高中数学教与学.pdf

学习指导 中学数学解题中的函数与方程思想 韦承军 广西容县高中 537500 在中学数学中函数与方程是相互联系 不可分割的 涉及这两个概念的问题可以相 互转化 有时需要将函数问题转化为方程问 题来研究 有时又需要将方程问题转化为函 数问题来研究 例如 方程 f x 0的根就是 函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 一 讨论方程f x 0在某个区间上根的 个数 这类题一般需要构造函数y f x 转化 为函数图象与x轴的交点个数来研究 例1 已知 f x 是二次函数 不等式 f x 0 h x 是 增函数 当x 0 10 3 时 h x 0 h x 是 增函数 h 3 1 0 h 10 3 1 27 0 h x 0在区间3 10 3 10 3 4内分 别有惟一的实数根 而在区间 0 3 4 没有实数根 所以存在惟一的自然数m 3使得方程 f x 37 x 0在区间 m m 1 有且只有两 个不相等的实数根 二 求角的取值范围 例2 2 设Tn 1 c1 1 c2 1 cn 求证 2 n 1 1 Tn 2n 解 由y x 2 x n x 2 1 n N 3 得 y 1 x 2 x y n 0 1 当y 1时 x n 1 当y 1时 1 4 y 1 y n 0 即 4y 2 4 n 1 y 4n 1 0 an y bn an bn是方程4y 2 4 n 1 y 4n 1 0的两根 anbn 1 4 4n 1 cn 1 2 4anbn 1 n 2 略 四 与解析几何相结合 例4 已知A 1 1 B 1 3 C 2 1 求点C到直线AB的距离 解 以CA 3 2 CB 1 2 为基底 设P为直线AB上的任一点 则由CP x CA 1 x CB 2x 1 2 4x 则 CP 2x 1 2 2 4 x 2 20 x 3 10 2 16 5 4 5 5 评注 当 CP 取得最小值时 有CP AB 此时 CP 就是点C到直线AB的距离 此 题也可以采用点到直线的距离公式来求解 五 求二面角的平面角 例5 2007年全国高考题 如图1 在四 棱锥S ABCD中 底面ABCD为正方形 侧棱 SD 底面ABCD E F分别为AB SC的中点 1 证明EF 平面SAD 2 设SD 2DC 求二面角A EF D的 大小 解 1 略 2 建立如图1所示的直角坐标系 设正 方形的边长为1 则 D 0 0 0 A 1 0 0 E1 1 2 0 F0 1 2 1 DF 0 1 2 1 DE 1 1 2 0 AE 0 1 2 0 AF 1 1 2 1 设P EF 则 DP x DE 1 x DF x1 1 2 0 1 x 0 1 2 1 x 1 2 1 x DP 2 x 2 1 4 1 x 2 2x 1 2 2 3 4 3 4 当x 1 2 时 DP min 3 2 此时有 DP EF DP 1 2 1 2 1 2 同理 设Q EF 则有 AQ AE 1 AF 下转第6页 8 高中数学教与学 2008年 的判定定理 4 结合例题 借题发挥 进行知识拓展和 总结 通过例题的解决 提升得到一类问题的 思考方法和步骤 发挥例题的问题探究效能 案例5 如图3 已知AB 平面BCD BC CD 你能发现哪些平面互相垂直 为什么 教材第77页 这是非常经典的一个几何图形 我们在 题目中经常会碰到 在教学中有必要对其进 行探究 除了研究平面与平面互相垂直的关 系外 还可以让学生探究 1 四面体的四个面的形状是怎样的 都是直角三角形 2 有哪些直线与平面垂直 3 任意两个面所成的二面角的大小如 何计算 如何确定其平面角 四 数学探究的反思 1 洞悉探究本质 树立探究理念 探究的问题应该是未知的 有兴趣的 具 有一定的神秘性 探究问题的第一层次是要求激发学生学 习的好奇心和强烈的探究欲望 让其有较多 的思考余地和动手机会 第二层次是要求能 有探究活动过程的乐趣和结果的美妙 第三 层次是要求有激励学生不断去研究新认知的 机会与原动力 2 探究是一种学习方式 学习习惯 丰富学生的学习方式 改进学生的学习 方法是高中数学教学的基本理念 学生的数 学学习活动不应只限于对概念 结论和技能 的记忆 模仿和接受 独立思考 自主探索 动 手实践 合作交流 阅读自学等都是学习数学 的重要方式 3 加强交流学习 多作合作探究 对于探究学习 教师应该引导学生互相 学习 加强交流合作 对教学内容 行为和方 式进行多方面的研究 用这种科学研究的氛 围感染学生 4 目标调控探究学习 将课堂教学目标和要求先列在章节或节 前 对照目标展开探究学习 根据新课程标准 制定目标进行有效的课堂教学 让师生在共 同的目标下开展探究活动 能使数学探究更 加富有成效 上接第8页 1 1 2 1 AQ 2 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 4 当 1时 AQ 最小 此时 有 AQ EF AQ 0 1 2 0 cos AQ DP AQ DP AQ DP 1 4 1 2 3 4 3 3 二面角A EF D的大小为arccos 3 3 评注 该解法将求二面角化为求两个半 平面内分别垂直于棱的两个向量的夹角 而DP EF等价于 DP