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南昌大学第十一届高等数学（11、12级数学专业）竞赛答案一、a，b，c为何值时，下式成立解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则。综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；或a = 1，b = 0，c = 2。二、求极限解：记，则，所以=三、设，求解：记，则且，即单减有下界，所以收敛，所以（欧拉常数）。四、设，证明收敛并求和函数.解：所以而所以收敛且=五、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：,其中：D为圆域。（本题10分）证明：取极坐标系，由，得到，将上式两端同乘r，得到。于是有由积分中值定理，有，其中。故。六、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题10分）解： 函数的方向导数的表达式为。其中：为方向的方向余弦。因此。于是，按照题意，即求函数在条件下的最大值。设，则由得以及，即得驻点为与。因最大值必存在，故只需比较，的大小。由此可知为所求。七、计算，其中L为正向一周。（本题10分）解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，故D的面积为21=2。从而。八、设函数在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题10分）证明：由积分中值定理知，存在，使得又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。九、证明：当x 2时，。（本题12分）证明：设，。又设：，则。由拉格朗日中值定理知，存在，使，而，又，故。从而，当x -2时，即单调减少，从而。命题得证。十、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y = f (x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求。（本题12分）解： 过点的曲线y = f (x)的切线方程为：，注意到：由于，所以当且足够小时，。因此当足够
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