27.4正多边形和圆(华师版).ppt

27 4正多边形和圆 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形正n边形 如果一个正多边形有n条边 那么这个正多边形叫做正n边形 三条边相等三个角相等 60度 四条边相等四个角相等 900 一 正多边形定义 问题1 什么样的图形是正多边形 各边相等 各角也相等的多边形是正多边形 辨析 1 矩形是正多边形吗 菱形呢 正方形呢 为什么 矩形不是正多边形 因为四条边不都相等 菱形不是正多边形 因为菱形的四个角不都相等 正方形是正多边形 因为四条边都相等 四个角都相等 分别画出图中各正多边形的对称轴 看看你能发现什么规律 做一做 以正五边形为例 如图 我们发现正五边形有五条对称轴 而且这些对称轴都交于一点O 根据轴对称的性质 我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线 因而点O到正五边形各个顶点的距离相等 记为R 那么以点O为圆心 R为半径的圆就过正五边形的各个顶点 它是该正五边形的外接圆 另外 这些对称轴也是正五边形各内角的平分线 根据角平分线的性质 点O到各边距离都相等 记为r 那么以点O为圆心 r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切 它是正五边形的内切圆 如图 其他正多边形也有类似的结论 O 中心角 半径R 边心距r 正多边形的中心 一个正多边形的外接圆的圆心 正多边形的半径 外接圆的半径 正多边形的中心角 正多边形的每一条边所对的圆心角 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离 A B 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 新课讲解 中心 半径 中心角 边心距 正多边形中的有关概念 既是外接圆的圆心 也是内切圆的圆心 圆中满足AB BC CD DE EA A B C D E 那么弦AB BC CD DE EA之间又什么关系 A B C D E之间又什么关系 定义 把圆分成n n 2 等份 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形 正n边形与圆的关系 1 把正n边形的边数无限增多 就接近于圆 2 怎样由圆得到多边形呢 A B C D 思考1 把一个圆4等分 并依次连接这些点 得到正多边形吗 弧相等 弦相等 多边形的边相等 圆周角相等 多边形的角相等 多边形是正多边形 例 利用尺规作图 作出已知圆的内接正方形和内接正六边形 你能尺规作出正四边形吗 A B C D O 只要作出已知 O的互相垂直的直径即得圆内接正方形 再过圆心作各边的垂线与 O相交 或作各中心角的角平分线与 O相交 即得圆接正八边形 照此方法依次可作正十六边形 正三十二边形 正六十四边形 你能尺规作出正六边形吗 O A B C E F D 以半径长在圆周上截取六段相等的弧 依次连结各等分点 则作出正六边形 先作出正六边形 则可作正三角形 正十二边形 正二十四边形 抢答题 1 o是正与的圆心 ABC的中心 它是 ABC的 2 OB叫正 ABC的它是正 ABC的的半径 3 OD叫作正 ABC的它是正 ABC的的半径 D 半径 外接圆 边心距 内切圆 外接圆 内切圆 4 正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的 5 正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的 A B C D O E 中心 边心距 6 O是正五边形ABCDE的外接圆 弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的 它是正五边形ABCDE的圆的半径 7 AOB叫做正五边形ABCDE的角 它的度数是 边心距 内切 中心 72度 8 图中正六边形ABCDEF的中心角是 它的度数是 9 你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系 为什么 B A AOB 60度 解答 正六边形的半径与边长数量关系是相等 因为 正六边形的中心角是60度和半径组成的三角形是等边三角形 所以边长与半径相等 例1 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形 求地基的周长和面积 O B C r R P 亭子的周长L 6 4 24 m O B C r R 4 P 例2 如图 已知正六边形ABCDEF的边长为6cm 1 求正六边形ABCDEF的外接圆的半径 2 求正六边形ABCDEF的边心距 作半径OA OB OA OB AOB 60 OAB是正三角形 R AB 6cm H R 解 1 2 作OG AB于H 得Rt OHB 练习 已知正六边形ABCDEF的的边心距为r 6cm 求正六边形ABCDEF的外接圆的半径R A B C O D S3 例4 已知正六边形ABCDEF的半径为R 求这个正六边形的边长a6 周长l6 面积S6 A B C D E F O G 当堂训练 1 课本P107第1题 例5 如图 M N分别是 O内接正多边形AB BC上的点 且BM CN 1 求图 中 MON的度数 2 图 中 MON 图 中 MON 3 试探究 MON的度数与正n边形的边数n的关系 四边形MONB的面积与正n边形面积之间的关系 A B C M N M N M N O O O 1 两个正六边形的边长分别是3和4 这两个正六边形的面积之比等于 2 圆内接正方形的半径与边长的比值是 3 圆内接正四边形的边长为4cm 那么边心距是 4 已知圆内接正方形的边长为4 则该圆的内接正六边形边长为 5 圆内接正六边形的边长是8cm用么该正六边形的半径为 边心距 练习 6 以下有四种说法 顺次连结对角线相等的四边形各边中点 则所得的四边形是菱形 等边三角形是轴对称图形 但不是中心对称图形 顶点在圆周上的角是圆周角 边数相同的正多边形都相似 其中正确的有 A 1个B 2个C 3个D4个7 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是 A 互余B 互补C 互余或互补D 不能确定 9 若一个正多边形的每一个外角都等于36 那么这个正多边形的中心角为 A 36 B 18 C 72 D 54 10 将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角 使它成为正n边形 那么正n边形的面积为 11 正六边形螺帽的边长为a 那么扳手的开口b最小应是 A 巩固提高 1 如图 在 O中 OA AB OC AB 则下列结论错误的是 D 2 周长相等的正方形和正六边形的面积分别为S4和S6 则S4和S6的大小关系为 3 已知圆的半径为6 则它的内接三角形 正方形 正六边形的边长分别为 4 若同一个圆的内接三角形 正方形 正六边形的边心距分别为r3 r4 r6 则r3 r4 r6 5 边长为a的正三角形的高h 外接圆半径R 内切圆半径r S4 S6 6 如图 正六边形ABCDEF中 阴影部分的面积为 则此正六边形的边长为 例7 如图 已知 O的内接等腰 ABC AB AC 弦BD CE分别平分 ABC ACB BE BC 求证 五边形AEBCD是正五边形 例8 如图 有一个圆O和两个正六边形T1 T2 T1的6个顶点都在圆周上 T2的6条边都和圆O相切 我们称T1 T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形 设T1 T2的边长分别为a b 圆O的半径为r 求r a及r b的值 怎样画一个正多边形呢 问题1 已知 O的半径为2cm 求作圆的内接正三角形 120 用量角器度量 使 AOB BOC COA 120 用量角器或30 角的三角板度量 使 BAO oAc 30 A O C B 你能用以上方法画出正四边形 正五边形 正六边形吗 A B C D O O A B C D E F 90 72 60 你能尺规作出正六边形 正三角形 正十二边形吗 O A B C E F D 以半径长在圆周上截取六段相等的弧 依次连结各等分点 则作出正六边形 先作出正六边形 则可作正三角形 正十二边形