Ch2-z变换与离散时间傅里叶变换-2.pdf

浙江理工大学浙江理工大学 2010 数字信号处理教程数字信号处理教程数字信号处理教程数字信号处理教程 程 佩 青程 佩 青 清华大学出版社 第三版 第三版 浙江理工大学浙江理工大学 2010 目 录目 录目 录目 录 绪 论绪 论 第一章 离散时间信号与系统第一章 离散时间信号与系统 第二章 第二章 z变换变换 第三章 离散傅里叶变换第三章 离散傅里叶变换 第四章 快速傅里叶变换第四章 快速傅里叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构第五章 数字滤波器的基本结构 第六章 第六章 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 第七章 第七章 FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 浙江理工大学浙江理工大学 2010 第二章 z变换第二章 z变换第二章 z变换第二章 z变换 2 1 引言引言 2 2 z变换的定义与收敛域变换的定义与收敛域 2 3 z变换的反变换变换的反变换 2 4 z变换的的基本性质和定理变换的的基本性质和定理 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换 的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换 的关系 2 6 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 2 7 傅立叶变换的一些性质傅立叶变换的一些性质 2 8 离散系统的系统函数 系统的频率响应离散系统的系统函数 系统的频率响应 2 9 傅里叶变换的一些对称性质傅里叶变换的一些对称性质 2 10 离散系统的系统函数 系统的频率响应离散系统的系统函数 系统的频率响应 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 一 线性 二 序列的移位 三 乘以指数序列 z域尺度变换 四 序列的线性加权 z域求导数 五 共轭序列 六 翻褶序列 七 初值定理 八 终值定理 九 有限项累加性质 十 时域卷积定理 十一 z域复卷积定理 十二 帕塞瓦定理 一 线性 二 序列的移位 三 乘以指数序列 z域尺度变换 四 序列的线性加权 z域求导数 五 共轭序列 六 翻褶序列 七 初值定理 八 终值定理 九 有限项累加性质 十 时域卷积定理 十一 z域复卷积定理 十二 帕塞瓦定理 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 一 线性一 线性 a b为任意常数 21 21 21 RzRzbYzaXnbynaxZ RzRzYnyZ RzRzXnxZ yy xx 则 若 ROC 一般情况下 取二者的重叠部分 min max 2211yxyx RRzRR 由 1 0 0 1 1 ze nueZ j nj 2 0 1 0 1 11 0 cos21 cos1 1 1 1 1 2 1 2 cos 00 00 z z z zeze nu ee Znun Z j j nj nj 1 0 j ez 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 变换 求它的已知znununx 3 例2例2 解 1 1 z z z nuZ由 1 11 3 3 2 1 3 30 z z z z z zznunuZ n n n n 0 1 11 3 2 22 z z zz z z z z nunuZ 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 nuanx n az 1 nuany n az n nynx 零极点相消 收敛域扩大为整个零极点相消 收敛域扩大为整个z z平面 平面 az z zX az a zY 1 zYzX 例3例3 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 二 序列的移位二 序列的移位 n O nx 4 n O 2 nx 4 n O 2 nx 4 11 211 211 2 原序列不变 只影响在时间轴上的位置 处收敛域 只会影响 zz 0 zXzmnxZ zzXnxZznx m 为 变换 则其右移位后的变换为的双边若序列 zXzmnxZz m 变换为 同理 左移位后的 证明证明 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 xx m xx RzRzXzmnxZ RzRzXnxZ 则 若 平面处处收敛 在znZ1 由定义得 n n zmnxmnxZ 证明 证明 zXzzkxzzkx m k km k km 处不收敛在处不收敛 在 zznZzznZ 1 0 1 1 处收敛域 只会影响 zz 0 单边单边z变换的位移性质变换的位移性质 n O nunx 4 n 2 nunx 4 n 2 nunx 4 11 O11 O11 的长度有所增减的长度有所增减 较较nunxnumnxnumnx 若若x n 为双边序列 其单边为双边序列 其单边z变换变换 nunxZ 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 1 左移位性质 1 左移位性质 zXnunxZ 若若 1 0 m k km zkxzXznumnxZ则则 为正整数其中为正整数其中m 01zxzzXnxZ 102 22 zxxzzXznxZ 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 2 右移位性质 2 右移位性质 zXnunxZ 若若 1 mk km zkxzXznumnxZ则则 为正整数其中为正整数其中m 则时 注意 对于因果序列 则时 注意 对于因果序列00 nxn zXznumnxZ m 而左移位序列的单边而左移位序列的单边z变换不变 变换不变 11 1 xzXznxZ 212 12 xxzzXznxZ 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 证明证明 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 zXnunxZ 若若 1 mk km zkxzXznumnxZ则则 证明 证明 0 n n znxzXnunxZ 0 0 n mnm k n zmnxzzmnxnumnxZ则 1 mk km zkxzXz 1 0 mk k k km mk km zkxzkxzzkxz 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 三 乘以指数序列三 乘以指数序列 为非零常数 则 若 a R a z R a z Xnxa RzRzXnxZ xx n xx 21 21 同理 21 xx n RazRazXnxa 21 1 xx n RzRzXnx 即 1 z 收敛域 收敛域 2 0 2 0 2 0 cos2 cos cos z z z zz znun Z n 同理 同理 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 例4例4 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 四 序列线性加权四 序列线性加权 z z域求导数 如果 则 证明 域求导数 如果 则 证明 xx d Z nx nzX zRzR dz xx Z x nX zRzR 因为 d d 22 az za az zaz z z az z znunaZ n 所以 az 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 例5例5 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 五 共轭序列五 共轭序列 如果 则 证明 其中 x 如果 则 证明 其中 x n 是x n 的共轭对称序列 n 是x n 的共轭对称序列 xx Z x nXzRzR xx Z x nX zRzR 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 六 翻褶序列六 翻褶序列 如果 则 证明 如果 则 证明 xx Z x nX zRzR 111 xx Z xnXz zRR x m m m m m m mmn n RzzX z z zmx zz zmx zzzzmxzmxL 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 十 序列的卷积和 时域卷积和定理 十 序列的卷积和 时域卷积和定理 21 21 zHzXnhnxZ RzRnhZzH RzRnxZzX hh xx 则 已知 min max 2211hxhx RRzRR 收敛域 一般情况下 取二者的重叠部分 即 描述 描述 两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列 z变换的乘积 注意 注意 如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消 则收 敛域可能扩大 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 max min lm ml m m xhxh x mh l zz x m zH z X z H zRRzRR bz bz z zH 2 bzaz z zHzXzY 所以 max baz 收敛域 解 解 a bO zRe zImj 收敛域收敛域 例6 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 由由Y z 求求y n bz bz az az ba zY 1 因为 1 nubbnuaa ba ny nn 所以 1 11 nuba ba nn 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 1 1 abnhnxny nuabnubnhnuanx nnn bz bz az bz a bz z bz z az bz z nhZzH 1 bz z bz az az z zHzXzY bzzYzHzX 的收敛域扩大 为的零点相消 的极点与 解 解 例7 1 nubzYZnhnxny n 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 2 1 d j2 1 d j2 1 1 1 21 21 c c hh xx vv v z HvX nhnxZ vvvH v z X nhnxZ RzRnhZzH RzRnxZzX 或 则 已知 针旋转的围线收敛域重叠部分内逆时与或与分别为 21 vH v z XvH v z Xcc 十一 序列相乘 z域复卷积定理 十一 序列相乘 z域复卷积定理 2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2 4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 0 即 即S的右半平面 的右半平面 r 1 即 即Z的单位圆外 的单位圆外 S平面平面 0 0 1 r与 的关系 1 r与 的关系 T er Z平面平面 j rez js 0 即 即S平面的虚轴 平面的虚轴 r 1 即 即Z平面单位圆 平面单位圆 0 即 即S的左半平面 的左半平面 r 1 即 即Z的单位圆内 的单位圆内 j Im zj Re z S 宽 的水平条带 整个z平面 S 宽 的水平条带 整个z平面 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 0 jIm Z Re Z T 3 T T T 3 TTT 2 2 与 的关系 T 2 与 的关系 T j j rez js 0 S平面的实轴 0 S平面的实轴 0 Z平面正实轴 0 Z平面正实轴 0 0 常数 S 平行实轴的直线 常数 S 平行实轴的直线 0 0 T Z 始于原点的射线 T Z 始于原点的射线 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 二 Z变换与傅氏变换的关系二 Z变换与傅氏变换的关系 ttfsF ts de e tfFttfsF js tj js d 令 平面上的单位圆 即平面映射到Z1 T erZjs 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 这就是说 抽样 序列在单位圆上的Z变换 就等于理想抽样 信号傅氏变换 k aa T jkjX T jX 2 1 jXeXzX a Tj ez Tj 连续信号经理想抽样后 其频谱产生周期延拓 即 傅氏变换是拉氏变换在虚轴S j 的特例 因而映射到Z平 面上为单位圆 因此 可得由 sXeXzX a sT ez sT 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 2 5 序列的序列的z变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 变换与连续信号的拉氏变换 傅氏变换的关系 jXeXzX a j ez j k aa T jkjX T jX 2 1 Q又 2 1 k a j ez T k jX T eXzX j 所以 序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换 所以 序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换 用数字频率 作为Z平面的单位圆的参数 表示Z平面的辐角 且 T j ez jXeXzX a Tj ez Tj 总结 总结 序列的傅氏变换是单位圆上的序列的傅氏变换是单位圆上的z变换 所以是变换 所以是z变换的特殊 形式 变换的特殊 形式 z变换可以看作是序列傅氏变换的推广 变换可以看作是序列傅氏变换的推广 z ej 抽样序列的傅氏变换是原信号傅氏变换谱的周期延拓 在 满足奈奎斯特定理时 两者相同 仅有常数之差 抽样序列的傅氏变换是原信号傅氏变换谱的周期延拓 在 满足奈奎斯特定理时 两者相同 仅有常数之差 抽样序列的抽样序列的z变换是抽样信号的拉氏变换从变换是抽样信号的拉氏变换从s平面