线性代数课程教案.doc

课 程 教 案 学院 部 应用数学学院 系 所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 32 学时 实验学时 教材名称 工程数学 线性代数 年年 月月 日日 第 2 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目 教学章节或主题 第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 阶行列式的定义n 4 对换 本授课单元教学目标或要求 1 会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式 2 知道阶行列式的定义 n 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 基本内容 行列式的定义 1 计算排列的逆序数的方法 设是这个自然数的任一排列 并规定由小到大为标准次序 12n p pp 1 2 n n 先看有多少个比大的数排在前面 记为 1 p 1 p 1 t 再看有多少个比大的数排在前面 记为 2 p 2 p 2 t 最后看有多少个比大的数排在前面 记为 n p n p n t 则此排列的逆序数为 12n tttt 2 阶行列式n 12 12 11121 21222 12 12 1 n n n nt ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 其中为自然数的一个排列 为这个排列的逆序数 求和符号 是对所有排列 12n p pp 1 2 n t 求和 12 n p pp 阶行列式中所含个数叫做的元素 位于第 行第列的元素 叫做的元 nD 2 nDij ij aD i j 3 对角线法则 只对 2 阶和 3 阶行列式适用 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 第 3 页 共 41 页 111213 212223112233122331132132 313233 132231122133112332 aaa Daaaa a aa a aa a a aaa a a aa a aa a a 重点和难点 理解行列式的定义 行列式的定义中应注意两点 1 和式中的任一项是取自中不同行 不同列的个元素的乘积 由排列知识可知 中这样的DnD 乘积共有项 n 2 和式中的任一项都带有符号 为排列的逆序数 即当是偶排列 1 t t 12 n p pp 12n p pp 时 对应的项取正号 当是奇排列时 对应的项取负号 12n p pp 综上所述 阶行列式恰是中所有不同行 不同列的个元素的乘积的代数和 其中一nDDn 半带正号 一半带负号 例 写出 4 阶行列式中含有的项 1123 a a 解 和 11233244 a a a a 11233442 a a a a 例 试判断和是否都是 6 阶行列式中的项 142331425665 a a a a a a 324314512566 a a a a a a 解 下标的逆序数为 所以 142331425665 a a a a a a 4312650 1220 16 是 6 阶行列式中的项 142331425665 a a a a a a 下标的逆序数为 所以 324314512566 a a a a a a 341526 234156 538 不是 6 阶行列式中的项 324314512566 a a a a a a 例 计算行列式 0001 0020 0300 4000 D 解 0 1 2 3 1 1 2 3 424D 本授课单元教学手段与方法 讲授与练习相结合 首先通过二 三 元线性方程组的解的表达式引出二 三 阶行列式的定义 然后介绍有关全 排列及其逆序数的知识 引出阶行列式的定义 n 通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系 引导学生了解行列式的三种等价定义 本授课单元思考题 讨论题 作业 1 P 26 1 1 3 2 2 5 6 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目 教学章节或主题 第一章 行列式 5 行列式的性质 6 行列式按行 列 展开 7 克拉默法则 本授课单元教学目标或要求 1 知道阶行列式的性质 n 2 知道代数余子式的定义和性质 3 会利用行列式的性质及按行 列 展开计算简单的阶行列式 n 4 知道克拉默法则 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 基本内容 1 行列式的性质 1 行列式与它的转置行列式相等 D T D 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 3 行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 或者行列式kk 的某一行 列 的各元素有公因子 则可提到行列式记号之外 kk 4 行列式中如果有两行 列 元素完全相同或成比例 则此行列式为零 5 若行列式的某一列 行 中各元素均为两项之和 则此行列式等于两个行列式之和 6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一行 列 的对应元素上去 行 列式的值不变 2 行列式的按行 列 展开 1 把阶行列式中元所在的第 行和第列划去后所成的阶行列式称为元的n i j ij aij1n i j ij a 余子式 记作 记 则称为元的代数余子式 ij M 1 i j ijij AM ij A i j ij a 2 阶行列式等于它的任一行 列 的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和 即可以按n 第 行展开 i 1122 1 2 iiiiinin Da Aa Aa Ain 或可以按第列展开 j 1122 1 2 jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn 3 行列式中任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 1122 0 ijijinjn a Aa Aa Aij 或 1122 0 ijijninj a Aa Aa Aij 3 克拉默法则 含有个未知元的个线性方程的方程组n 12 n x xx n 第 5 页 共 41 页 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 当全为零时 称为齐次线性方程组 否则 称为非齐次线性方程组 12 n b bb 1 如果方程组的系数行列式 那么它有唯一解 其中0D 1 2 i i D xin D 是把中第 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的阶行列 1 2 i D in Din 式 2 如果线性方程组无解或有两个不同的解 那么它的系数行列式 0D 3 如果齐次线性方程组的系数行列式 那么它只有零解 如果齐次线性方程组有非零0D 解 那么它的系数行列式必定等于零 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 1 方程个数等于未知元个数 2 系数行列式不等于 零 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系 它主要 适用于理论推导 4 一些常用的行列式 1 上 下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积 即 1112111 2222122 1122 12 n n nn nnnnnn aaaa aaaa Da aa aaaa 特别地 对角行列式等于对角线元素的乘积 即 11 22 1122nn nn a a Da aa a 类似地 1 1 2 1 2 12 11 1 1 n n n n nnn n a a Da aa a 2 设 则 111 1 1 k kkk aa D aa 111 2 1 n nnn bb D bb 第 6 页 共 41 页 111 1 12 111111 11 0 k kkk kn nnknnn aa aa DD D ccbb ccbb 3 范德蒙 Vandermonde 行列式 12 222 1212 1 111 12 111 n nnnij n ij nnn n xxx V x xxxxxxx xxx 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行 列式的值 重点和难点 行列式的计算 要注重学会利用行列式性质及按行 列 展开等基本方法来简化行列 式的计算 例 课本 P 12 例 7 例 9 例 课本 P 21 例 13 例 课本 P 25 例 16 本授课单元教学手段与方法 讲授与练习相结合 以从行列式的定义为切入口 引导学生探讨行列式的各种性质 通过大量的例题引导学生掌握 如何利用行列式性质及按行 列 展开等基本方法来简化行列式的计算 本授课单元思考题 讨论题 作业 思考题 问 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默法则解方程组 为什么 此时方程组的解为 何 答 当线性方程组的系数行列式为零时 不能否用克拉默法则解方程组 因为此时方程组的解为无 解或有无穷多解 本授课单元思考题 讨论题 作业 5 P 26 4 1 2 3 5 1 2 7 1 2 5 6 P 26 5 4 7 3 6 7 P 28 8 1 9 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 第 7 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目 教学章节或主题 第二章矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求 掌握矩阵的定义 矩阵的加减法 数乘 转置 矩阵求逆 矩阵的行列式 分块矩阵等运算 了解矩阵 多项式运算 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 本章拟分 3 次课完成 第一讲 1 矩阵 2 矩阵的运算 第二讲 3 逆矩阵 第三讲 4 矩阵分块 法 第一讲 1 矩阵 2 矩阵的运算 基本内容 1 矩阵 一 矩阵的定义 定义 1 由 M N 个数组成的行列的数表 2 1 2 1 njmiaij mn mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为行列矩阵 简称 M N 矩阵 为表示它是一个整体 总是加一个括弧 并用大写黑体字母表mn 示它 记作 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 这 M N 个数称为菊阵 A 的元素 简称为元 数位于矩阵 A 的第 行列 称为矩阵 A 的 I J 元 以 ij aij 数为 I J 元的矩阵可简记为或 M N 矩阵 A 也记着 ij a ij a nmij a nm A 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵 阶矩阵 A 也记作 nnnn n A 只有一行的矩阵 21n aaaA 称为行矩阵 又称为行向量 行矩阵也记作 21n aaaA 第 8 页 共 41 页 只有一列的矩阵 n b b b A 2 1 称为列矩阵 又称为列向量 两个矩阵的行数相等 列数也相等 称它们是同型矩阵 如果 A B 是同型矩阵 并且它们的 ij a ij b 对应元素相等 即 njmiba ijij 2 1 2 1 那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等 级作 A B 元素都是零的矩阵称为零矩阵 记作 O 不同型的零矩阵是不同的 2 矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义 2 设有两个矩阵 A 和 B 那么矩阵 A 与 B 的和记着 A B 规定为nm ij a ij b mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算 矩阵加法满足下列运算规律 设 A B C 都是矩阵 nm A B B A i A B C A B C ii A 的负矩阵记为 ij a A ij a A A O 规定矩阵的减法为 A B A B 二 矩阵的数乘 定义 3 数与矩阵 A 的乘积记作或 规定为 A A mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 第 9 页 共 41 页 矩阵数乘满足下列运算规律 设 A B 为矩阵 为数 nm 1 AA 2 AAA 3 BABA 重点 难点 矩阵乘矩阵 让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义 特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵 的行的原因 说明矩阵乘法常态下不满足消去率 通过练习提高学生的计算准确率 三 矩阵乘矩阵 定义 4 设 A 是一个矩阵 B 是一个矩阵 那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一 ij asm ij bns 个矩阵 C 其中nm ij c 2 1 2 1 1 2211 njmi babababac s k kjiksjisjijiij 把此乘积记为 C AB 且有 sj j j isii b b b aaa 2 1 21 ij s k kjiksjisjiji cbabababa 1 2211 例 4 求矩阵 A 与 2012 1301 431 1102 311 014 B 的乘积 解 C AB 2012 1301 431 1102 311 014 1199 129 例 5求矩阵 A 与 B 21 42 63 42 第 10 页 共 41 页 的乘积 AB 与 BA 解 AB 21 42 63 42 168 3216 BA 63 42 21 42 00 00 AB 对于两个阶方阵 A B 若 AB BA 称方阵 A 与 B 可交换n 从上面等式可以得出结论 若而也不能得出 X Y 的结论OA 0 YXA 矩阵的乘法虽不满足交换律 满足结合律和分配律 1 AB C A BC 2 为数 BABAAB 3 A B C AB AC B C A BA CA 对于单位矩阵 E 有 nmnnmnmnmm AEAAAE 即 EA AE A 特殊矩阵 1 单位矩阵 E 100 010 001 2 数量矩阵 E 00 00 00 3 对角矩阵 nn a a a 00 00 00 22 11 4 三角矩阵 或 nn n n a aa aaa 00 0 0 222 11211 nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 可以得到 nnnnn EAAAE 第 11 页 共 41 页 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为 kllklklk AAAAAAAAAA 1121 其中为正整数k 例 6证明 nn nn n cossin sincos cossin sincos 证 用数学归纳法 时显然成立 设 时成立 即1 nnk kk kk k cossin sincos cossin sincos 当时 有1 kn kk kk k cossin sincos cossin sincos 1 cossin sincos sinsincoscossincoscossin sincoscossinsinsincoscos kkkk kkkk 1cos 1sin 1sin 1cos kk kk 等式得证 四 矩阵的转置 定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做 A 的转置矩阵 记作 T A A 则 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 T A mnnn m m aaa aaa aaa 21 22212 12111 A 的转置也是一种运算 满足 1 AA TT 2 TTT BABA 3 TT AA 4 AB TTT AB 证明 4 设 B 记 有 smij aA nsij b mnij TT nmij dDABcCAB s k kijkji bac 1 而的第 行为 的第列为 因此 T Bi 21siii bbb T Aj T jsj aa 1 s k kijk s k jkkiij baabd 11 2 1 2 1 mjnicd jiij 有 TTT ABAB 例 7已知 第 12 页 共 41 页 B 231 102 A 102 324 171 求 T AB 解 因为 AB 231 102 102 324 171 101317 3140 所以 103 1314 170 T AB 若 A 是阶方阵 如果满足 即nAAT 2 1 njiaa jiij 那么 A 称为对称矩阵 例 设列矩阵 X 满足 E 是阶单位阵 证明是对 T n xxx 21 1 XX T n T XXEH2 H 称矩阵 且EHH T 证 TTT XXEH 2 HXXE XXE T TT 2 2 所以 H 是对称矩阵 T HH 2 H 2 2 T XXE T XXE4 4 TT XXXX T XXE4 4 TT XXXX T XXE4 T XX4E 五 方阵的行列式 定义 6 由阶方阵 A 的元素所构成的行列式 各元素位置不变 称为方阵 A 的行列式 记作n 或A Adet 满足下列运算规律 A B 为阶方阵 为数 An 1 AAT 2 AA n 3 且BAAB BAAB 例 9 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵A ij A nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 称为 A 的伴随矩阵 试证 第 13 页 共 41 页 EAAAAA 证明 设 记 则 ij aA ij bAA ijjninjijiij AAaAaAab 2211 故 EAAAAA ijij 类似有 1 EAAAaAAA ijij n k kjki 本授课单元教学手段与方法 讲授为主 练习为辅 主要让学生充分理解矩阵运算的定义 原则 从而掌握矩阵运算 并通过练习 提高学生运算的准确率 本授课单元思考题 讨论题 作业 P53 3 4 1 2 3 4 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 注 1 每单元页面大小可自行添减 2 一个授课单元为一个教案 3 重点 难点 教学手段与方法 部分要尽量具体 4 授课类型指 理论课 讨论课 实验或实习课 练习或习题课 第 14 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 第二讲 3 逆矩阵 基本内容 3 逆矩阵 定义 7 对于阶矩阵 A 如果有一个阶矩阵 B 使nn EBAAB 则说矩阵 A 是可逆的 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵 简称逆阵 记为 1 A 如果 A 可逆 则 A 的逆阵是唯一的 因为 设 B C 都是 A 的逆阵 则有 B BE B AC BA C EC C 定理 1 若矩阵 A 可逆 则0 A 证 A 可逆 即有 使 故所以 1 AEAA 1 1 1 EAA0 A 定理 2 若 则矩阵 A 可逆 且0 A A A A 1 1 其中为 A 的伴随矩阵 A 证 由例 9 可知 EAAAAA 所以有 EAA A A A A 11 按照逆矩阵的定义知 A 可逆 且有 A A A 1 1 当时称 A 为奇异矩阵 否则称 A 为非奇异矩阵 可逆矩阵就是非奇异矩阵 0 A 推论 若 则 EBAEAB 或 1 AB 证 故 因而存在 有1 EBA0 A 1 A 1111 AEAABABAAEBB 逆阵满足下列运算 1 若 A 可逆 则也可逆 且 1 AAA 11 第 15 页 共 41 页 2 若 A 可逆 数 则可逆 且0 A 1 1 1 AA 3 若 A B 为同阶矩阵且可逆 则 AB 也可逆 且 111 ABAB 证 由推论有 EAAAEAABBAABAB 111111 111 ABAB 4 若 A 可逆 则也可逆 且 T A TT AA 11 证 由推论有 EEAAAA TTTT 11TT AA 11 当时 定义0 A 为正整数 TT AA 11 kk AAEA 10 k 这样 当 为整数 有0 A AAAAA 重点 难点 逆矩阵的求法 定理 2 说明通过求伴随矩阵的方式 让学生掌握矩阵求逆 并告知学生下一 章里还有更简单的求逆方法 例 10 求二阶矩阵的逆阵 dc ba 解 当时 有bcadA ac bd A0 A bcad A 1 1 ac bd 例 11 求方阵 343 122 321 A 的逆阵 解 知 A 可逆 的余子式2 AA 2 5 4 2 6 6 2 3 2 333231 232221 131211 MMM MMM MMM 得 第 16 页 共 41 页 222 563 462 332313 322212 312111 MMM MMM MMM A 所以 111 2 5 3 2 3 231 1 1 A A A 例 12 设 A 343 122 321 13 02 31 35 12 CB 求矩阵 X 使其满足 CAXB 解 若存在 有 11 BA 1 A 111 CBAAXBB 即 X 11 CBA 111 2 5 3 2 3 231 13 02 31 25 13 20 20 11 25 13 410 410 12 例 13设 P 求 20 01 41 21 PAP n A 解 11 24 2 1 2 1 PP 11221 PPAPPAPPA nn 而 20 01 n n 20 01 20 01 2 2 所以 1 PPA nn 11 24 2 1 20 01 41 21 n 11 24 21 21 2 1 2 1 n n 第 17 页 共 41 页 1222 1222 2224 2224 2 1 1122 11 nn nn nn nn 定义 设 m mx axaxaax 2 210 为的次多项式 A 为阶矩阵 记xmn m mA aAaAaEaA 2 210 称为矩阵 A 的次多项式 可证矩阵 A 的两个多项式和是可交换的 即有 A m A Af AAfAfA A 的多项式可以象数的多项式一样相乘或分解因式 例如x 323 2 33 2 2 AAAEAE AAEAEAE 容易证明 1 如果 则 从而 1 PPA 1 PPA kk A m mA aAaAaEa 2 210 112 2 1 1 1 0 PPaPPaPPaEPPa m m 1 PP 2 如果 为对角阵 则 从而 21n diag 21 k n kkk diag m m aaaEa 2 210 m n m m m n aaa 2 1 2 1 10 1 1 1 2 1 n 本授课单元教学手段与方法 讲授为主 练习为辅 通过逆矩阵的定义及定理 2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算 并告 知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵 本授课单元思考题 讨论题 作业 P54 11 1 3 12 1 2 P55 19 22 第 18 页 共 41 页 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 第三讲 4 矩阵分块法 基本内容 4 矩阵分块法 对于行数和列数较高的矩阵 A 运算时常采用分块法 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵 每一个小矩阵称为 A 的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称 为分块矩阵 例 将矩阵43 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A 可以分块为 1 2 3 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 分法 1 可记为 2221 1211 AA AA A 其中 2221 1211 11 aa aa A 2423 1413 12 aa aa A 323121 aaA 343322 aaA 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似 满足 1 设矩阵 A 与矩阵 B 的行数相同 列数相同 采用相同的分块法 有 srs r AA AA A 1 111 srs r BB BB B 1 111 其中 与的行数相同 列数相同 那么 ij A ij B srsrss rr BABA BABA BA 11 111111 2 设 为数 那么 srs r AA AA A 1 111 第 19 页 共 41 页 srs r AA AA A 1 111 3 设 A 为矩阵 B 为矩阵 分块成lm nl sts t AA AA A 1 111 trt r BB BB B 1 111 其中的列数分别等于的行数 那么 itii AAA 21tjjj BBB 21 AB srs r CC CC 1 111 其中 1 1 1 rjsiBAC t k kjikij 重点 难点 分块矩阵的乘法运算 对于四阶且子块含有零矩阵 单位阵 对角阵的高阶 一般做四块分且 尽量分出单位阵 零矩阵 例 14设 0211 1401 1021 0101 1011 0111 0010 0001 BA 求 AB 解 把 A B 分块成 2221 11 1 0211 1401 1021 0101 1011 0121 0010 0001 BB EB B EA OE A 则 AB EA OE 1 2221 11 BB EB 22121111 11 BABBA EB 而 21111 BBA 11 21 21 01 11 01 11 42 221 BA 11 21 13 33 02 14 所以 1311 3342 1021 0101 AB 4 设 则 srs r AA AA A 1 111 T sr T r T s T T AA AA A 1 111 第 20 页 共 41 页 5 设 A 为阶矩阵 若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且在对角线n 上的子块都是方阵 即 s AOO OAO OOA A 2 1 其中都是方阵 称 A 为分块对角矩阵 2 1 siAi 分块对角矩阵的行列式有下列性质 s AAAA 21 若 则 并有 2 1 sioAi 0 A 1 1 2 1 1 1 s AOO OAO OOA A 例 15设 求 120 130 005 A 1 A 解 2 1 0 0 120 130 005 A A A 32 11 12 13 5 1 5 1 22 1 11 AAAA 320 110 00 5 1 1 A 对矩阵进行按行分快或按列分块 矩阵 A 有行 称为矩阵的个行向量 若第 行记作nm mAmi 21inii T i aaa 则矩阵 A 记为 T m T T A 2 1 矩阵 A 有列 称为矩阵 A 的个列向量 若第列记作nm nnj mj j j j a a a 2 1 则 21n aaaA 对于矩阵与矩阵的乘积矩阵 AB C 若把行分成块 把 B smij aA nsij bB nmij c m 第 21 页 共 41 页 分成块 有n AB T m T T 2 1 nm ij n T m T m T m n TTT n TTT n c bbb bbb bbb bbb 21 22212 12111 21 其中 ij c j T i b 21isii aaa s k kjik sj j j ba b b b 1 2 1 以对角阵左乘矩阵时把 A 按行分块 有 m nm A m nmmA 2 1 T m T T 2 1 T mm T T 22 11 以对角阵右乘矩阵时把 A 按列分块 有 n nm A nA 21n aaa m 2 1 2211nna aa 例 16设 证明OAAT OA 证 设 把 A 的列向量表示为 A 则 nmij aA 21n aaa AAT T T T a a a 2 1 21n aaa n T n T n T n n TTT n TTT aaaaaa aaaaaa aaaaaa 21 22212 12111 因为 所以 OAAT 2 1 0njiaa j T i 特别有 2 1 0njaa j T j 而 j T ja a0 22 2 2 1 2 1 21 mjjj mj j j mjjj aaa a a a aaa 得 2 1 0 21 njaaa mjjj 即 OA 下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则 克莱姆法则 对于个变量 个方程的线性方程组nn 第 22 页 共 41 页 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 如果它的系数行列式 则它有唯一解0 D 2 1 11 2211 njAbAbAb D D D x njnjjjj 证 把方程组写成向量方程 bAx 这里为阶矩阵 因 故存在 nnij aA noDA 1 A bbAAAx 1 表明是方程组的解向量 也是唯一的解向量 bAx 1 由于 所以 即 A A A 1 1 bA D bAx 1 1 nnnnn nn nn nnnnn n n n AbAbAb AbAbAb AbAbAb D b b b AAA AAA AAA D x x x 2211 2222121 1212111 2 1 21 22212 12111 2 1 11 也就是 2 1 11 2211 njD D AbAbAb D x jnjnjjj 本授课单元教学手段与方法 讲授为主 练习为辅 通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学 生掌握分块矩阵的加法运算 数乘运算 矩阵乘矩阵的运算 以及求逆矩阵的运算 并列举了几个典型例 子的运算 本授课单元思考题 讨论题 作业 P55 26 P56 29 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 第 23 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 1 节 授课题目 教学章节或主题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3 1 矩阵的初等变换 本授课单元教学目标或要求 熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形 知道矩阵等价的概念 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 1 基本内容 定义与记号 初等行变换与行等价 ijiij rr rk rkr AB r AB 初等列变换与列等价 ijiij cc ck ckc AB c AB 初等变换 与等价 AB AB 矩阵的行阶梯形 行最简形 标准形 0 00 r m n E F 2 重点 矩阵的初等变换 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换 1 交换矩阵的两行 列 2 以一个非零的常数乘矩阵的某一行 列 k 3 把矩阵的某一行 列 的倍加到另一行 列 k 3 例题与解题方法 参见 PPT 本授课单元思考题 讨论题 作业 79 1 1 3 P 第 24 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目 教学章节或主题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3 2 初等矩阵 本授课单元教学目标或要求 知道初等矩阵 了解初等矩阵与初等变换的联系 掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 1 基本内容 初等矩阵 1 定义 单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵 2 对矩阵作一次初等行 列 变换相当于用对应的初等矩阵左 右 乘 AA 3 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下 初等变换初等矩阵逆变换逆矩阵 ij rr ij cc E i j ij rr ij cc E i j i i rk ck E i k i i rk ck 1 E i k ij ji rkr ckc E ij k ij ji rkr ckc E ijk 4 方阵可逆A r AE 12 li APPP P 为初等矩阵 存在可逆矩阵使 AB P Q BPAQ 5 若则可逆 且特别地 若则可逆 且 r A BE XA 1 XA B r A EE XA 1 XA 2 重点 难点 对矩阵作一系列初等行 列 变换 相当于用可逆矩阵左 右 乘 由此引出用初等变换求逆AA 阵的方法 会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵 会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解 3 例题与解题方法 例 1 设 1112131414131211 2122232424232221 3132333434333231 4142434444434241 aaaaaaaa aaaaaaaa AB aaaaaaaa aaaaaaaa 第 25 页 共 41 页 12 00011000 01000010 00100100 10000001 PP 其中可逆 则等于A 1 B A B C D 1 12 A PP 1 12 PA P 1 12 PP A 1 21 P A P 分析 把矩阵的 1 4 两列对换 2 3 两列对换即得到矩阵 根据初等矩阵的性质 有或AB 12 BAPP 那么所以应选 C 21 BAP P 111111 211212 BAP PP PAPP A 例 2 设 4 阶矩阵 11002134 01100213 00110021 00010002 BC 且矩阵满足关系式试将所给关系式化简 并求出矩阵 A 1 TT A EC BCE A 解 由所给的矩阵关系得即故用初等变 1 T A C EC BE T A CBE 1 T ACB 换法求由于 1 T CB 1000100010001000 2100010001002100 3210001002103010 4321000103214001 1000100010001000 0100210001002100 0010121000101210 0021230100010121 T CBE 故 1 1000 2100 1210 0121 T ACB 其他例题参见 PPT 本授课单元思考题 讨论题 作业 79 3 2 4 1 P 第 26 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 1 5 节 授课题目 教学章节或主题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3 3 矩阵的秩 本授课单元教学目标或要求 1 理解矩阵的秩的概念 知道初等变换不改变矩阵的秩的原理 掌握用初等变换求矩阵的秩的 方法 知道矩阵的标准形与秩的关系 2 知道矩阵秩的基本性质 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 1 基本内容 矩阵的秩 1 定义 矩阵的阶子式 矩阵的秩 k 2 的行阶梯形含个非零行的标准形 R ArA r A 0 00 r E F 3 矩阵秩的性质 0 min R Am n T R AR A 若则 AB R AR B 若可逆 则 P Q R PAQR A max R A R BR A BR AR B 特别地 当为列向量时 有Bb 1 R AR A bR A R ABR AR B min R ABR A R B 若则0 m nn l AB R AR Bn 2 重点 难点 矩阵秩的概念 矩阵秩的性质 利用初等变换求秩 应用矩阵的秩解决问题 3 例题与解题方法 例 1 设三阶矩阵为A 11 11 11 x Ax x 试求秩 R A 分析 矩阵含有参数因此其秩一般随的变化而变化 讨论其秩主要从两点着手分析 矩阵A xx 秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩 第 27 页 共 41 页 解 方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论 由于 2 11 11 2 1 11 x xxx x 故 当且时 1x 2x 0 3 AR A 当时 且1x 0 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AR A 当时 且 这时有二阶子式因此2x 0 A 211 121 112 A 21 0 12 2 R A 方法二 利用初等变换求秩 2 111111 1111011 111111 11 011 00 2 1 xxx Axxxx xxxxx x xx xx 因此 当且时 1x 2x 3 R A 当时 1x 1 R A 当时 2x 2 R A 例 2 设为矩阵A5 4 1231 212 0113 1104 2025 k A 且的秩为 3 求A k 解 方法一 用初等变换 第 28 页 共 41 页 12311231 2120560 01130113 11040333 20250443 12311231 01130113 001 15001 15 000120001 000150000 kk A kk 可见 则必有即 3 R A 10 k 1 k 方法二 因为的秩为 3 故其 4 阶子式A 1231 212 0 0113 1104 k 解得1 k 例 3 设为阶矩阵的伴随矩阵 证明 AnA 1 1 0 1 n R An R AR An R An 证明 已知则可逆由知可逆 所以 R An A 0 A AAA E A R An 若则由 1 R An A 0 A 又由矩阵秩的行列式定义 0 AAA E R AR An 1 R AnR A 1 R An 有 矩阵至少有一个阶子式不为零 那么矩阵中至少有一个元素非零 所以从而A1n A 1 R A 有 1 R A 若则的任一阶子式为零 故 所以 1 R An A1n 0A 0 R A 本授课单元思考题 讨论题 作业 79 9 2 3 P 第 29 页 共 41 页 第 30 页 共 41 页 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 1 5 节 授课题目 教学章节或主题 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3 4 线性方程组的解 本授课单元教学目标或要求 1 理解线性方程组无解 有唯一解或有无限多个解的充分必要条件 包括非齐次线性方程组有解 的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件 2 熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法 3 知道矩阵方程有解的充要条件 AXB 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 1 基本内容 1 线性方程组的解法 1 基本定理 元线性方程组n Axb 无解的充分必要条件是 R AR A b 有唯一解的充分必要条件是 R AR A bn 有无限多解的充分必要条件是 R AR A bn 2 求解线性方程组的步骤 见教材 2 重要定理 定理 1 线性方程组有解的充分必要条件是Axb R AR A b 定理 2 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是n0 m n Ax R An 把定理 1 推广到矩阵方程 得 定理 3 矩阵方程有解的充要条件是AXB R AR A B 2 重点 难点 根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解 线性方程组的基本定理 3 例题与解题方法 例 1求方程组的通解 1234 1234 1234 1 2456 2345 xxxx xxxx xxxx 解 对增广矩阵作初等行变换得 1111111111 2145603234 1234503234 57 102 11111 33 2424 011011 3333 0000000000 A b 第 31 页 共 41 页 原方程组化为 134 234 75 2 33 42 33 xxx xxx 取自由未知量得特解为对应原方程的齐次方程组为 34 0 xx 0 7 4 0 0 3 3 T 134 234 5 2 3 2 3 xxx xxx 令得基础解系为 3 4 10 01 x x 故原方程的通解为 12 52 1 0 2 1 0 1 33 TT 01 12212 75 2 33 421 330 01 1 00 xkkkk 其中为任意常数 12 k k 例 2 设 123 2 123 123 4 24 xxkx xkxxk xxx 问方程组什么时候有解 什么时候无解 有解时 求出相应的解 解 方法一 方程组的系数行列式 11 11 1 4 112 k Akkk 当即时 方程组有唯一解 且唯一解为 按克莱姆法则 1 4 0Akk 1 4k 22 123 2242 111 kkkkk xxx kkk 时 方程组为1k 123 123 123 4 1 24 xxx xxx xxx 此时 第 32 页 共 41 页 11141114 11110238 11240005 A b 方程组无解 2 3 R AR A b 时 方程组为4k 123 123 123 44 416 24 xxx xxx xxx 114411441030 1411601140114 112400000000 A b 故方程组有无穷多解 其同解方程组为 通解为 23 R AR A b 13 23 30 4 xx xx 其中为任意常数 1 2 3 03 41 01 x xxC x C 方法二 直接化增广矩阵为阶梯形 2 114114 110228 1124 1 4 00 4 2 kk A bkkk kk k k 时 有1 4k 2 2 2 100 1141 224 014010 21 22 001001 11 kk kk kkk A b k kk kk 可见方程组有唯一解 22 123 2242 111 kkkkk xxx kkk 时 方程组无解1k 2 3 R AR A b 时 4k 11441030 01140114 00000000 A b 故方程组有无穷多解 通解为 23 R AR A b 第 33 页 共 41 页 其中为任意常数 1 2 3 03 41 01 x xxC x C 本授课单元思考题 讨论题 作业 80 12 2 13 3 P 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目 教学章节或主题 第四章 向量组的线性相关性 1 向量组及其线性组合 2 向量组的线性相关性 本授课单元教学目标或要求 一 了解维向量空间的概念 n 二 掌握线性组合的概念 掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件 三 掌握线性相关和线性无关的概念 能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线 性关系 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 一 向量组及其线性组合 定义 定义 定义 3 定理 1 定理 2 定理 3 二 维向量的表示方法 n 三 向量空间 四 向量 向量组与矩阵 五 线性相关性的概念 定义 4 六 线性相关性的判定 定理 4 定理 5 向量 可由 不可由 1 2 n线性表示的主要结论 1 若 k1 1 k2 2 kn n ki为实数 则说 可由 1 2 n线性表示 命题 可由向量组 1 2 n线性表示 方程组 AX 有解 其中 A 1 2 n 秩 A 秩 A 推论 1 可由 1 2 n线性表示 且表达式是惟一的 方程组 AX 有惟一解 秩 A 秩 A n 1 2 n线性无关 1 2 n 线性相关 推论 2 可由 1 2 n线性表示 且表达式是不惟一的 秩 A 秩 A n 2 若对于任何一组数 k1 k2 kn都有 k1 1 k2 2 kn n 则说 不可由 1 2 n线性表示 命题 不可由 1 2 n线性表示 方程组 AX 无解 秩 A 秩 A 其中 A 1 2 n 七 线性相关性在线性方程组中的应用 第 34 页 共 41 页 重点 难点 向量 向量组与矩阵之间的联系 线性方程组的向量表示 线性组合与线性表示的概念 线性相关与线性无关的概念 线性相关性在线性方程组中的应用 重点 线性相关与线性无关的判定方法 定义 两个定理 难点 本授课单元教学手段与方法 讲授 练习 本授课单元思考题 讨论题 作业 P108 2