2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质讲义苏教版.docx

2.4.2抛物线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握抛物线的简单几何性质(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点)3.直线与抛物线的公共点问题(易错点)1.借助抛物线的几何性质，培养数学运算素养2.通过直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理素养.1抛物线的几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质焦点FFFF性质准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下2抛物线的焦点弦、通径抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为ABx1x2p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B02p，称为抛物线的通径1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()Ax23yBy26xCx212yDx26yC由题意知抛物线方程为x22py，且3，即p6，因此抛物线方程为x212y.2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A10B8C6D4B|AB|x1x2p628.3过抛物线y24x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为_4易知线段AB为抛物线的通径，所以AB4.4已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_.2F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.AFx轴，|BF|AF|2.依据性质求抛物线标准方程【例1】(1)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为_(1)x216y(2)y24x(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)不妨设抛物线的方程为y22px，如图所示，AB是抛物线的通径，AB2p，又OFp，SOABABOF2ppp24，故p2.所求抛物线方程为y24x.利用抛物线几何性质可以解决的问题1对称性：解决抛物线的内接三角形问题2焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题3范围：解决与抛物线有关的最值问题4焦点：解决焦点弦问题1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x216y2144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为_x212y或x212y椭圆的方程可化为1，其短轴在y轴上，抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x22py或x22py(p0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得3，p6.抛物线的标准方程为x212y或x212y.与抛物线有关的最值问题【例2】求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离思路探究本题的解法有两种：法一，设P(t，t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x3ym0与直线4x3y80平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离解法一：设P(t，t2)为抛物线上的点，它到直线4x3y80的距离d2.当t时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.抛物线中最值的求解策略1可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围2当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_2因为抛物线的方程为y24x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x1，所以设P到准线的距离为PB，则PBPF，P到直线l1：4x3y60的距离为PA，所以PAPBPAPFFD，其中FD为焦点到直线4x3y60的距离，所以FD2，所以距离之和最小值是2.直线和抛物线的位置关系探究问题1直线与抛物线有哪几种位置关系？提示相离，相切，相交2如何认识抛物线的焦点弦？提示如图，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)AB2(焦点弦长与中点关系)；(3)ABx1x2p；(4)若直线AB的倾斜角为，则AB；如当90时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2；(6).【例3】已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且ABp，求AB所在的直线方程思路探究求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，ABx1x2pp求解解由题意可知，抛物线y22px(p0)的准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AFdAx1，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.当x1x2时，AB2pp，故直线AB与x轴不垂直设直线AB的方程为yk.由得k2x2p(k22)xk2p20，x1x2，即p，解得k2.故直线AB的方程为y2或y2.1直线与抛物线交点问题的解题思路判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数2抛物线的弦长求解思路当直线的斜率k存在且k0时，弦长公式为|AB|x1x2|y1y2|；当直线的斜率k0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|x1x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|y1y2|.3斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长解由题意知抛物线焦点为F(1,0)，kAB1，所以AB的方程为yx1，代入y24x得(x1)24x，即x26x10，320，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，ABAFFBx1x228，线段AB的长为8.1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()答案(1)(2)(3)2若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.B.C.D.A线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_(4,2)由得x28x40，设A(x1，y1