一阶导数的应用.pdf

课题九 一阶导数的应用 第 1 页 共 3 页 课题九 课题九 一阶导数的应用 一阶导数的应用 授课时数授课时数 总时数 4 学时 学习目标学习目标 1 会判断函数的单调性 2 会求函数的极值 3 会用导数求解实际问题的最值问题 重 难点重 难点 重点 用导数判断函数的单调性和极值 由函数导数的正负引出 难点 解最大值与最小值的实际应用题 由实例讲解方法 授课内容授课内容 前面我们学习了函数与导数的关系 下面我们再来研究函数的单调性和极值的判 别方法 一 函数的单调性与极值 1 函数的单调性 1 定义 2 判断定理 设函数 x f y 在闭区间 b a 上连续 在开区间 b a 内可导 有 若 b a x 时 0 x f 0 x f 或 则 x f y 在 b a 上单调增加 若 b a x 时 0 x 时 x x 1 3 2 思考题 某项目的利润有两个方案供选择 它们的关系是 1 3 1 t t t L 与 1 2 2 t t t L 其中t为时间 问 1 t 时 二方案哪个最优 二 最大值和最小值问题 在工农业生产和科学研究 经营管理中 常常要解决在一定条件下 用料最省 产量最多 效率最高 和 成本最低 等最优化问题 1 闭区间上连续函数的最值 1 定义 2 方法 步骤 求出函数 x f y 在相应的开区间内的所有极值 求出区间端点的函数值 比较求出的所有值 最大的为最大值 最小的为最小值 特别 若连续单增 或单减 函数的最值在端点处取得 例 8 求函数 5 4 2 4 x x x f 在 3 1 x 上的最值 例 9 求函数 1 ln 1 2 x x f 在 2 1 的最值 练习 求函数 2 x e x f 在 2 1 上的最值 2 开区间内可导函数的最值 在开区间内可导且有唯一极值的函数 若该极值为极大值则为最大值 若该极值 为极小值则为最小值 例 10 求函数 2 x e x f 在 3 1 x 的最值 3 函数最值的应用 例 11 例 11 某工厂需把一长 12m 宽 6m 高 2m 的铁制水箱吊起平放在 6m 高的柱子上 但厂里只 课题九 一阶导数的应用 第 3 页 共 3 页 有一台臂长 15m 的吊车 吊车底座高 1 5m 能否将水箱吊到柱子上 例 12 铁路线上 AB 段距离为 100 千米 工厂 C 距 A 处为 20 千米 AC AB 为了运输需要 要在铁路沿线选 一点 D 向工厂修筑一条公路 若 铁路与公路的每千米的运费之 比为 3 5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 则 D 应 建在何处 例 13 某房地产公司有 50 套公寓要出租 当租金定为每月 180 元时 公寓会全 部租出去 当租金每月增加 10 元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月 需花费 20 元的整修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入 例 14 由直线 8 0 x y 及抛物线 2 x y 围成一个曲边三角形 在曲边 2 x y 上 求一点 使曲线在该点处的切线与直线 8 0 x y 所围成三角形的面积最大 授课小结授课小结 通过本课题学习 学生应该达到 1 会用导数判断函数的单调性和极值 2 会用导数求解实