二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由2、（2010宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由3、（2010遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为Q（2，1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由4、（2010淄博）已知直角坐标系中有一点A（4，3），点B在x轴上，AOB是等腰三角形（1）求满足条件的所有点B的坐标；（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积5、（2011保山）如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PDAC，垂足为D（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在Q，使得SPAD：SQOA=8：25，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由6、（2011大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由7、（2011达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SMAP=2SACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由8、（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC的面积SABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由9、（2011常德）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：CFE=AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有请求出所有和条件的点P的坐标，若没有，请说明理由10、（2011防城港）已知抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由11、（2011东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直 角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由12、（2011德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图2，P运动到与x轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由13、（2011丹东）己知：二次函数y=ax2+bx+6（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x24x12=0的两个根（1）请直接写出点A、点B的坐标（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）过点Q作QDAC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当CDQ面积S最大时，求m的值14、（2011广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B（l，2），D（3，0）连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QEQC|最大？并求出最大值15、（2011呼和浩特）已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位（m0）得到的新抛物线过点（1，8）（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2=a（xh）2+k的形式；（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在3x时对应的函数值y的取值范围；（3）设一次函数y3=nx+3（n0），问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y=y3时，对应的x的值为1x0，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由16、（2011衡阳）已知抛物线（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形17、（2011淮安）如图已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由18、（2011江西）将抛物沿c1：y=x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示（1）请直接写出拋物线c2的表达式（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由19、（2011江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H（1）直接填写：a=_，b=_，顶点C的坐标为_；（2）在y轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标20、（2011兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（1）求抛物线的解析式（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设S=PQ2（cm2）试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标21、（2011来宾）如图，半径为1的M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，OMA=60，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C（1）求点A、B的坐标；（2）求抛物线的函数关系式；（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由22、（2011泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为，且（1）若该函数的图象经过点（1，1）求使y0成立的x的取值范围若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1，设MAM1，AM1N1，ANN1的面积分别为s1，s2，s3，是否存在m，使得对任意实数p0都有s22=ms1s3成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由23、（2011龙岩）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1（1）填空：b=_c=_，点B的坐标为（_，_）：（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F求FC的长；（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由24、（2011临沂）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由25、（2011凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x24x12=0的两个根（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由26、（2011内江）如图抛物线y=x2mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（01）且对称抽x=l（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3若存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由（使用图1）；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）27、（2011攀枝花）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（1，0）（1）求二次函数的关系式；（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足2xB，当AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；（3）抛物线上是否存在点C使AOC的面积与（2）中AOB的最大面积相等若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由28、（2011日照）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=相交于点A，B已知点B的坐标为（2，2），点A在第一象限内，且tanAOx=4过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由29、（2011黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），AOB的面积是（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把AOB分成两个三角形使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由30、（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2010孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上（1）二次函数的解析式为y=y=x2x+1；（2）证明点（m，2m1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作CEx轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点y轴上存在点K，使以K，Z，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是（0，5）或（0，4）；二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题；压轴题。分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则BA=DK，且BADK，进而求出K点的坐标过点B作BFx轴于F，则BFCEAO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S三角形ABD=2S三角形ACD，设P（x，x2x+1），由题意可以解出x解答：解：（1）解：y=x2x+1，（2）证明：设点（m，2m1）在二次函数y=x2x+1的图象上，则有：2m1=m2+m+1，整理得m24m+8=0，=（4）248=160原方程无解，点（m，2m1）不在二次函数y=x2x+1的图象上（3）解：K（0，3）；二次函数的图象上存在点P，使得S三角形POE=2S三角形ABD，如图，过点B作BFx轴于F，则BFCEAO，又C为AB中点，OE=EF，由于y=x2x+1和y=x+1可求得点B（8，9）E（4，0），D（4，1），C（4，5），ADx轴，S三角形ABD=2S三角形ACD=244=16设P（x，x2x+1），由题意有：S三角形POE=4（x+1）=x22x+2，S三角形POE=2S三角形ABDx22x+2=32解得x=6或x=10，当x=6时，y=36+6+1=16，当x=10时，y=10010+1=16，存在点P（6，16）和P（10，16），使得S三角形POE=2S三角形ABD得到POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，然后由16=x2x+1可求出P点坐标点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心2、（2010宜宾）将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知OA、OC的长，可得A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式（2）设出点P的横坐标，表示出CP的长，由于PEAB，可利用相似三角形CPECBA，求出APE的面积表达式，进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题，根据函数的性质即可得到APE的最大面积及对应的P点坐标（3）由于AGC的面积无法直接求出，可用割补法求解，过G作GHx轴于H，设出G点坐标，表示出HGC、梯形AOHG的面积，它们的面积和减去AOC的面积即可得到AGC的面积表达式，然后将（2）题所得APE的面积最大值代入上式中，联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标解答：解：（1）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点A（0，6），c=6（1分）抛物线的图象又经过点（3，0）和（6，0），（1分）解之得，（1分）故此抛物线的解析式为：y=x2+x+6（1分）（2）设点P的坐标为（m，0），则PC=6m，SABC=BCAO=96=27；（1分）PEAB，CEPCAB；（1分），即=（）2，SCEP=（6m）2，（1分）SAPC=PCAO=（6m）6=3（6m），SAPE=SAPCSCEP=3（6m）（6m）2=（m）2+；当m=时，SAPE有最大面积为；此时，点P的坐标为（，0）（1分）（3）如图，过G作GHBC于点H，设点G的坐标为G（a，b），（1分）连接AG、GC，S梯形AOHG=a（b+6），SCHG=（6a）b，S四边形AOCG=a（b+6）+（6a）b=3（a+b）（1分）SAGC=S四边形AOCGSAOC，=3（a+b）18，（1分）点G（a，b）在抛物线y=x2+x+6的图象上，b=a2+a+6，=3（aa2+a+6）18，化简，得4a224a+27=0，解之得a1=，a2=；故点G的坐标为（，）或（，）（1分）点评：此题涉及到二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识，注意面积问题与二次函数最值问题之间的联系3、（2010遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为Q（2，1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PDy轴，所以ADP90，若ADP是直角三角形，可考虑两种情况：以点P为直角顶点，此时APDP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；以点A为直角顶点，易知OA=OC，则OAC=45，所以OA平分CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）的一种情况符合题意，由知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标解答：解：（1）抛物线的顶点为Q（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x2）21，将C（0，3）代入上式，得：3=a（02）21，a=1；y=（x2）21，即y=x24x+3；（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x24x+3=0，解得x=1，x=3；点A在点B的右边，B（1，0），A（3，0）；P1（1，0）；当点A为APD2的直角顶点时；OA=OC，AOC=90，OAD2=45；当D2AP2=90时，OAP2=45，AO平分D2AP2；又P2D2y轴，P2D2AO，P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k0）将A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得；y=x+3；设D2（x，x+3），P2（x，x24x+3），则有：（x+3）+（x24x+3）=0，即x25x+6=0；解得x=2，x=3（舍去）；当x=2时，y=x24x+3=2242+3=1；P2的坐标为P2（2，1）（即为抛物线顶点）P点坐标为P1（1，0），P2（2，1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；P（2，1），可设F（x，1）；x24x+3=1，解得x=2，x=2+；符合条件的F点有两个，即F1（2，1），F2（2+，1）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大4、（2010淄博）已知直角坐标系中有一点A（4，3），点B在x轴上，AOB是等腰三角形（1）求满足条件的所有点B的坐标；（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据点A的坐标，易求得OA=5，若AOB是等腰三角形，应分三种情况考虑：OA=OB=5，由于点B的位置不确定，因此要分B在x轴正、负半轴两种情况求解，已知了OB的长，即可得到点B的坐标；OA=AB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，那么点B的横坐标应为点A横坐标的2倍，可据此求得点B的坐标；AB=OB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，可在x轴上截取AD=OA，通过构建相似三角形：OBAOAD，通过所得比例线段来求出OB的长，从而得到点B的坐标（2）任选一个（1）题所得的B点坐标，利用待定系数法求解即可（3）解此题时，虽然不同的抛物线有不同的解，但解法一致；分两种情况：OABP时，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为C、E，易证得AOCPBE，根据所得比例线段，即可求得点P的坐标而梯形ABPO的面积可化为ABO、PBO的面积和来求出OPAB时，方法同上，过P作PFx轴于F，然后通过相似三角形：ABCPOF，来求出P点坐标，梯形面积求法同上（当OA=AB时，两种情况的点P正好关于抛物线对称轴对称，可据此直接求出P点坐标，避免重复计算）解答：解：作ACx轴，由已知得OC=4，AC=3，OA=5（1）当OA=OB=5时，如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（5，0）；如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）；当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（8，0）；当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8由AOB=OAB=ODA，可知AOBODA，则，解得OB=，点B的坐标为（，0）（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（4，3），B（8，0）三点，设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx，可得方程组，解得a=，；当OA=OB时，同理得（3）当OA=AB时，若BPOA，如图（5），作PEx轴，则AOC=PBE，ACO=PEB=90，AOCPBE，设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m8，3m），代入，解得m=3；则点P的坐标为（4，9），S梯形ABPO=SABO+SBPO=48若OPAB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（12，9），S梯形AOPB=SABO+SBPO=48当OA=OB时，若BPOA，如图（6），作PFx轴，则AOC=PBF，ACO=PFB=90，AOCPBF，；设BF=4m，PF=3m，则点P的坐标为（4m5，3m），代入，解得m=则点P的坐标为（1，），S梯形ABPO=SABO+SBPO=若OPAB（图略），作PFx轴，则ABC=POF，ACB=PFO=90，ABCPOF，；设点P的坐标为（n，3n），代入，解得n=9；则点P的坐标为（9，27），S梯形AOPB=SABO+SBPO=75点评：此题考查了等腰三角形的判定、二次函数解析式的确定、梯形的判定、图形面积的求法等知识同时还考查了分类讨论的数学思想，一定要考虑全面，避免漏解5、（2011保山）如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PDAC，垂足为D（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在Q，使得SPAD：SQOA=8：25，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）先求出A、C两点的坐标即可求出直线AC的解析式；（2）求出O、M、A三点坐标，将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）根据题意先求出Q点的y坐标，在根据Q在抛物线上的关系求出Q点的横坐标，便可得出答案解答：解：（1）由题意四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6）可知：A、C两点坐标为A（8，0），C（0，6），设直线AC的解析式y=kx+b，将A（8，0），C（0，6）两点坐标代入y=kx+b，解得，故直线AC的解析式为；（2）由题意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax2+bx，将M（4，3），A（8，0），两点坐标代入y=ax2+bx，得，解得，故经过点O、M、A的抛物线的解析式为；（3）AOCAPD，即，解得PD=2.4，AD=3.2，SPAD：=PDAD=，SPAD：SQOA=8：25，SQOA=12，SQOA=OA|yQ|=8|yQ|=12，解得|y|Q=3，又点Q在抛物线上，所以=3或=3，解方程得x1=4，x2=4+4，x3=44，故Q点的坐标为、Q（4，3）点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题6、（2011大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；（2）求得抛物线顶点P，从直线BC的斜率算起，设过点P的直线，解得直线代入抛物线解析式解得点Q；（3）求得点M，由点M，P的纵坐标关系可知，点R存在，y=2代入解得解答：解：（1）把三点代入抛物线解析式，即得：，所以二次函数式为y=x2+2x+3；（2）由y=x2+2x+3=（x1）2+4，则顶点P（1，4），由B，C两点坐标可知，直线BC解析式为y=x+3，设过点P与直线BC平行的直线为：y=x+b，将点P（1，4）代入，得y=x+5，则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，x2+2x+3=x+5，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，代入直线则得点（1，4）或（2，3），已知点P（1，4），所以点Q（2，3），由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，设过P（1，0）且与BC平行的直线为y=x+c，将P代入，得y=x+1，联立，解得或，Q（，）或Q（，）；（3）有题意求得直线BC代入x=1则y=2，M（1，2），由点M，P的坐标可知：点R存在，即过点M平行于x轴的直线，则代入y=2，x22x1=0，解得x=1（在对称轴的左侧，舍去），x=1，即点R（1）点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查到了三点确定二次函数解析式，两直线相等，即斜率相等，两三角形面积相等，由同底等高；点M的纵坐标的长度是点P的一半，从而解得本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题7、（2011达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SMAP=2SACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，代入y=a（xx1）（xx2），求出二次函数解析式即可；（2）利用QOCCOA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线DC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；（3）首先求出二次函数顶点坐标，S四边形AEPC=S四边形OEPC+SAOC，以及S四边形AEPC=SAEP+SACP=得出使得SMAP=2SACP点M的坐标解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（xx1）（xx2），抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，y=a（x1）（x+3），又抛物线与y轴交于点C（0，3），a（01）（0+3）=3，a=3y=（x1）（x+3），即y=x22x+3，用其他解法参照给分；（2）点A（1，0），点C（0，3），OA=1，OC=3，DCAC，OCx轴，QOCCOA，即，OQ=9，又点Q在x轴的负半轴上，Q（9，0），设直线DC的解析式为：y=mx+n，则，解之得：，直线DC的解析式为：，点D是抛物线与直线DC的交点，解之得：（不合题意，应舍去），点D（，用其他解法参照给分；（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，AE=2，抛物线y=x22x+3的顶点为P，对称轴为x=1，P（1，4），PE=4，则PM=|4y|，S四边形AEPC=S四边形OEPC+SAOC，=，=，=5，又S四边形AEPC=SAEP+SACP，SAEP=，+SACP=54=1，SMAP=2SACP，|4y|=2，y1=2，y2=6，故抛物线的对称轴上存在点M使SMAP=2SACP，点M（1，2）或（1，6）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握8、（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC的面积SABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1） 由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由ABC=ABOC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；（2）设E点坐标为（m，m24m5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m2）=EH，列方程求解；（3）存在因为OB=OC=5，OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x5，则直线y=x+9或直线y=x19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可解答：解：（1）|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由ABC=ABOC=15，得6m5m=15，解得m=1（舍去负值），A（1，0），B（5，0），C（0，5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x5），将C点坐标代入，得a=1，抛物线解析式为y=（x+1）（x5），即y=x24x5；（2）设E点坐标为（m，m24m5），抛物线对称轴为x=2，由2（m2）=EH，得2（m2）=（m24m5）或2（m2）=m24m5，解得m=1或m=3，m2，m=1+或m=3+，边长EF=2（m2）=22或2+2；（3）存在由（1）可知OB=OC=5，OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x5，依题意，直线y=x+9或直线y=x19与BC的距离为7，联立，解得或，M点的坐标为（2，7），（7，16）点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论9、（2011常德）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：CFE=AFE；（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有请求出所有和条件的点P的坐标，若没有，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可；（3）存在由CFE=AFE=FAP，AFP与FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据AFPFDC，AFPFCD，两种情况求P点坐标解答：（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得，解得，抛物线解析式为y=x24x+6；（2）证明：设直线AC的解析式y=mx+n，将A、C两点坐标代入，得，解得，y=x+6，y=x24x+6=（x4）22，D（4，2），E（4，4），F与E关于D对称，F（4，8），则直线AF的解析式为y=x+6，CF的解析式为y=22，直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（，0），（，0），4=4，两个交点关于抛物线对称轴x=4对称，CFE=AFE；（3）解：存在设P（0，d），则AP=|6d|，AF=2，FD=2（8）=6，CF=，当AFPFDC时，=，即=，解得d=或，当AFPFCD时，=，即=，解得d=2或14，P点坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，14）点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题10、（2011防城港）已知抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的