高等数学第一章的总结.ppt

函数与极限 性质 闭区间上连续函数 函数 极限 数列极限 函数极限 连续 或间断 内容 一 函数 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数 分段函数 有无穷多项等函数 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数 多项式函数 有理分函数 分式函数 邻域 绝对值 运算性质 绝对值不等式 函数的特性 有界 无界 1 函数的有界性 数列的有界性 补充内容 1 单调递增且有上界数列必有极限 2 单调递减且有下界数列必有极限 2 函数的单调性 3 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 函数的周期性 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 典型例题 例 解 例 解 故 思考题 思考题解答 设 则 故 二 极限 函数极限的统一定义 见下表 思考题 思考题解答 左极限存在 右极限存在 不存在 补充结论 小结 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例 解 例 消去零因子法 例 解 无穷小因子分出法 结论 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 例 解 先变形再求极限 例 证明 证 利用夹逼准则 且 由 例 1 求极限 解 原式 2 求极限 提示 原式 左边 右边 故极限存在 例 设 且 求 解 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界 故 利用极限存在准则 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子数列 方法2 找两个收敛于不同极限的子数列 2 已知 求 时 下述作法是否正确 说明理由 设 由递推式两边取极限得 不对 此处 例 解 意义 定理 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 定理 注意 该定理是上个定理的特殊情况 无穷小 量 无穷小的性质 无穷小的比较 常用等价无穷小 两个重要极限 2 1 两个重要极限 或 思考与练习 填空题 1 4 例 求下列极限 提示 令 则有 复习 若 则 2 填空题 1 2 0 极限的计算方法 1 极限的四则运算法则及其推论 2 多项式与分式函数代入法求极限 3 消去零因子法求极限 4 无穷小因子分出法 等价无穷小代换 求极限 5 利用无穷小运算性质求极限 6 利用左右极限求分段函数极限 7 复合函数极限运算法则 尤其利用复合函数连续性 8 利用两边夹逼准则求极限 9 利用罗比达法则求极限 10 利用泰勒公式求极限 11 利用定积分求极限 12 利用无穷级数的性质求极限 思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为什么 与 是否有极限 思考题解答 没有极限 假设有极限 有极限 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 思考题 任何两个无穷小都可以比较吗 思考题解答 不能 例当时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当时 例 解 例 例 思考题 如何做 说明 对于形如 的函数 通常称为幂指函数 如果 那么有 思考题 例 解 原式 例 求 例 解 解法讨论 典型例题 例 例 三 连续与间断 1 函数连续的等价形式 有 2 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 左右极限都存在的间断点 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在的间断点 间断点 见下图 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 闭区间连续函数的性质小结 在 上有最大值与最小值 上可取最大值与最小值之间的任何值 3 若 使 至少存在一个 上有界 在 在 思考题 思考题解答 且 但反之不成立 例 但 例 解 例 证明 讨论 由