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专题五 典型模拟试题及分析CBAPQ1（11届抽测一，本题满分16分）如图，某生态园把一块斜边长为2的直角三角形地辟为水果园，若角A为30，P、Q分别在直角三角形的斜边AB和直角边AC上，且直线路PQ将水果园分成面积相等的两部分. （1）如果PQ是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，问P、Q的位置应该在哪里？（2）如果PQ是参观路线，希望它最长，那么P、Q的位置又在哪里？解：设，则. 2分又，即. 4分. 6分令，则， 8分当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.又，. 12分（1）当PQ最短时,，此时，即，.（2）当PQ最长时,，此时，.16分本题平均得分6.01，难度系数0.375；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高得分9.487.375.238.254.794.512.90主要考查余弦定理、三角形面积公式，利用导数知识求函数的值域（最值），换元法，应用问题的建模、解模能力等；学生答题情况：未设未知元x，y（或参数角）；学生对解析式的理解，定义域未考虑（有时定义域还需进行求解）；基本不等式的应用还不够熟练，高考要求形式上的完整，以及等号成立的条件；对解析式未换元求解较繁，注意换元法的应用；对函数单调性的说明，学生仅凭直觉，未进行求导求解.2（11届期中，本小题满分15分）某化工厂生产某产品的年固定成本为200万元，每生产1吨需另投入12万元，设化工厂一年内共生产该产品x吨并全部销售完，每吨的销售收入为万元，且（）求年利润y（万元）关于年产量x（吨）的函数关系式；（）年产量为多少吨时，化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大？解：（）当时， （3分）当时， （6分）（）当0x15时，令得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，当时，（万元）；（9分）当x15时， 当且仅当即时，有（万元）. （13分），当x=10时，y取最大值 （14分）答：当年产量为10吨时，化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大 （15分）本题平均得分10.00，难度系数0.67；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高得分12.2410.7510.2511.2510.009.616.79主要考查：分段函数最值得求解，利用导数求三次函数最值，利用基本不等式求最值，应用问题的建模、解模能力等学生答题情况：审题不清，把每吨的销售收入理解成总的销售收入导致解析式错误；运算错误，由于数据较大，用基本不等式求最大值算错较多，用导数做有同学想当然把单调性搞错，导致失分对后阶段教学启示：注意学生的审题能力的培养，尤其是在对题设中的关键字的理解时要逐字分析；应加强运算能力的培养，运算能力也是高考考查要点3 （11届0模，本小题满分14分）有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d（m）正比于车速v（km / h）的平方与车身长l（m）的积，且车距不得小于一个车身长l（假设所有车身长均为l）而当车速为60（km / h）时，车距为1.44个车身长（1）求通过隧道的最低车速；（2）在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？解：（1）依题意，设d = kv2l，其中k是待定系数，当v = 60时，d = 1.44l，1.44l = k602 l 2分k = 0.0004则 4分dl，则v50最低车速为50 km/h 7分（2）因为两车间距为d，则两辆头间占去的道路长为l + d（m），一小时内通过汽车的数量为，即 9分， 12分当，即v = 50时，Q取得最大值为当v = 50 km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多 14分本题平均得分5.48，难度系数0.39；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高得分7.376.514.905.635.395.023.07主要考查：解不等式，利用基本不等式求最值，应用题的建模，解答，考查学生分析问题，解决问题的能力；学生答题情况：第一小题直接用等式代替不等式，最值不能体现；有同学设kdv2l，此时k=2500也可以，有同学将单位换成m/s，此时vminm/s.第二小题车流量的数学模型中绝大多数漏乘1000（即单位不统一），也有将每辆车通过的时间与车流量混淆；在求函数最值时，基本不等式是大多数同学首选方法，也有直接求导的，但这样计算很繁，而将分子化为常数后再研究分母的最值，则用求导法就和直接用基本不等式求最值计算量差不多.本题虽为课本题，但得分率很低，满分很少，建议加强课本题型的研究.BCA4（11届苏州二模，本小题满分14分）一条船在如图所示的Y型河流中行驶，从A逆流行驶到B，再从B顺流行驶到C，AB间航程和BC间航程相等，水流的速度为3km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h）的平方成正比.（1）当船在AB段、BC段静水中的速度分别是多少时，整个航程的总耗油量最小？（2）如果在整个航行过程中，船的静水速度保持不变，当船的静水的速度是多少时，整个航程的总耗油量最小？解：略本题平均得分4.98，难度系数0.36；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高市分得分9.076.914.015.194.613.081.450.11主要考查：应用题的建模和求解，利用不等式或导数法函数的最值，分析解决问题的能力等； 学生答题情况：本题建模背景比较熟悉，但含的字母较多，一部分同学得0分，无从下手，基本功好的同学可以建立函数模型，但定义域漏考虑或写错，建模后求最值，用基本不等式或导数法问题不大. 建议最后阶段加强应用题的审题训练，基本功有待提高，如设比例系数k，字母较多时要分清哪些是常量，哪些是变量，各个变量之间有无相互牵制关系，象本题中第一问两个速度是无关的.5（12届苏州9月，本小题满分14分）某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米长56元，筛网（图中虚线部分）的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计（）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）解：（）由题意得 2分 13120 4分当且仅当即时，取得最小值，即有最低造价为13120元 6分（）由题意得，解得 8分 设（），则 10分因为当时，有恒成立，所以当时，函数单调递减 12分所以当时，函数有最小值，y也有最小值，此时 13分答：当网箱长为15米，宽为10.67米时，可使总造价最低 14分本题平均得分6.42，难度系数0.46；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高八中得分10.197.856.006.636.315.182.791.40主要考查：应用题，利用基本不等式、导数求函数的最值 学生答题情况：本题建模背景较熟悉，函数式的建立和求解方向较顺利，但总体得分较低主要问题第一小题式子的化简及数据运算错误较多，如忘加底面积、基本不等式开根号出错；第二小题定义域未考虑或不周全，说明函数在区间上的单调性不规范或出现错误，对函数的单调性要先证后用（可求导证）；没有答或结论性话语，应用题的解答不规范6（12届期中，本题满分15分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？（1）由题意得：， -4分即又所以即最多调整500名员工从事第三产业- 6分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，- -10分所以，所以，即恒成立，-12分因为， 当且仅当，即时等号成立-14分所以， 又，所以，即的取值范围为-15分（若最小值的求解用导数进行，同样得分）本题平均得分8.14，难度系数0.54；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高得分10.608.727.828.306.786.596.97主要考查：应用题建模，一元二次不等式解法，不等式恒成立解法，基本不等式应用等 学生答题情况：主要问题有审题不清，第1小题应是剩余员工创造的年总利润，学生看成了优化后所有员工创造的总利润；第2小题学生转化为在上恒成立，然后分对称轴与区间位置关系进行讨论，由于，当时无法讲清，导致扣分，也有同学直接将代入得出结论；学生对百分号的运算不适应导致计算出错；基本不等式应用时要注意书写完整性7(12届抽测二，本小题满分14分)某商场预计2011年从1月起前x个月顾客对某种商品的需求总量（单位：件）与月份x的近似关系是.（1）写出第x个月的需求量（单位：件）的表达式；（2）若商场在年初必须与供货商签定供货协议，在每月初必须等量地进货A件，试确定A的最小值，使得该商场的备货每月都能满足需求解：（1）， 1分当时， 5分符合， 6分（2）由题意知，即对恒成立 8分令，对称轴为，时， 11分又， 13分答：每月至少进货116件，才能满足每月需求 14分本题平均得分5.10，难度系数0.36；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高得分7.126.254.645.014.884.062.82主要考查：应用问题的建模和解模能力，本题是自变量为正整数的函数模型问题，也即数列应用问题，综合函数、数列及不等式恒成立的求解； 学生答题情况：主要问题（1）审题错误，第一小问把求第x月的需求f(x)错误理解为前x月平均需求P(x)/ x；第二小问直接利用第一小问中所得第x月的需求f（x）求出最大值即为A的最小值，此错解极为普遍，导致均分很低.（2）第一小问中由P（x）-P(x-1)得f(x)过程中没有对x进行讨论，（扣1分），定义域没有注明x为整数（扣1分）,另外作差化简运算也错误较多.（3）第二小问恒成立问题转化缺少必要说明，叙述不规范（但评卷中基本没有扣分），求P（x）/x的最值过程中有学生采用导数法求解，但对x的范围未加控制（评卷中一律不给分）.（4）第二小问另解形式（和正解实际相同）：讨论x=1时Af(1)，x2且x为整数时Ax-P（x-1）f(x)恒成立.Q P B A D （第17题）C 45 8 （12届苏州0模，本小题满分15分）如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设PAB = ， = t（1）用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长l是否为定值；（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？解：（1）BP = t，CP = 1 - t，0t1DAQ = 45 - ，DQ =，CQ = 3分 6分l = CP + CQ + PQ = 1 - t +=1 - t + 1 + t = 2 9分（2）S = S正方形ABCD - SABP - SADQ = 12分1 + t 0，S当t = -1时取等号探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为（2-）平方百米 15分本题平均得分8.39，难度系数0.56；学校省中市中梅中浒高外校淦中尚高八中得分12.0210.458.498.677.846.884.051.42主要考查：考查学生的数学建模能力和运算能力，要求学生掌握基本不等式及导数的运用 学生答题情况：最薄弱的是运算能力，由于PQ无法简化，导致周长不能正常计算； 其次是定义域不求或求错，导致扣分；另外三角函数不够熟练引起运算错误9（12届苏州二模，本小题满分14分）如图，已知矩形油画的长为a，宽为在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画设壁画的左右两边金箔的宽为，上下两边金箔的宽为，壁画的总面积为y x a b （第17题图） （1）用x，y，a，b表示；（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大，问x，y应取何值，并求四个矩形木雕总面积的最大值解：（1）， 4分 （2）依题意，即求4的最大值 因为，所以，从而，当且仅当时等号成立 6分令，则，上述不等式可化为，解得 9分