中考阅读理解型试题简析.pdf

中考阅读理解型试题简析 443300 湖北省宜都市外国语学校 范 鸿 近几年来 阅读理解型试题一直活跃在各地的中考 数学试卷上 成为广大师生关注的焦点 这类题型具有 内容丰富 构思新颖 题样多变 知识覆盖面大 综合性 强等特点 它一般是先给出一段材料 让学生通过阅读 领会其中的知识内容 方法要领 然后理解实质 把握本 质 并能加以应用 解决后面提出的问题 材料往往是课 本原文或设计的一个新的数学情境 包括新数学概念的 理解和应用 新数学公式的发现和应用 新数学思想方 法的掌握与模拟等等 此类题型充分体现了 学生是数 学学习的主人 教师是数学学习的组织者 引导者和合 作者 这一新课程理念 有助于培养学生的阅读理解能 力 分析推理能力 数据或图表处理能力 知识迁移能力 等等 笔者浏览 2010年全国部分地区中考数学试卷中 出现的阅读理解型试题 发现除了传统的统计概率题型 外 还出现了一些新的背景材料 拟以分类简析 供同行 们参考 1 数学概念的理解与应用 例 1 2010年台州 类比学习 一动点沿着数轴向右平移 3个单位 再向左平移 2 个单位 相当于向右平移 1个单位 用实数加法表示为 3 2 1 若坐标平面上的点作如下平移 沿 x 轴方 向平移的数量为 a 向右为正 向左为负 平移 a 个单 位 沿 y轴方向平移的数量为 b 向上为正 向下为负 平移 b 个单位 则把有序数对 a b 叫做这一平移的 平移量 平移量 a b 与 平移量 c d 的加法运 算法则为 a b c d a c b d 解决问题 1 计算 3 1 1 2 1 2 3 1 图 1 2 动点 P从坐标原点 O出发 先按照 平移量 3 1 平移到 A 再按照 平移量 1 2 平移到 B 若先把动点 P 按 照 平移量 1 2 平移到 C 再 按照 平移量 3 1 平移 最后 的位置还是点 B吗 在图 1中 画出四边形 OABC 证明四边形 OABC是平行四边形 3 如图 2 一艘船从码头 O出发 先航行到湖心岛码 图 2 头 P 2 3 再从码头 P航行 到码头 Q 5 5 最后回到出 发点 O 请用 平移量 加法 算式表示它的航行过程 解 1 3 1 1 2 4 3 1 2 3 1 4 3 图 3 2 画图 3 最后的位置 仍是 B 由 知 A 3 1 B 4 3 C 1 2 OC AB 1 2 2 2 5 OA BC 3 2 12 10 四边形 OABC是平行四 边形 3 2 3 3 2 5 5 0 0 点评 本题难度不大 要求学生在阅读的基础上准 确理解直角坐标系下点的 平移量 的含义 把握大小与 方向的确定 在阅读的同时 考查学生能否把数学概念 的抽象性与点的移动直观性结合起来 让学生明白准确 理解数学概念并不是单一的 而是多层次 多角度的 2 数学公式的发现与应用 例 2 2010年宁波 十八世纪瑞士数学家欧拉证 明了简单多面体中顶点数 V 面数 F 棱数 E 之间 存在的一个有趣的关系式 被称为欧拉公式 请你观察 下列几种简单多面体模型 解答下列问题 1 根据上面多面体模型 完成表格中的空格 多面体顶点数 V 面数 F 棱数 E 四面体44 长方体8612 正八面体812 正十二面体201230 你发现顶点数 V 面数 F 棱数 E 之间存在的 关系式是 41 复习参考 2011年第 1期 初中版 2 一个多面体的面数比顶点数大 8 且有 30条棱 则这个多面体的面数是 3 某个玻璃饰品的外形是简单多面体 它的外表 面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成 且有 24 个顶点 每个顶点处都有 3条棱 设该多面体外表面三 角形的个数为 x个 八边形的个数为 y个 求 x y的值 解 1 6 6 V F E 2 2 20 3 这个多面体的面数为 x y 棱数为 24 3 2 36 条 根据 V F E 2 可得 24 x y 36 2 x y 14 点评 欧拉公式对学生来说是一个陌生的数学公 式 本题并不要求学生严格证明欧拉公式 而是考查学 生通过观察简单多面体的顶点数 V 面数 F 和棱数 E 以及阅读表中数据来发现它们之间的关系 问题的 关键在于抓住反映长方体和正十二面体的三个数据之 间的和差 提炼出各个多面体的三个数据关系的共性 另外 棱数的确定不仅是一个阅读理解问题 更是一个 空间想象问题 从这一点上讲 数学阅读不是停留在表 面文字的理解 而是数学思维的前奏 3 数学方法的掌握与模拟 例 3 2010年青岛 问题再现 现实生活中 镶嵌 图案在地面 墙面乃至于服装面料设计中随处可见 在 八年级课题学习 平面图形的镶嵌 中 对于单种多边形 的镶嵌 主要研究了三角形 四边形 正六边形的镶嵌问 题 今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入 点 提出其中几个问题 共同来探究 图 4 我们知道 可以单独用正三角形 正方形 或正六边形镶嵌平面 如图 4中 用正方形镶 嵌平面 可以发现在一个顶点 O周围围绕着 4 个正方形的内角 试想 如果用正六边形来镶嵌平面 在一个顶点周 围应该围绕着 个正六边形的内角 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边 形镶嵌平面 可能设计出几种不同的组合方案 问题解决 猜想 1 是否可以同时用正方形 正八边形两种正 多边形组合进行平面镶嵌 分析 我们可以将此问题转化为数学问题来解决 从平面图形的镶嵌中可以发现 解决问题的关键在于分 析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特 点 具体地说 就是在镶嵌平面时 一个顶点周围围绕的 各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 验证 1 在镶嵌平面时 设围绕某一点有 x个正方 形和 y个正八边形的内角可以拼成一个周角 根据题 意 可得方程 90 x 8 2 180 8 y 360 整理得2x 3y 8 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 x 1 y 2 结论 1 镶嵌平面时 在一个顶点周围围绕着 1个 正方形和 2个正八边形的内角可以拼成一个周角 所以 同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行 平面镶嵌 猜想 2 是否可以同时用正三角形和正六边形两种 正多边形组合进行平面镶嵌 若能 请按照上述方法进 行验证 并写出所有可能的方案 若不能 请说明理由 验证 2 结论 2 上面 我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶 嵌平面的部分情况 仅仅得到了一部分组合方案 相信同 学们用同样的方法 一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广 请你仿照上面的研究方式 探索出一个同时用三种 不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案 并写出验证 过程 猜想 3 验证 3 结论 3 解 3个 验证 2 在镶嵌平面时 设围绕某一点有 a 个正三 角形和 b个正六边形的内角可以拼成一个周角 根据题 意 可得方程 60a 120b 360 整理得 a 2b 6 可以 找到两组适合方程的正整数解为 a 2 b 2 和 a 4 b 1 结论 2 镶嵌平面时 在一个顶点周围围绕着 2个 正三角形和 2个正六边形的内角或者围绕着 4个正三 角形和 1个正六边形的内角可以拼成一个周角 所以同 时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行 平面镶嵌 猜想 3 是否可以同时用正三角形 正方形和正六 边形三种正多边形组合进行平面镶嵌 验证 3 在镶嵌平面时 设围绕某一点有 m 个正三 42 2011年第 1期 初中版 复习参考 角形 n个正方形和 c个正六边形的内角可以拼成一个 周角 根据题意 可得方程 60m 90n 120c 360 整理 得 2m 3n 4c 12 可以找到惟一一组适合方程的正 整数解为 m 1 n 2 c 1 结论 3 镶嵌平面时 在一个顶点周围围绕着 1个 正三角形 2个正方形和 1个正六边形的内角可以拼成 一个周角 所以同时用正三角形 正方形和正六边形三 种正多边形组合可以进行平面镶嵌 点评 本题先是通过阅读理解 模拟提供的材料中 所述的过程方法去解决类似的相关问题 此类试题除了 考查学生的阅读理解能力外 还考查合情合理猜想或推 理判断等能力 掌握方法在于把握问题的本质 模拟不 是简单的机械模仿 4 数学思想的领悟与应用 图 5 例 4 2010年佛山 一般来 说 数学研究对象本质属性的共同 点和差异点 将数学对象分为不同 种类的数学思想叫 分类 的思想 将事物分类 然后对划分的每一类 进行研究和求解的方法叫做 分类 讨论 的方法 请依据分类的思想 和分类讨论的方法解决下列问题 如图 5 在 ABC中 ACB ABC 1 若 BAC是锐角 请探索在直线 AB上有多少个 点 D 能保证 ACD ABC 不包括全等 2 请对 BAC进行恰当的分类 直接写出每一类 在直线 AB上能保证 ACD ABC 不包括全等 的点 D 的个数 解 1 若点 D 在线段 AB 上 存在点 D 满足要求 若点 D 在线段 AB 的延长线上 则不存在点 D 满足要 求 若点 D 在线段 AB的反向延长线上 则不存在点 D 满足要求 综上所述 这样的点 D 只有一个 2 若 BAC为锐角 由 1 知 这样的点 D 只有一 个 若 BAC为直角 这样的点 D 有两个 若 BAC为钝 角 这样的点 D 只有一个 点评 在初中阶段数学教学中已经渗透了分类思 想 本题的关键是抓住分类的原因 需要运用分类讨论 思想解决的数学问题 就其引起分类的原因 可归结为 涉及的数学概念是分类定义的 运用的数学定理 公式或运算性质 法则是分类 给出的 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能 数学问题中含有参变量 这些参变量的取值会导 致不同结果的 应用分类讨论思想解决问题 必须保证分类科学 统一 不重复 不遗漏 并力求最简 5 数学知识应用于生产实践 例 5 2010年河北 观察思考 某种在同一平面进 行传动的机械装置如图 6 图 7是它的示意图 其工作原 理是 滑块 Q 在平直滑道 l上可以左右滑动 在 Q 滑动 的过程中 连杆 PQ 也随之运动 并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动 在摆动过程中 两连杆的接点 P 在以 OP为半径的 O 上运动 数学兴趣小组为进一步研究 其中所蕴含的数学知识 过点 O 作 OH l于点 H 并测 得 OH 4分米 PQ 3分米 OP 2分米 图 6 图 7 解决问题 1 点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米 点 Q 在 l上滑到最 左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米 图 8 2 如图 8 小明同学说 当点 Q滑动到点 H 的位置时 PQ 与 O 是相切的 你认为他的判断对吗 为什么 3 小丽同学发现 当点 P 运动到 OH 上时 点 P 到 l的距离最 小 事实上 还存在着点 P 到 l距离 最大的位置 此时 点 P 到 l的距离 是 分米 当 OP绕点 O 左右摆动时 所扫过的区域为扇形 求这个扇形面积最大时圆心角的度数 解 1 4 5 6 2 不对 OP 2 PQ 3 OQ 4 且 4 2 32 2 2 即 OQ2 PQ2 OP 2 43 复习参考 2011年第 1期 初中版 OP与 PQ 不垂直 PQ与 O不相切 图 9 3 3 由 图 9 知 在 O 上存在点 P P 到 l的距离为 3 此时 OP 将不 能再向下转动 如图 9 OP 在绕点 O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形 就是 P OP 连接 P P 交 OH 于点 D PQ P Q 均与 l垂直 且 PQ P Q 3 四边形 PQQ P 是矩形 OH PP PD P D 由 OP 2 OD OH HD 1 得 DOP 60 POP 120 所求最大圆心角的度数为 120 点评 本题主要考查学生根据图形信息 运用所学 知识思考问题和解决问题的能力 第一问概念性强 涉 及到 点与点之间距离 点到直线的距离 第二问考 圆的切线判定理和勾股定理逆定理的综合运用 第三问 关键是判断 OP在绕点 O左右摆动过程中所扫过的最大 扇形时 P 的位置 利用圆的垂径定理和三角函数知识求 角的大小是常规常法 该题型既能激发学生学习数学的 兴趣 又能让学生体会到数学在生活中的应用价值 6 数学知识的迁移 例 6 2010年淮安 1 观察发现 如图 10 若点 A B 在直线 l同侧 在直线 l上找一点 P 使 AP BP的 值最小 做法如下 作点 B关于直线 l的对称点 B 连接 AB 与直线 l的交点就是所求的点 P 再如图 11 在等边 三角形 ABC中 AB 2 点 E是 AB 的中点 AD 是高 在 AD 上找一点 P 使 BP PE的值最小 做法如下 作点 B 关于 AD 的对称点 恰好与点 C重合 连接 CE交 AD 于 一点 则这点就是所求的点 P 故 BP PE 的最小值为 图 10 图 11 2 实践运用 如图 12 已知 O 的直径 CD 为 4 AD的度数为 60 点 B是AD的中点 在直径 CD 上找一点 P 使 BP AP的值最小 并求 BP AP的最小值 图 12 图 13 3 拓展延伸 如图 13 在四边形 ABCD 的对角线 AC上找一点 P 使 APB APD 保留作图痕迹 不必 写出作法 解 1 3 2 如图 14 作点 A 关于直径 CD 的对称点 A A 也 一定在圆周上 连接 A B交 CD 于 P 则根据 1 可知 A B AP BP 又因为AD的度数为 60 点 B是AD的中点 所以 A OB 90 则 BP AP的最小值为 2 2 图 14 图 15 3 如图 15 点 P为所求 点评 本题从学