人教B版：2.4.2求函数零点近似值的一种计算方法——二分法.ppt

新课导入 回想一下上一节课所学的内容 1 函数的零点及其等价关系 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 2 如何求零点个数及所在区间 有且只有一个零点 再在其它区间内去寻找 解二 试探着找到两个x对应值为一正一负 至少有一个 再证单调增函数即可得有且只有一个 解三 构造两个易画函数 画图 看图象交点个数 很实用 3 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点 现在某处发生故障 需及时修理 为了尽快把故障缩小在两个接点之间 一般至少需要检查多少 次 2 12345 猜数字游戏 看谁先猜中 10次以内猜出 你们能做到吗 从1 1000这1000个自然数随机抽出 个数 谁能根据提示 大了 小了 对了 先猜出这个数 想一想 2 4 2二分法 ax2 bx c 0 x2 x 6 0 由于解决实际问题的需要 人们经常需要寻求函数y f x 的零点 也就是方程f x 0的根 求一次函数或二次函数的零点 我们可以用熟知的公式解法 在16世纪 人们找到了三次函数和四次函数的求根公式 但对于高于四次的函数 类似的努力却一直没有成功 到了19世纪 根据阿贝尔 Abel 和伽罗瓦 Galois 的研究 人们认识到高于四次的函数 即高于四次的代数方程 不存在求根公式 也就是说 不存在用四则运算即根号表示的一般公式解 同时对于三次和四次的代数方程 由于公式解的表示相当复杂 一般来讲并不适宜用作具体计算 因此对于高次多项式函数及其他的一些函数 有必要寻求求零点的近似解的方法 这在计算数学中是一个十分重要的课题 在分析函数零点的性质时 我们已经看到 如果函数y f x 在一个区间 a b 上的图象不间断 并求在它的两个端点处的函数值异号 即f a f b 0 则这个函数在这个区间上 至少有一个零点 即存在一点x0 a b 使f x0 0 如果函数图象通过零点时穿过了x轴 则称这样的零点为变号零点 如果没有穿过x轴 则称这样的零点为不变号零点 依据这个性质 下面我们介绍求函数零点的近似值的一种计算方法 二分法 已知函数y f x 定义在区间D上 求它在D上的一个零点x0的近似值x 使它满足给定的精确度 下面我们分步写出 用二分法求函数零点的一般步骤 第一步 在D内取一个闭区间 a0 b0 D 使f a0 和f b0 异号 即f a0 f b0 0 零点位于区间 a0 b0 中 第二步 取区间 a0 b0 的中点 则此中点对应的坐标为 计算f x0 和f a0 并判断 1 如果f x0 0 则x0就是f x 的零点 计算终止 2 如果f a0 f x0 0 则零点位于区间 a0 x0 中 令a1 a0 b1 x0 3 如果f a0 f x0 0 则零点位于区间 x0 b0 中 令a1 x0 b1 b0 第三步 取区间 a1 b1 的中点 则此中点对应的坐标为计算f x1 和f a1 并判断 1 如果f x1 0 则x1就是f x 的零点 计算终止 2 如果f a1 f x1 0 则零点位于区间 x1 b1 中 令a2 x1 b2 b1 继续实施上述步骤 直到区间 an bn 函数的零点总位于区间 an bn 上 当an bn按照给定的精确度所取的近似值相同时 这个相同的近似值就是函数y f x 的近似零点 计算终止 这时函数y f x 的近似零点满足给定的精确度 例1 求函数f x x3 x2 2x 2的一个正实数零点 精确到0 1 解 由于f 1 20 可以确定区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 由上表的计算可知 区间 1 376 1 4375 的左 右端点精确到0 1所取的近似值都是1 4 因此1 4就是所取函数的一个正实数零点的近似值 函数f x x3 x2 2x 2的图象如图所示 实际上还可以用二分法继续计算下去 进而得到这个零点精确度更高的近似值 对于在区间 a b 上连续不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断把函数f x 的零点所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫二分法 课堂小结 1 二分法 2 概括利用二分法求函数f x 零点的近似值的步骤 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 1 若f c 0 则c就是函数的零点 2 若 则令b 0 此零点 4 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则重复步骤2 4 3 若 则令a 0 此时零点 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 二分法求方程近似解的口诀 概念拓展挖掘内涵 课堂练习 1 下列