人教版小学五年级数学下册教案

目录 目录 义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册说明 .1 一、教学内容和教学目标 .1 二、教材的编写特点 .4 三、教学中需要准备的教具和学具 .14 四、课时安排 .15 各单元的教材说明和教学建议 .17 一、图形的变换 .17 （一）教学目标 .17 （二）教材说明和教学建议 .17 （三）具体内容的说明和教学建议 .19 二、因数与倍数 .28 （一）教学目标 .28 （二）教材说明和教学建议 .28 （三）各小节的教材说明和教学建议 .31 1. 因数和倍数 .31 2. 2、 5、 3 的倍数的特征 .36 3. 质数和合数 .41 （四）参考资料 .44 1. 2、 5、 3 的倍数的特征 .44 2. 质数表 .45 3. 筛法 .46 三、长方体和正方体 .47 （一）教学目标 .47 （二） 教材说明和教学建议 .47 （三）各小节的教材说明和教学建议 .50 1. 长方体和正方体的认识 .50 2. 长方体和正方体的表面积 .56 3. 长方体和正方体的体积 .61 （四）参考教案 .78 课题一：长方体的认识（片断） .78 课题二：体积和体积单位 .81 综合应用：粉刷围墙 .86 四、分数的意义和性质 .89 （一）教学目标 .89 （二）教材说明和教学建议 .89 （三）各小节的教材说明和教学建议 .95 1. 分数的意义 .95 2. 真分数和假分数 .106 3. 分数的基本性质 .114 4. 约分 .120 5. 通分 .130 6. 分数和小数的互化 .144 （四）参考教案 .152 课题一：分数的意义 .152 课题二：最小公倍数 .155 （五）参考资料 .159 1. 辗转相除法 .159 2. 利用最大公因数求最小公倍数 .160 3. 数的扩充 .161 4. 无限循环小数化成分数 .162 五、分数的加法和减法 .164 （一）教学目标 .164 （二）教材说明和教学建议 .164 （三）各小节的教材说明和教学建议 .169 1. 同分母分数加、减法 .169 2. 异分母分数加、减法 .178 3. 分数加减混合运算 .185 （四）参考教案 .192 课题：异分母分数加减法 .192 六、统计 .198 （一）教学目标 .198 （二）教材说明和教学建议 .198 （三）具体内容的说明和教学建议 .200 综合应用：打电话 .206 七、数学广角 .212 （一）教学目标 .212 （二）教材说明和教学建议 .212 （三）具体内容的说明和教学建议 .214 八、总复习 .219 （一）教学目标 .219 （二 ）教材说明 .219 （三）教学建议 .221 五年级下册说明 义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册说明 人民教育出版社小学数学室、课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心编写的义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册，是以全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称标准）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结现行九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上编写的。编者一方面努力体现新的教材观、教学观和学习观 ，同时注意所采用措施的可行性，使实验教材具有创新、实用、开放的特点。另一方面注意处理好继承与发展的关系，既注意反映数学教育改革的新理念，又注意保持我国数学教育的优良传统，使教材具有基础性、丰富性和发展性。 下面就这册教材中几个主要问题作一简要说明，以供教师参考。 一、教学内容和教学目标 这一册教材包括下面一些内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。 因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和 减法，统计等是本册教材的重点教学内容。 在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加法和减法。因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义， 2、 5、 3 的倍数的特征，质数和合数。教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加法、减法，结合约分教学最大公因数，结合通分教学最小公倍数。 在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。在已有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数 学活动，让学生获得探究学习的经历，认识图形的轴对称和旋转变换；探索并体会长方体和正方体的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握长方体、正方体的体积及表面积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步发展。 在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。在学习平均数和中位数的基础上，本册教材教学众数。平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的特征数。平均数作为一组数据的代表，比较稳定、可靠，但易受极端数据的影响；中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但不受极端 数据的影响；众数作为一组数据的代表，也不受极端数据的影响。当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数或中位数来表示这组数据的集中趋势。 在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加法和减法、长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了 “ 数学广角 ”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动向学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。 本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数 学综合应用活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。 这一册教材的教学目标是，使学生： 1. 理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练地进行约分和通分。 2. 掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及 2、 3、 5 的倍数的特征；会求 100 以内的两个数的最大公因数和最小公倍数。 3. 理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法 的计算方法，比较熟练地计算简单的分数加、减法，会解决有关分数加、减法的简单实际问题。 4. 知道体积和容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有关体积和容积单位的实际意义。 5. 结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，探索某些实物体积的测量方法。 6. 能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，以及将简单图形旋转 90 ；欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。 7. 通过丰富的实例，理解众数的意义，会求一组数据的众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题， 能选择适当的统计量表示数据的不同特征。 8. 认识复式折线统计图，能根据需要选择合适的统计图表示数据。 9. 经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 10. 体会解决问题策略的多样性及运用优化的数学思想方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。形成发现生活中的数学的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。 11. 体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 12. 养成认真作业、书写整洁的良好习惯。 二、教 材的编写特点 本册教材对于教学内容的编排和处理，是以整套实验教材的编写思想、编写原则等为指导，力求使教材的结构符合教育学、心理学的原理和学生的年龄特征，继续体现前几册实验教材中的风格与特点。本册教材仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、体现知识的形成过程、鼓励算法及解决问题的策略多样化、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等特点。同时，由于教学内容的不同，本册教材还具有下面几个明显的特点。 1. 改进因数与倍数教学的编排，体现数学教学改革的新理念，培养学生的数学素养。 在小学阶 段，有关因数与倍数的知识是传统的教学内容，以往人们认为，它既是小学生应该掌握的重要的基础知识，又是发展小学生逻辑思维的良好素材。同时，人们普遍认为，这部分内容概念集中，比较抽象，概念之间的联系紧密，学生理解起来比较困难。也由于以往对这部分内容的编排，联系实际的素材不多，学习这部分内容，既需要学生理解并记忆一些概念，又要求能够运用这些概念进行一定的推理、判断。所以，学习过程显得比较枯燥。因此，这部分内容向来是小学数学教学的难点内容。 本套教材对这部分内容的处理，主要的依据是标准的要求和所提倡的理念 。“ 在标准中这部分内容的要求有所降低，明确在 1 100 的自然数中认识有关的概念和性质，并且这部分内容不作为一个独立的领域出现，在教材的编排中可以将这部分内容分散到数的认识和计算中去。 ” （刘兼孙晓天主编全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读第 204 页，北京师范大学出版社 2002 年 5 月第 1版。） 本册教材的编排既注意体现标准中关于因数与倍数教学与教材编排的要求，同时注意体现近年来有关这部分内容教学改革的经验。首先，将以往教材 “ 因数与倍数 ” 的教学内容分散编排，安排在本册的两个单元里教学。第二 单元 “ 因数与倍数 ” 包括因数和倍数的意义， 2、 5、 3 的倍数的特征，质数和合数的含义等，重点是让学生了解和掌握这些重要的概念；在第四单元 “ 分数的意义和性质 ” 中，结合约分教学最大公因数的概念和求法，结合通分教学最小公倍数的概念和求法。其次，注意所涉及的数的范围在 1 100 的自然数内，避免题目中的数目过大。此外，在例题的安排、素材的选取、习题的设计等方面都采取了新的措施，使得上述两单元中相关内容的编排与以往的教材相比有下面几个特点： （ 1）精简教学内容，突出基本概念教学。 不再以整除概念为基础引出因数与倍数 ，而是在直观的基础上，通过乘法算式得出因数与倍数的概念。由于学生已经积累了丰富的区分整除与有余数除法的知识和经验，对整除的含义能够清晰的理解，不出现整除的定义不会对学生理解其他概念产生影响。因此，本套教材中不再出现 “ 整除 ” 的数学化定义，而是借助整除的模式 na b直接引出因数和倍数的概念。 “ 分解质因数 ”和 “ 用短除法分解质因数 ” 不作为正式教学内容。在以往的教材中， “ 分解质因数 ” 及“ 用短除法分解质因数 ” 是作为求最大公因数、最小公倍数的基础知识和技能安排的，因此， “ 分解质因数 ” 一直作为必学内容编排。而在本册教材中 ，由于允许学生采用多种方法求最大公因数和最小公倍数， “ 分解质因数 ” 失去了其基础知识的作用，因此不再作为正式教学内容，而只作为一个补充知识，安排在 “ 你知道吗？ ” 中介绍。 （ 2）增加了直观和联系实际。以往人们普遍认为，这部分内容的教学过于形式化，一系列的概念引出，似乎都与现实生活无关；从概念到概念，似乎都难以直观。而小学数学的大多数教学内容的引出都注意从实际引入，注重提供直观支柱。因此，本套教材对这部分内容的编排，尽量联系实际，内容的呈现、展开注意贴近学生的认知特点。例如， 2、 5、 3 的倍数的特征的教学， 例题和习题，都增加了联系学生生活实际的素材和插图；用铺地砖的问题情境引出最大公因数和最小公倍数的概念等。这样的处理便于揭示数学与现实世界的联系，有利于学生理解有关概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力。 （ 3）增加探索性和开放性。例如， “3 的倍数的特征 ” 的得出， “ 做 100 以内的质数表 ” ，找出最大公因数和最小公倍数的过程，等等，都体现了放手让学生探究，鼓励用多种方法解决问题，培养学生的探索意识和解决问题的能力。 （ 4）加强了拓展性和知识性。内容精简之后，出于拓展学生知识面的考虑，教材在 相关教学内容之后，利用 “ 你知道吗？ ”“ 生活中的数学 ” 等栏目，安排较多的拓展性知识作为阅读资料提供给学生。例如，介绍完全数（第 14 页）、互质数（第 83 页）的概念，奇数和偶数在日常生活中的应用，哥德巴赫猜想，以及怎样利用分解质因数的方法求两个数的最大公因数（第 81 页）等，以丰富学生的数论知识，激发继续探求的欲望，培养学生对学习数学、探索数学持久而稳定的兴趣。 综上所述可以看出，这样的编排使因数与倍数教学的教育价值得到扩充与提高。通过这样的教学，不仅可以使学生很好的掌握与数论相关的最基础的知识，体会数学学习的乐趣和实际价值，同时可使学生获得逻辑思维的训练，自主探索意识和能力的培养，从而逐步提高数学素养。 2. 改进认识分数的编排，注重沟通知识间的相互联系，加强学生对分数意义的理解。 从本学期开始，学生将要系统地学习分数的意义和性质、分数的四则运算。同整数、小数知识一样，分数知识也是小学数学教学的重要内容，是进一步学习数学和其他学科所必需的基础知识。分数的概念比较难理解，计算起来也比较复杂。为了便于学生理解和掌握分数，本套教材仍然采用了以往教材的编排体系，把分数划分为两个阶段教学。第一段安排在 三年级上册，借助操作直观，使学生对分数有初步的认识，虽然也出现了简单的分数大小比较和同分母分数加、减法，目的是为了帮助学生更好地理解分数的初步概念，给学生积累一些感性知识。在系统认识了小数和初步认识了分数的基础上，本册将引导学生由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生、分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分、分数与小数互化等技能，以及分数的加、减法计算。在具体安排上，本套教材一方面注意体现标准所提倡的教学理念，提供丰 富的学习素材，在学生已有知识和经验的基础上阐述新的内容，给学生创设自主探索的空间，同时，还注意采取下面几个方面的措施： （ 1）加强直观，加深学生对分数意义的理解。 在小学数学里，引进分数概念是小学生数概念的一次重要扩展。对于小学生而言，分数比较抽象，学生在实际生活中遇到分数也比较少，因此理解和掌握是比较困难的。教材的编排比以往更重视用直观的手段帮助学生体会、理解有关知识。例如， “ 分数的产生 ” 提供古人测量与孩子分物的两幅直观图，帮助学生感悟分数是怎样产生的，促进对分数意义的理解； “ 分数的意义 ” 则通过直观插图，从两个方面说明 1/4 的含义（可以表示一个物体的 1/4，也可以表示一些物体的 1/4），在此基础上给出分数单位的概念，揭示分数表示部分与整体的关系，加深学生对分数概念的理解。 （ 2）对部分教学内容作了适当的调整或精简。其一，分数大小比较与通分结合在一起教学。其二，将以往 “ 约数与倍数 ” 的部分内容与分数的相关知识结合起来教学。即：将公因数、最大公因数与约分编为一节，同样，将公倍数、最小公倍数与通分编为一节。这样的调整，分散了教学的难点，充分利用学生已有知识的迁移，降低了学习的难度，有利于学 生认识的螺旋上升。 （ 3）加强开放性，培养学生灵活的思维和解决问题的能力。例如，教学求两个数的最大公因数或最小公倍数，不再采用唯一的、固定的短除法分解质因数的方法，而是引导学生采用多种方法 “ 找 ” 最大公因数和最小公倍数。教学分数化成小数的方法，改进了过去只介绍单一的一般算法的做法，还介绍了把分母不是 10， 100， 1000， 的分数，利用分数的基本性质改写成分母是 10， 100， 1000， 的分数，再改写成小数的方法。这样的编排体现了算法多样化、尊重学生个性化的选择，培养学生善于从不同的角度思考和解决问题 的意识和能力。 （ 4）加强联系实际，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。如前所述，有关分数、整除的知识都比较抽象，本套教材特别注意联系实际，从解决实际问题的角度入手探讨新知识。例如，无论是公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的引入，还是约分、通分的给出，教材都创设了适当的现实问题情境，进而在解决实际问题中，抽象出数学概念，得出数学方法，揭示数学与现实世界的联系。这样编排既有利于学生理解公因数、最大公因数概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力，还有利于培养学生的数学应用意识和解决实际问 题的能力。 3. 提供丰富的空间与图形的教学内容，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。 小学阶段空间与图形教学的主要目标是发展学生的空间观念，与前几册一样，本册教材继续把促进学生空间观念的发展作为空间与图形内容编排的研究重点。在教学内容方面安排了 “ 图形的变换 ”“ 长方体和正方体 ” 两个单元。 “ 图形的变换 ” 的内容是在第一学段学习基础上的进一步扩展和提高。在以前的学习中，学生初步感知了生活中的对称、平移和旋转现象 ,初步认识了轴对称图形 ,能在方格纸上画简单的轴对称图形或画出一个简 单图形沿水平或垂直方向平移后的图形。本册在此基础上 ,让学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形和画出一个简单图形旋转 90 后的图形 ,发展空间观念。教材的编排，首先注意利用学生已有知识引导学生探索新知识。例如，探索图形成轴对称的特征和性质，先让学生复习轴对称图形和画对称轴，再让学生观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半 ,从而使学生在已有知识的基础上加深对轴对称图形特征的认识。其次，加强直观教学图形的特征。例如，图形的旋转的教学 ,让学生观察钟表表 针和风车旋转的过程 ,认识它们是怎样按照顺时针或逆时针方向旋转的，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质。第三，设计大量的活动，帮助学生理解图形的性质和变换，发展空间观念。不仅设计了画一画、剪一剪等操作活动，而且还设计了需要学生想像、猜测和推理进行的探究活动。例如，让学生判断某个图案分别是由哪种方法剪出来的，这就需要学生根据图案的特征，在头脑中对这个图案进行“ 折叠 ” 和 “ 剪开 ” ，从而使学生的空间想像力和思维能力得到锻炼的机会。 “ 长方体和正方体 ” 单元，则是学生系统认识立体图形特征的开始。从认识平面图 形扩展到认识立体图形，是学生发展空间观念的一次飞跃。长方体和正方体是最基本的立体图形。通过教学不仅可以使学生掌握有关立体图形方面的最基础的知识，而且可以使学生对自己周围的空间和空间中的物体形成初步的观念，为进一步学习与发展打下基础。在以往的教材中，这些部分内容的编排往往侧重于理解和掌握立体图形的特征和表面积、体积的计算方法，而对于促进学生空间观念的发展在学习素材和实践操作方面都显不够。本套教材在编排上突出的变化是，加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。例如 ，每种图形的特征，均采用让学生动手实验，自主探索得到；通过 “ 乌鸦喝水 ” 的故事，石头放在盛水的杯子里的实验等，以形象、生动的方式，为学生感知物体占有空间，理解体积概念提供丰富的感性经验。又如，长方体体积的计算方法，先让学生用方木块拼摆长方体，通过对摆法不同的长方体的相关数据的观察、分析和归纳，自己发现长方体的体积与它的长、宽、高之间的内在联系，再总结出长方体体积的计算公式。教材编排还加强了联系实际。例如，从现实生活素材抽象出长方体和正方体的几何图形；在介绍了容积概念后，还介绍了用排水法求不规则物体体积的方法； 在练习中适当增加了解决实际问题的题目（如第 32 页第 6、 7 题）；等等。这些新的变化使以往知识容量大且比较抽象的这一单元，为学生的学习和教师的教学，都提供了更为丰富的学习素材和开放的教学空间。 4. 加强统计知识的教学，发展学生的统计观念，逐步形成从数学的角度进行思考问题的思维习惯。 通过四年多的数学学习，在统计与概率方面，学生已经掌握了一定的知识，形成了一定的能力，积累了一定的经验。本册教材关于统计的教学主要有两部分，其一，教学新的统计知识 众数，了解众数的含义，学会找出数据的众数，在统计分 析中能根据实际情况选择适当的统计量来描述数据的特征；其二，教学复式折线统计图，使学生更好地理解统计知识在解决问题中的作用，形成良好的统计观念。 在教材的具体编排上，一是注意与先前学习过的统计知识的联系，帮助学生理解所学的新内容。例如，众数的含义是通过与平均数、中位数的对比得到的；复式折线统计图也是由单式折线统计图引出的。这样既有助于加深对前面所学统计知识的理解，也便于对新知识的领悟。二是注意提供丰富的现实生活素材，凸现统计知识和方法的价值。 本册教材所选素材涉及到体育、气象、消费等方面，扩大了学生处 理信息的范围，更好地体会统计知识和方法在实际生活中的作用，有利于发展学生的统计观念，形成从数学的角度思考问题的良好习惯。 5. 有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。 数学学习不仅可以使学生获得参与社会生活必不可少的知识和能力，而且还能有效地提高学生的逻辑推理能力，进而奠定发展更高素质的基础。因此，培养学生良好的数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一。本套教材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用 生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的兴趣与欲望，逐步发展数学思维能力。据此，在本册教材的 “ 数学广角 ”单元，安排了 “ 找次品 ” 的教学，旨在通过 “ 找次品 ” 渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。优化是一种重要的数学思想方法，运用之可有效地分析和解决问题。教材以 “ 找次品 ” 这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，再通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题 的能力。 用数学解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一，因此解决问题教学在数学教学中有着重要的作用。它既是发展学生数学思维的过程，又是培养学生应用意识、创新意识的重要途径。与前面几册教材一样，本册教材仍然注意将解决问题的教学融合于各部分内容的教学中，通过各部分内容的教学培养学生用数学解决问题的能力。同时在 “ 数学广角 ” 单元以及数学综合运用活动中，加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。本册教材设计了 “ 粉刷围墙 ” 和 “ 打电话 ” 两个数 学综合运用活动，让学生通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的数学知识和方法（如简单的优化思想方法、通过画图的方式发现事物隐含的规律等），动手实践、解决问题，体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高学生的实践能力和解决问题的能力。 6. 情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。 本次数学课程改革强调了对学生情感、态度和价值观的培养，全面提高学生的素质。小学高年级学生已经具有了一定的知识和生活经验，对自然与社会现象 有了一定的探求欲望，此时需要教育者进行有目的的启发与引导。在数学教学中，就是要通过数学学习活动，使学生形成丰富的情感、积极的态度和正确的价值观，这同样是学生学习、生存和发展的重要基础。本册教材不仅内容涉及数学教学内容的各个领域，为学生探索奇妙的数学世界提供了丰富素材，而且注意结合教学内容安排了许多体现数学文化的阅读材料、数学史实等，使学生的数学学习活动丰富多彩、充满魅力。这些都有助于学生初步认识数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值，激发学生学习数学的欲望。 （ 1）提供丰富的培养学习数学兴趣爱好的 素材。 考虑到学生年龄的增长、视野的扩大等因素，本套教材注意选择知识内容深刻、内涵更丰富的教学素材，使学生在学习数学的同时，受到情感、态度、价值观的熏陶。例如， “ 图形的变换 ” 单元 ,呈现了大量现实生活中利用对称、平移和旋转设计出的美丽的事物和图案；数学综合应用 “ 打电话 ” 、数学广角 “ 找次品 ” 等，都蕴涵了优化的思想方法，这些简洁、巧妙的解决问题策略体现的是数学方法。 “ 数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美 ” 。（ M. 克莱因）这些都有利于激发学生学习数学的兴趣，形成稳定的探索 数学的爱好。 （ 2）注意反映数学与人类生活的密切联系以及数学的文化价值。 与前几册教材一样，本册教材仍然注意采用阅读材料的形式，结合教学内容编排一些有关的数学史料，丰富学生对数学发展的整体认识，培养学生探索数学、学习数学的兴趣与欲望。如安排了 14 个 “ 你知道吗？ ”6 个 “ 生活中的数学 ” 。介绍了现实生活中数学知识的应用、数学家的故事等等。这些内容不仅可以使学生对数学本身产生浓厚的兴趣，激励他们扩大知识面和进一步探索研究的欲望，而且对学生的情感、态度、价值观的形成与发展也能起到潜移默化的作用。 （ 3）通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增进学好数学的信心。 结合学生的年龄特点和教学内容，本册教材设计了很多需要学生自主探索的活动。例如，教学质数与合数概念，教材设计了让学生自主探索 1 20 各数的因数个数有什么规律的活动，从而为理解质数与合数的概念获得丰富的感性经验；再如，找出 100以内的质数，让学生自主探索，体验找质数的一般方法 “ 筛法 ” 。长方体体积计算公式的推出，让学生小组合作探索出长方体中所含体积单位的数量与它的长、宽、高的关系，再总结出长方体体积的计算公式。求最大公因数和最 小公倍数的教学，教材展示了学生自主探索出多种方法，具有较强的自主性和开放性，等等。让学生有更多的机会应用数学知识，进行自主探索的实践，并通过这些活动获得自己成功、能力增强等良好体验，从而逐步增强学好数学、会用数学的信心。 三、教学中需要准备的教具和学具 在前面几册的教师教学用书中，已经介绍了许多教具和学具，其中的一些仍可继续使用。本册结合教学内容，介绍一些新教具和学具，供参考。 1. 长方体和正方体实物及模型 教师和学生收集一些长方体和正方体形的实物，如药盒、牙膏盒、火柴盒、化妆品盒、积木等。教科 书第 145、 147 页还印有长方体和正方体的展开图，可让学生剪下来贴在厚纸上，然后制成长方体和正方体。 2. 演示分数用的教具 教师可以自制演示分数用的教具，制作的方法是：用硬纸板做两个大小相同而颜色不同的圆，顺着一条半径分别剪开，将两个圆从剪开的地方互相交叉放在一起 ，并使它们重合（如下图）。教学时，教师转动一个圆，可以演示不同的分数。在圆周上，可以画出刻度，表示 1/2， 1/3， 1/4， 3. 其他教具 教师还可以根据各部分教学内容的需要自己准备或设计制作一些教具和学具。如教学体积时制备 1 m3、 1 dm3 模型，容纳 1 L、 100 ml 液体的量杯；教学因数与倍数时，可根据教科书上的图制成教具等。教师还可以根据需要自己制作其他适用的教具。 四、课时安排 根据义务教育阶段国家数学课程标准（征求意见稿）中的 “ 各学段课程内容参考教学时间一览表 ” ，实验教材的编者为 五年级下学期数学教学安排了 60 课时的教学内容。各部分教学内容教学课时大致安排如下，教师教学时可以根据本班具体情况适当灵活掌握。 一、图形的变换（ 4 课时） 二、因数与倍数（ 6 课时） 1 因数和倍数 2 课时左右 2 2、 5、 3 的倍数的特征 .3 课时左右 3 质数和合数 .1 课时左右 三、长方体和正方体（ 12 课时） 1 长方体和正方体的 认识 .2课时左右 2 长方体和正方体的表面积 .2课时左右 3 长方体和正方体的体积 .7课时左右 整理和复习 1 课时 粉刷围墙 1 课时 四、分数的意义和性质（ 20 课时） 1 分数的意义 .4 课时左右 2 真分数和假分数 .3 课时左右 3 分数的基本性质 .2 课时左右 4 约分 .4 课时左右 5 通分 .4 课时左右 6 分数与小数的互化 .2课时左右 整理和复习 1 课时 五、分数的加法和减法 （ 7 课时） 1 同分母分数加、减法 .2 课时左右 2 异分母分数加、减法 .3 课时左右 3 分数加减混合运算 .2课时左右 六、统计（ 3 课时） 打电话 .1 课时 七、数学广角（ 2 课时） 八、总复习（ 4 课时） 一、图形的变换 （一）教学目标 1. 使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 2. 进一步认识图形的旋转 ,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90 。 3. 初步学会运 用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案 ,进一步增强空间观念。 4. 让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造出的美 ,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。 （二）教材说明和教学建议 教材说明 学生在二年级已经初步感知了生活中的对称、平移和旋转现象 ,初步认识了轴对称图形 ,能在方格纸上画简单的轴对称图形 ,也能在方格纸上画出一个简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形。在此基础上 ,本单元让学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形和画 出一个简单图形旋转 90 后的图形 ,发展空间观念。结合本单元的学习 , 还安排了数学游戏 “ 设计镶嵌图案 ” 。 本单元教材在编排上有以下几个特点。 1. 重视学生已有的知识基础，探索两个图形成轴对称的特征和性质。 在二年级学生已经认识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个轴对称图形的对称轴和它的另一半 ,这里是进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。本单元教材先设计了画对称轴，观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形 的另一半的活动 ,加深对轴对称图形特征的认识，从而让学生在已有的知识基础上探索新知识。 2. 注重联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。 本单元联系具体情境 ,让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程 ,分别认识这些实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质 ,再让学生学会在方格纸上把简单图形旋转 90 。 3. 通过大量的活动，帮助学生理解图形的对称和旋转变换，增强空间观念。 本单元不仅设计了看一看、画一画、剪一剪等操作活动，而且注意设计需要 学生进行想像、猜测和推理进行探究的活动，培养学生的空间想像力和思维能力。例如，让学生判断几个图案分别是由哪种方法剪出来的。这就要求学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行 “ 折叠 ” ，并将最后的结果与下面的剪法对应起来。而且还让学生思考 “ 还有什么剪法 ” ，从而使学生的空间想像力和思维能力得到充分的锻炼。 教学建议 1. 注意让学生真正地、充分地进行活动和探究。 由于本单元知识是在学生已有的关于对称和旋转的知识基础上，并结合学生熟悉的生活情境进行安排的，学生完全可以通过观察、想像、分析和推理 等过程，独立探究出来。因此，教师要切实组织好学生的课堂活动，为学生创造进行探究的时间和空间。不要让教师的演示或少数学生的活动和回答代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和独立思考。这样学生的空间想像力和思维能力才能得以锻炼，空间观念才能得到发展。 2. 本单元内容可以用 4 课时进行教学。 （三）具体内容的说明和教学建议 （第 2 11页） 1. 主题图。 教科书第 2 页，呈现了现实生活中利用对称、平移和旋转设计出的许多美丽的事物和图案，引出本单元内容的学习。目的是从现实生活的事物引入，让学生在欣赏图形变换所创造出的美好事物的过程中 ,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。 教学时，教师可以先让学生观察，说一说这些图形有什么特征。学生可能会根据图形的变换把这些图形分成几类，教师可从此处引出本单元内容的学习。 到本单元内容学习结束后， 还可以再让学生观察这幅主题图，用所学的图形变换的知识对这些图形的设计进行分析，体会所学知识的作用和价值。 2. 例 1 上面的内容及例 1。 教材通过例 1 上面的内容，让学生画对称轴的活动，帮助学生复习已有的关于轴对称图形的知识，在此基础上教学例 1。在 “ 例 1” 中，首先 通过看一看、数一数的活动，使学生由观察 “ 松树 ” 这个轴对称图形，进一步观察两个 “ 小草 ” 图形成轴对称 ,从而引出两个图形成轴对称的概念，并引导学生从整体上概括出轴对称的特征。接下来，再引导学生观察轴对称图形（松树）及成轴对称的两个图形（小草）的对应点与对称轴之间有什么关系，使学生探索、发现图形成轴对称的性质，并为例 2 教学 “ 在方格纸上画出一个图形的轴对称图形 ” 做准备。 教学时，可以分三步进行。 （ 1）复习旧知。 让学生独立画出例 1 上面图形的对称轴，帮助学生回忆轴对称图形的知识，以便在此基础上 教学例 1。 （ 2）进一步认识图形的轴对称。 先让学生观察图中的 “ 松树 ” 和 “ 小草 ” 图案有什么特征。根据已有的知识，学生很容易判断出 “ 松树 ” 图案是轴对称图形，图中的虚线是它的对称轴（教师也可以先不出示这条虚线，让学生画出它的对称轴。）进一步学生会发现，如果沿虚线折叠，两个 “ 小草 ” 图案，也将完全重合。这时教师可以适时的引出两个图形成轴对称的概念，并引导学生从整体上概括出轴对称的特征。 （ 3）探索图形成轴对称的基本性质。可以引导学生分别观察 “ 小树 ” 这个轴对称图形和成轴对称的两个 “ 小草 ” 图案的 各对应点（ A 与 A 、 B 与 B 、 C 与 C ）与对称轴之间有什么关系，使学生探索、发现图形成轴对称的基本性质。 这一部分内容教学需要特殊注意的是，我们不要求学生说出准确的数学语言，只要学生能用自己的语言描述出他发现的特征和性质就可以了。 例如，两个图形成轴对称的数学概念是 “ 如果平面到其自身的一一变换的每对对应点 A、 A ，都垂直于同一直线 l,且被直线 l 平分，则这种变换叫做关于直线 l 的轴对称。直线 l 叫做对称轴，对应点 A 和 A 叫做关于轴 l 的对称点，在直线反射下的对应图形叫做关于轴 l 的对称图形 。 ” （马忠林，几何学，吉林人民出版社， 1984年 4 月第 1 版。）在初中数学中，概括成 “ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线对称 ，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称点 。 ” （义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册，人民教育出版社， 2004 年 12 月第 1 版。）在小学阶段，我们不要求学生说得这么准确，只要学生能用自己的语言把 “ 折叠 ”“ 重合 ” 这些基本特征概括出来就可以。 再如，图形成轴对称的基本性质，在初中数学中概括成 “ 如果两个图形关于 某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ” （义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册，人民教育出版社， 2004 年 12 月第 1 版。）我们不要求学生概括出这样的结论，只要学生能像书上的学生那样直观描述就可以了，使学生知道 “ 对应点到对称轴的距离相等 ” 。 3. 例 2 及 “ 做一做 ” 。 （ 1）例 2。 教材通过让学生画小房子的另一半的活动，借助学生已经掌握的关于轴对称的知识，使学生在能够画出轴对称图形另一半（屋顶、房体及大门）的基础上，进一步能在方格纸上画出一个图形（窗户）的轴对称图形。教材中的小精灵提问 “ 怎样画得又好又快？ ” 就是提示学生在动手之前，先思考好画的步骤和方法。 教学时，完全可以放手让学生独立完成。如果学生有困难，教师可以提示学生只要找到左边图形的几个关键点的对称点，再连线就可以了；可以利用已经掌握的图形成轴对称的特征 和性质方面的知识来找到关键点的对称点。 （ 2）做一做。 教材让学生判断把一张纸连续对折三次，画上一个图形，剪出的是什么图案。学生根据书上的折法，在头脑中将彩纸展开，对这个图形先做一次轴对称变换，再对得到的图形做一次轴对称变换，得出最后的结果。在这个活动中，要让学生进行空间想像，进一步体会轴对称变换的特点。如果学生想像对折四次后剪出的图案有困难，教师可以让学生按书上的方法实际折一折、剪一剪，帮助学生进行想像。 4. 例 3 及相应的 “ 做一做 ” 。 （ 1）教材先通过让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程 ,分别认识这些实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转 90 ，明确旋转的含义。再通过小精灵提问 “ 风车旋转后，每个三角形有什么变化？ ” 引导学生从图形到线段再到点的角度，来观察、探索图形旋转的特征和性质，并为例 4 教学 “ 在方格纸上把一个图形按顺时针或逆时针方向旋转 90” 做准备。 教学时，可以分两步进行。 明确旋转的含义。 由于学生已经对生活中的旋转现象有所认识，可以先让学生观察钟表的指针，独立思考如何描述出 “ 指针从 12 到 1 是怎样旋转的 ” 。然后再通过交流，使学生弄清顺时针旋转和逆时针旋转的含义，明确要想表述清楚指针的旋转，一定要说清“ 指针是绕哪个点旋转 ”“ 是向什么方向旋转 ”“ 转动了多少度 ” 这几点。 探索图形旋转的特征和性质。 可以先让学生说一说，在风的吹动下，风车是如何旋转的。学生利用刚刚掌握的旋转的含义，可以说清楚风车发 生了怎样的变换。 再让学生思考小精灵提出的问题 “ 风车旋转后，每个三角形有什么变化 ” ，探索图形旋转的特征和性质。学生会发现风车上的每个三角形都绕 O点逆时针旋转了 90 ；旋转后的三角形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。教师还可以引导学生进一步观察，学生可能会发现每个三角形的边都绕 O 点逆时针旋转了 90 ；每个顶点都绕O 点逆时针旋转了 90 ；对应点到 O 点的距离都相等；对应点与 O 点所连线段的夹角都是 90 等。必要时，可借助学具操作帮助学生理解。 这一部分内容的教学与例 1 类似，不要求学生用准确的 数学语言进行总结和概括。例如，旋转的概念是 “ 如果平面到其自身的一一变换，使任意一对对应点 A 、 A与平面上一个定点 O 距离相等， AOA 等于指定的有向角 ，而 O 和自身对应，则这样的变换叫做 关于点 O 的旋转 。定点 O 叫做 旋转中心 ，定角 叫做 旋转角 ，相同的指定方向叫做 旋转方向 。 ” （马忠林，几何学，吉林人民出版社， 1984年 4 月第 1 版。）在初中数学中概括成 “ 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做 旋转 。点O 叫做 旋转中心 ，转动的角叫做 旋转角 ，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ，那么这两个点叫做这个 旋转的对 应点 。 ” （义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册，人民教育出版社。）在小学阶段，我们不要求学生这样说，只要学生能概括出 “ 绕一个点旋转 ”“ 向什么方向旋转 ”“ 转动多少度 ” 这几点就可以了。像 “ 旋转中心 ”“ 旋转角 ” 这些名词也不必要求学生掌握。 （ 2）第 6 页 “ 做一做 ” 第 1 题。 教材呈现了几个图案，让学生判断分别是由哪一个图形旋转而成的。在判断的过程中，要让学生说清 “ 是哪个图形绕哪个点旋转 ”“ 是向什么方向旋转 ” 。并让学生感受数学的美，进一步理解图形旋转的性质，体会旋转变换的特点。 5. 例 4 及相应 的 “ 做一做 ” 。 （ 1）例 4。 教材通过让学生画一画的活动，借助学生已经掌握的图形旋转的知识，使学生学会在方格纸上把一个图形按顺时针或逆时针方向旋转 90 。 教学时，可以让学生小组合作完成。如果学生有困难，教师可以提示学生只要找到三角形 AOB 的几个顶点的 对应点，再连线就可以了；在确定对应点的位置的时候，可以利用已经掌握的图形旋转的特征和性质方面的知识。如 “ 对应点与 O 点所连线段的夹角都是90 ；对应点到 O 点的距离都相等 ” 等，再借助方格纸、三角板等，来确定顶点的对应点的位置。无论学生用哪种方法，只要能按要求画出旋转后的图形，都是可以的。必要时，可借助学具操作帮助学生理解。 （ 2）第 6 页 “ 做一做 ” 第 2 题。 教材给出一个基本图形和旋转中心 O，让学生利用旋转设计一朵小花。这时，学生已经掌握了在方格纸上把一个图形旋转 90 的方法，虽然题中没有给出旋转的 角度和方向，学生完全可以根据所设计图案的需要自行确定。 教学时，可以放手让学生设计，再进行交流。在设计图案的过程中，要让学生在动手实践中，进一步理解旋转的特点和性质，体会旋转所创造的美。 6. 欣赏设计。 教材先让学生观察从主题中抽取出来的两幅 美丽图案 ,感受图形变换创造的美 ,体会平移、旋转在图案设计中的应用。接着让学生应用对称、平移或旋转的方法设计图案并进行交流 ,使学生进一步感受数学美和数学方法的价值。 这是一个实践与综合应用数学知识与方法的活动，教学时可以分两步完成。 （ 1）指导学生在欣赏美丽的图案的同时 ,分析对称、平移或旋转在其中的应用 ,从而加深对图形变换的基本特征和方法的理解 ,为接下来的自主设计做准备。 （ 2）通过前面的学习，学生已经掌握了在方格纸上将图形平移、对称和旋转的方法。此时，教师应鼓励独立完成设计图案的任 务，再在全班展示交流。学生可能分别运用平移、对称和旋转变换设计图案；也可能综合运用不同方法设计图案。教师不必作统一要求，同时注意对学生的设计要多给予肯定和赞赏。 7. 有关练习一中一些习题的说明和教学建议。 第 1 题，让学生利用轴对称设计美丽的图案。这时，学生已经掌握了画一个简单图形的轴对称图形。 作简单图形的轴对称图形的方法，可以放手让学生设计，再进行交流。在设计图案的过程中，要让学生在动手实践中进一步理解图形成轴对称的性质，体会轴对称变换的特点。 第 2 题，教科书呈现了几个剪 好的图案，让学生判断分别是由哪种方法剪出来的，进一步培养学生的空间想像力和思维能力。 学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行 “ 折叠 ”“ 重合 ” ，再将最后的结果与下面的剪法对应起来，而且还让学生思考 “ 还有什么剪法 ” 。这个活动比 “ 判断两个图形是不是成轴对称 ” 所要求的想像、猜测和推理等思维活动更多，在这个活动中学生的空间想像力和思维能力能够得以锻炼，空间观念会得到发展。 如果学生有困难，教师可以调整题目的设计，反过来，让学生根据剪法，选择剪出的结果。学生根据每一种剪法，在头脑中将彩纸展开， 对 “ 半棵小芽 ” 这个图案连续做轴对称变换，得出结果，再与上面剪出的图案对照。如果学生还有困难，教师可以让学生按书上的方法实际折一折、剪一剪，再帮助学生进行想像。 第 3 题，是让学生综合运用所学的有关对称、平移和旋转变换的知识进行判断。注意让学生感受数学的美，体会图形变换在现实生活中的应用。 第 4 题，可仿照第 6 页 “ 做一做 ” 第 2题进行教学。 第 5 题，可仿照第 4 页的 “ 做一做 ” 和第 2题进行教学。 第 6 题，让学生通过实验发现另一类图形 “ 旋转对称图形 ” 的特点。这些图形绕它们的中心旋转一定的角 度，还与原来图形重合。这里不必让学生了解 “ 旋转对称图形 ” 这个概念，只要学生能用自己的语言描述出图形的这一特征就可以了。在教学时，可以先让学生画出每个图形的两条对称轴，确定中心 O，再让学生想像这个图形在旋转过程中会出现什么现象，发现这些 “ 旋转对称图形 ” 的特点。如果学生有困难，教师可以通过操作帮助学生直观的看到这些现象。可以事先为学生准备一张底卡（印有这些图形的硬纸卡）和这些图形卡片，让学生画或折出两条对称轴后确定这些图形的中心 O，再用大头针穿过图形卡片和底卡上相应图形的中心 O，再进行旋转。 8. 数学 游戏：设计镶嵌图案。 四年级学生初步了解了图形的密铺（镶嵌）现象，本单元在此基础上，通过数学游戏拓展镶嵌图形的范围，让学生用图形变换设计镶嵌图案，进一步感受图形变换带来的美感以及在生活中的应用。 本活动可放手让学生独立设计，再进行交流。分析交流丰富多彩的镶嵌图案时，不管运用了什么变换，其本质都是把可镶嵌的基本几何图形进行分割后再经过图形变换拼组而成的镶嵌图形。 教师小结时对科学性问题要纠正，同时以表扬为主。 二、因数与倍数 （一）教学目标 1. 使学生 掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。 2. 使学生通过自主探索，掌握 2、 5、 3 的倍数的特征。 3. 逐步培养学生的数学抽象能力。 （二）教材说明和教学建议 教材说明 通过四年多的数学学习，学生已经掌握了大量的整数知识（包括整数的认识、整数四则运算），本单元让学生在前面所学的整数知识基础上，进一步探索整数的性质。本单元涉及到的因数、倍数、质数、合数以及第四单元中的最大公因数、最小公倍数都属于初等数论的基本内容。数论是一个历史悠久的数学分支，它是研究整数的性质的一门学问，以严 格、简洁、抽象著称。数学一直被认为是 “ 科学的皇后 ” ，而数论则更被誉为 “ 数学的皇后 ” ，可见数论在数学中的地位。本单元的知识作为数论知识的初步，一直是小学数学教材中的重要内容。通过这部分内容的学习，可以使学生获得一些有关整数的知识，另一方面，有助于发展他们的抽象思维。 在数论中，数的整除性理论又是最为基本的理论，本单元的所有概念都是建立在数的整除性的基础之上。对于任意整数 a、 b，都存在整数 n、 r，使 b na r（其中r a），当 r 0 时，我们就说 b 能被 a 整除（或 a 能整除 b），此时， b na。其他的一些概 念，如因数、倍数等，都是以此为基础的。 在以往的数学教材中，也一直把 “ 数的整除 ” 概念编排在这一单元的起始位置，再把因数（以往的教材中称为约数），倍数， 2、 5、 3 的倍数的特征（以往的教材称为能被 2、 5、 3 整除的数的特征），质数，合数，分解质因数，最大公因数（以往的教材中称为最大公约数），最小公倍数等内容共同编排在后面，合为一个单元。这样编排，虽然突显了以上这些概念的紧密逻辑关系，但也形成了同一单元内概念多而集中、抽象程度过高的现象，学生在学习时经常出现概念混淆、理解困难的问题。因此，与以往教材相比，本 套实验教材在编写时，对这部分内容进行了以下几方面的调整。 1. 我们在本单元研究的都是整除现象，因此，可以说整除概念是贯穿这部分教材的一条主线。但 “ 整除 ” 这一词汇是否必须出现呢？让学生大量叙述 “ 能被 整除 ”“ 能整除 ” 是否必要？签于学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。因此，本套教材中删去了 “ 整除 ” 的数学化定义，而是借助整除的模式 na b 直接引出因数和倍数的概念。 2. 在以往的 教材中，由于求最大公因数、最小公倍数时，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解质因数的方法。因此，作为求最大公因数、最小公倍数的必要基础， “ 分解质因数 ” 一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数，分解质因数也失去了其不可或缺的作用，同时，也是为了减少这一单元的理论概念，教材不再把它作为正式教学内容，而是作为一个补充知识，安排在 “ 你知道吗？ ” 中进行介绍。 3. 公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数概念的建立是以因数、倍数的概念为基础的，也是为后面 学习约分（需要尽快找出分子、分母的公因数）、通分（需要尽快找出两个分数分母的公倍数）做准备的，在整个知识链中起着承上启下的作用。这两个内容可以集中编排在本单元，也可以分散编排在约分、通分的前面。考虑到本单元概念较多，抽象程度高，本套教材把这两部分内容分散编排在第四单元，也更加突出了它们的应用性。 教学建议 1. 由于这部分内容较为抽象，很难结合生活实例或具体情境来进行教学，学生理解起来有一定的难度。在过去的教学中，一些教师往往忽视概念的本质，而是让学生死记硬背相关概念或结论，学生无法理清各概念间的前 后承接关系，达不到融会贯通的程度。再加上有些教师在考核时使用一些偏题、难题，导致学生在学习这部分知识时觉得枯燥乏味，体会不到初等数论的抽象性、严密性和逻辑性，感受不到数学的魅力。为了克服以上教学中出现的问题，应注意以下两点。 （ 1）加强对概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，避免死记硬背。本单元中因数和倍数是最基本的两个概念，理解了因数和倍数的含义，对于一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然也就掌握了，对于后面的公因数、公倍数等概念的理解也是水到渠成。要引导学生用联系的观 点去掌握这些知识，而不是机械地记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。 （ 2）由于本单元知识特有的抽象性，教学时要注意培养学生的抽象思维能力。虽然我们强调从生活的角度引出数学知识，但数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，如质数、合数等概念，很难从生活实际中引入。而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步发展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的，如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力，等等。 2. 这部分内容可以用 6 课时进行教学。 （三）各小节的教材说明和教学建议 1. 因数和倍数 （第 12 16页） 教材说明 这部分教材首先介绍了因数和倍数的概念，然后在例 1 和例 2 分别介绍了求一个数的因数和倍数的方法。 1. 因数和倍数。 编写意图 本单元在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如ba n 表示 b 能被 a 整除， bn a 表示 b 能被 n 整除。在此基础上再引出因数和倍数的概念。实际上，如前所述，由于乘除法本身就存在着互逆关系，用乘法算式（如 b na）同样可以表示整除的含义。因此，本套教材中没有用数学化的语言给 “ 整除 ” 下定义，而是利用一个简单的实物图（ 2 行飞机，每行 6 架）引出一个乘法算式 26 12，通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。这样，学 生不必通过 122 6 得出 12能被 2 整除，进而 2 是 12 的因数， 12 是 2 的倍数。再通过 126 2 得出 12 能被 6 整除，进而 6 是 12 的因数， 12 是 6 的倍数，大大简化了叙述和记忆的过程。在这儿，用一个乘法算式 26 12 可以同时说明 “2 和 6 都是 12 的因数， 12 是 2 的倍数，也是 6的倍数。 ” 接着，通过 34 12，进一步巩固因数和倍数的概念。在学生熟练掌握了因数和倍数的概念以后，教材让学生试着找出 12 的其他因数，引导学生写出两个数的积等于 12 的另一个乘法算式 112 12，从而得出 1 和 12 也是 12 的因数。 最后，教材对整数 0 进行特殊说明，以明确本单元中数的研究范围。因为数论只研究整数的性质，所以，本单元中涉及到的数都是整数。由于学生还没有学习负整数，因此，本单元的整数与自然数同义。根据因数和倍数的定义， 0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的因数。但是考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排除 0，很多问题无从讨论，如讨论 0 和 5 的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义，再如，如果把 0 考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是 0，这样的研究没有任何价值。因此，教材指出本单元研究的内容一般不 包括 0，这样就避免了一些不必要的麻烦。 教学建议 教学因数和倍数概念时，可以结合教材上的直观图（ 2 行飞机，每行 6 架）引导学生列出乘法算式 26=12 或 62=12 ，再根据所列的乘法算式直接给出因数和倍数的概念。接下来，再结合直观图（ 3 行飞机，每行 4 架）进一步巩固因数和倍数的概念。最后，让学生脱离情境图，想一想 12 还有哪些因数，引导学生列出乘法算式 112=12或 121=12 ，概括出 “1 和 12 都是 12 的因数， 12 是 1 和它本身的倍数 ” 。在此基础上，教师可以引导学生利用一般的乘法算式 ab=c 归纳出因数 和倍数的概念： a、 b 都是 c的因数， c 是 a 和 b 的倍数。 教学时，应注意以下四点：（ 1）虽然本套教材不是从过去的整除定义（形式上是除法算式）出发，而是通过一个乘法算式来引出因数和倍数概念，但在本质上仍是以“ 整除 ” 为基础，只是略去了许多中间描述。因此，要注意，只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。教学时，教师也可以举出一些反例加以说明，如 50.8 4，虽然等式成立，但不能说 5 和 0.8 是 4 的因数，或 4 是5 和 0.8 的倍数。（ 2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。 a是 b 的因数，反过来 b 就是 a 的倍数，因此，描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数），要引导学生使用比较规范的语言，如 “2 是 12 的因数， 12 是 2 的倍数 ” 而不是“2 是因数， 12 是倍数 ” ，在课堂上或练习中学生如果出现类似的错误要及时加以纠正。（ 3）要注意区分乘法算式各部分名称中的 “ 因数 ” 和本单元中的 “ 因数 ” 的联系和区别。在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于 “ 积 ” 而言的，与 “ 乘数 ” 同义，可以是小数，而后者是相对于 “ 倍数 ” 而言的，与以前所说的 “ 约数 ”同义，说 “ 是 的因数 ” 时，两者都只 能是整数。（ 4）要注意区分 “ 倍数 ” 与前面学过的 “ 倍 ” 的联系与区别。 “ 倍 ” 的概念比 “ 倍数 ” 要广，如我们可以说 “15 是 3 的5 倍 ” ，也可以说 “1.5 是 0.3 的 5 倍 ” ，但我们只能说 “15 是 3 的倍数 ” ，却不能说“1.5 是 0.3 的倍数 ” 。我们在求一个数的倍数时，运用的方法与 “ 求一个数的几倍是多少 ” 是相同的，只是这里的 “ 几倍 ” 都是指整数倍。 2. 例 1。 编写意图 例 1 是教学一个数的因数的求法。教材直接提出问题 “18 可以由哪两个数相乘得到？ ” 引导学生利用因数的概念来求 18 的因数。在这里，每列出一个乘法算式，就可以求出 18 的一对因数，只要学生有序地写出两个数的乘积是 18 的所有乘法算式，就可以把因数找全。在此基础上，再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集形式表示两个数的公因数打下基础，使学生初步体会到一个数的因数的个数是有限的。 接下来，通过 “ 做一做 ” 进一步巩固求 一个数的因数的方法。 最后，以例 1 和 “ 做一做 ” 为基础，引导学生抽象地概括出一个数的最小因数和最大因数分别是什么，总结出一个数的因数的个数是有限的结论，向学生渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳的思想方法。 教学建议 教学例 1 时，要引导学生从因数的概念出发去求 18 的因数，也就是想：哪两个整数相乘的积是 18？从每个满足条件的乘法算式中可以找出 18 的一对因数。找的时候，要引导学生有序地思考。教学时，如果学生用除法思考，固定被除数 18，改变除数，看除得的商是不是整数，如果是，则除数和商都是被除数 的因数，这样的思考方法也是应该鼓励的。等学生把 18 的所有因数都写出来，再让他们用集合的形式表示出来，为后面求两个数的公因数做准备。 然后，让学生做 “ 做一做 ” 的题目。通过例 1 和 “ 做一做 ” 的练习，引导学生观察到每个数的最小因数是 1，而最大因数是它本身，因此，它的因数的个数是有限的。 3. 例 2。 编写意图 例 2 是教学一个数的倍数的求法。根据一个数的倍数的定义，可知该数和任意非零自然数之积都是该数的倍数。因此， 2 的倍数也就是 2 和任意非零自然数的乘积，学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此， 2 的倍数的个数是无限的。接下来，也用集合图表示出 2 的倍数，为后面学习用交集表示两个数的公倍数打下基础。 “ 做一做 ” 中分别安排了让学生求 3、 5 的倍数的练习，一方面巩固了对倍数概念的理解，另一方面，结合例 2 中 2 的倍数，为后面学习 2、 3、 5 的倍数的特征做准备。 最后，与例 1 的编排相类似，教材通过求以上几个数的倍数，使学生总结出：一个数的倍数的个数是无限的，只有最小的倍数，没有最大的倍数，为后面学习最小公倍数打下基础。 教材还用 “ 你知道吗？ ” 介绍了完全数的概念，以丰富学生的数论知识，引导学生在课余时间探索完全数的性质，也可以先求出教材上提供的几个数的因数，然后验证是否符合完全数的定义。 教学建议 教学例 2 时，可以参照例 1 的方法进行教学。在找一个数的倍数时，要引导学生从 “ 这个数的整数倍 ” 考虑，因此，可以从最小的倍数找起。学生找出了几个 2 的倍数 以后，教师可以提问 2 的倍数有多少个，引导学生通过想自然数的个数是无限的，进而想到 2 的自然数倍也是无限的，无法一一罗列，可以用省略号表示。在用集合图表示2 的倍数时，也要注意提醒学生在集合圈里写出省略号。然后在完成 “ 做一做 ” 的基础上，引导学生观察并思考：一个数的最小倍数是几？有没有最大的倍数？引导学生自主得出结论。 4. 关于练习二中一些习题的说明和教学建议。 第 2 题，让学生分别找出 36 和 60 的因数，在学生完成题目后，教师可以有意识地让学生观察一下有哪些数是这两个数共同的因数，这些共同因数中最大 的是什么，为后面学习 “ 公因数 ” 和 “ 最大公因数 ” 做准备。 第 3 题，让学生分别找出 8 和 9 的倍数，在学生完成题目后，教师可以有意识地让学生观察一下有哪些数是这两个数共同的倍数，这些共同倍数中最小的是什么，为后面学习 “ 公倍数 ”“ 最小公倍数 ”“ 互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积 ” 等知识做准备。 第 5 题，帮助学生辨析某些概念。如说因数和倍数时，必须说清楚谁是谁的因数（或倍数）。再如，任何一个非零自然数的倍数的个数都是无限的，任何非零自然数都有因数 1，等等。 第 6 题，通过猜数游戏巩固因数和倍数的 概念，第（ 1）题，使学生认识到，随着限制条件的增多，符合条件的数越来越少。实际上，题目中共有四个限制条件，先看42 的因数有 1、 2、 3、 6、 7、 14、 21、 42，其中只有 7、 14、 21、 42是 7 的倍数，这四个数中只有 14 和 42 是 2 的倍数，其中只有 42 才是 3 的倍数，所以，符合条件的数只有 42。第（ 2）、（ 3）题，都使学生进一步理解一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 第 16 页的思考题，是通过两个特殊的例子，引导学生通过不完全归纳，总结出以下的结论：如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数 的倍数。还可以引导学生用数学化的方式对这个结论加以证明：如果 B是 A 的倍数，那么必然存在一个整数 m，使 B Am，如果 C 也是 A 的倍数，那么必然存在一个整数 n，使 C An，那么 B C Am An A（ m n），因此， B C 也是 A 的倍数。这个结论还可以进一步扩展：如果有 n 个数都是一个数的倍数，那么这 n 个数的和也是这个数的倍数。 2. 2、 5、 3 的倍数的特征 （第 17 22页） 这部分内容是在因数、倍数的基础上进行教学的，是求最大公因数、最小公倍数的重要基础，从而也是学习约分和通分的必要前提。学生的分数运算是 否熟练，取决于约分和通分掌握得是否熟练，而约分和通分是否熟练，在很大程度上取决于能不能很快地根据分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因数，能不能很快地求出几个分数的分母的公倍数。因此，熟练掌握 2、 5、 3 的倍数的特征，具有十分重要的意义。 教材先教学 2、 5 的倍数的特征，再教学 3 的倍数的特征。因为 2、 5 的倍数的特征仅仅体现在个位上的数，比较明显，容易理解。而 3 的倍数的特征，不能只从个位上的数来判定，必须把其各位上的数相加，看所得的和是否为 3 的倍数来判定，学生理解起来有一定的困难，因此把它放在 2、 5 的倍 数的特征后面教学。 1. 2 的倍数的特征。 编写意图 教材从学生已有的生活经验和知识基础出发，通过电影院里 “ 双号 ” 的概念，使学生利用因数和倍数的概念，判断出这些 “ 双数 ” 都是 2 的倍数。然后引导学生观察这些座位号的个位上的数的特点，进而概括出 2 的倍数的特征。 在学生总结了 2 的倍数的特征的基础上，教材又介绍了偶数和奇数的概念。 教学建议 教学时，可以先让学生观察情境图，并联想在生活中哪儿还见过双数、单数，如街道或胡同一边的门牌号是双数，另一边是单数。接下来，让学生思考：为什么这些数称为双数？它们和 2 有什么联系？（学生在生活中已经具备了 “ 双 ” 即为 “2 个 ” 的经验。）引导学生列出它们与 2 的倍数关系，说明这些数都是 2 的倍数。也可以让学生联系前面学过的 2 的倍数的求法，说出若干个 2 的倍数。在此基础上，引导学生通过观察，发现这些数的个位上都是 0、 2、 4、 6、 8，从而 形成猜想：所有 2 的倍数的个位上都是 0、 2、 4、 6、 8。因此，判断一个数是不是 2 的倍数，只要看这个数的个位上是什么数就可以了。接下来，可以让学生举出一些数（包括比较大的数，如 1045、 8394）进行验证。由于 2 的倍数的个数是无限的，无法一一验证，在这儿，只要学生通过观察有限个 2 的倍数的特征，总结出所有 2 的倍数的特征就可以了，不要求严格的数学证明（见参考资料）。 接下来，介绍偶数和奇数的概念。我们在这个单元中一般不考虑 0，在这儿需要作一个特殊说明，因为 0 也是 2 的倍数，因此 0 也是偶数。学生掌握了偶数和奇数 的定义后，教师可以给出一些数，让学生判断它们是奇数还是偶数，也可以让学生再举出一些偶数和奇数。在此基础上，可以引导学生将 2 的倍数的特征表示为 “ 个位上是偶数的都是 2 的倍数 ” 。 2. 5 的倍数的特征。 编写意图 编排方式与 2 的倍数的特征相似，也是通过实际情境引入， 让学生在观察 5 的倍数的个位上的数的特点基础上概括出 5 的倍数的特征。 教学建议 教学时，可以参照 2 的倍数的特征的教法进行。完成 “ 做一做 ” 的题目时，可以使学生初步感受公倍数的概念，并引导学生总结出：如果一个数既是 2 的倍数又是 5的倍数，那它必定是 10 的倍数，也就是末尾有 0 的数（ 0 除外）。 3. 3 的倍数的特征。 编写意图 更加突出学生的自主探索，使学生在观察 猜想 推翻猜想 再观察 再猜想 验证的过程中，概括出 3 的倍数的特征。教材上通过逐步增加提示的方式，减缓学生在概括时的思考难度。 教学建议 教学时，要引导学生经历观察、猜测、验证的完整过程。由于学生在概括 2 和 5的倍数的特征时，只注意到了个位数，因此，学生在概括 3 的倍数时，也会很自然地寻找个位上的数的特征。但通过观察，发现这些数的个位上的数有的是 3 的倍数，有的不是，于是产生认知冲突。接下来， 经过进一步提示，引导学生观察各位上数的和，发现各位上数的和是 3 的倍数。于是，形成新的猜想：一个数如果是 3 的倍数，那么它各位上数的和也是 3 的倍数。为了验证这一猜想，可以补充一些其他的数，如 493 147，1663 498 等，使学生进一步确认这一结论的正确性。还可以任意写一个数，利用这一结论来验证，如 3697， 3 6 9 7 25， 25 不是 3 的倍数，而 36973 也不能得到整数商，因此，它不是 3 的倍数。通过这样的方式也使学生认识到：找出某个规律后，还要找出一些正面的、反面的例子进行检验，看是不是普遍适用。 为了使学生更好地掌握 3 的倍数的特征，进行课堂练习时，还可以把一些数各个数位上的数经过不同的排列，再让学生判断，以加深对 “ 各位上数的和是 3 的倍数 ”的理解。如完成 “ 做一做 ” 第 1 题时，学生判断完 45 是 3 的倍数后，教师可以再让学生判断一下 54 是不是 3 的倍数。 完成 “ 做一做 ” 第 2 题时，要引导学生有序地思考问题。第 18 页的 “ 做一做 ”已经有所铺垫，学生已经知道只有末尾是 0 的数才能同时是 2和 5 的倍数，而此题中所求的数又是一个三位数，所以，就要从几百几十中找这样的数，这样，每增加一个条件，符合条件的数的范围就 缩小一些，通过层层 “ 筛选 ” ，求出符合条件的数是 120。 利用 2、 5、 3 的倍数的特征来判断一个数是不是 2、 5或 3 的倍数，其方法是比较容易掌握的，但要形成较好的数感，达到熟练判断的程度，也不是一、两节课所能解决的，还需要进行较多的练习进行巩固。 4. 关于练习三中一些习题的说明和教学建议。 第 2 题，是让学生寻找生活中的奇数和偶数，应鼓励学生尽量多地发现身边的数学信息，如住几号楼，公共汽车是几路的，全村有几户人家，全班有多少人，等等。有了这些数据后，还可以在后面的练习中进一步判断它们是不是 2、 5、 3 的倍数。 第 5 题，是一个解决实际问题的题目。由于妈妈买的是一些马蹄莲和郁金香，马蹄莲 10 元 1 枝，所以它的总价是 10 的倍数，也就是整十数，而郁金香是 5 元 1 枝，所以它的总价是 5 的倍数，个位上是 0 或 5，两者合起来的总价一定是几十元或几十五元，因此，服务员找的钱数不对。 第 7 题是开放题，要运用 3 的倍数的特征来解决。如想 “7 是 3 的倍数 ” ，就要想 “ 7 是 3 的倍数 ” ， 中符合条件的数有 2、 5、 8。 第 8 题也是开放题，要找出一个偶数，同时又是 3 的倍数，可以先确定该数的个位上的数，再根据 3 的倍数的特征来确定其他位的数。而要找一个奇数，同时又是 5的倍数，也是先确定个位上的数必须是 5，其他数位上可以取任意数。 第 10 题，可以先把从 4 张卡片里取 3 张所能组成的所有三位数列出来： 430、403、 340、 304， 450、 405、 540、 504， 350、 305、 530、 503， 435、 453、 345、 354、534、 543。罗列的时候，要引导学生采用有序的思考方式，保证不重复、不遗漏。然后再分别看这些数属于下面的哪一类。也可以先根据下面各类数的特点确定范围，如这些数字能组成的偶数，个位数只能是 0和 4，那么相应的数就有 430、 340、 350、 530、 450、540， 304、 504、 354、 534。再如，由于这 4 张卡片中的 3 个数相加之和是 3 的倍数的情况有 4 5 0 9， 4+3+5=12，因此能组成的 3 的倍数有 450、 405、 540、 504； 345、354、 435、 453、 534、 543。教学时，还可以把本题进一步拓展，如让学生思考用这 4张卡片能组成的 3 的倍数中，一位数有哪些，两位数、四位数呢？ 第 11*题，是让学生进一步探索偶数和奇数的性质。练习时，可以让学生结合具体的数来理解。 3. 质数和 合数 （第 23 26页） 在数论中，有关质数和合数的理论一直吸引着数学家们不断探索。例如，我们已经知道质数的个数是无限的，但人们仍在不断地寻找更大的质数， 1996 年 9 月初美国的科学家找到了一个新的最大质数（ 21257787-1）。再比如， 1742 年，德国数学家哥德巴赫提出了著名的 “ 哥德巴赫猜想 ” ：任何大于 2 的偶数，都可以写成两个质数之和，这一数学王冠上的明珠至今仍吸引着无数人孜孜以求。因此，在质数和合数的世界里充满了神奇的数学魅力。 在小学阶段，只是让学生在因数、倍数的基础上初步掌握质数、合 数的概念，为后面学习求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分打下基础。在本单元，要求学生能用自己的方法找出 100 以内的质数，并熟练判断 20 以内的数哪个是质数，哪个是合数。 1. 质数和合数。 编写意图 教材首先让学生找出 1 20 各数的全部因数，然后按照每个数的因 数的个数进行分类。在此基础上给出质数、合数的概念。同时说明 1 既不是质数，也不是合数，以加深学生对某些特殊数的认识。 教学建议 教学时，可以先复习因数的概念，然后再让学生找出 1 20 各数的所有因数，并引导学生观察这些数的因数有什么不同，可以怎样分类。学生通过自主探索，会自觉地把这些数分成三类：只有因数 1 的；只有 1 和它本身这两个因数的；除了 1 和本身之外还有其他因数的。在分类的基础上，再引出质数、合数的概念，说明只有 1 和它本身两个因数的数叫质数，有两个以上因数的数叫合数， 1 既不是质数，也不是合数。学生掌握 了质数和合数的概念以后，教师可以出示几个数，让学生判断是质数还是合数，也可以由学生自己分别写出几个质数和几个合数。 2. 例 1。 编写意图 本例让学生运用质数的概念找出 100 以内的所有质数。学生通过此例可以学会找质数的一般方法 “ 筛法 ” ，即划掉每个质数的所有倍数（它本身除外），剩下的都是质数。由于小学用到的质数比较少，所以教材中只要求学生找出 100 以内的质数。这些质数不必要求学生都背熟，但是熟悉 20 以内的质数还是有必要的。 分解质因数的内容虽然不作为正式教学内容，但作为一种重要的方法技能，教材 还是把它安排在 “ 你知道吗？ ” 中进行介绍，供学生阅读参考。 教学建议 教学时，尽量采取让学生自己完成任务的教学方式。学生在找 100 以内的质数时，所用的方法可能是多样化的。例如，有的学生是先找每个数分别有几个因数，然后再根据质数和合数的意义进行判断。还有的学生采用的是 “ 排除法 ” ，因为质数只有因数 1 和它本身，所以，每个质数后面该质数的所有倍数都是合数，如 2 是质数，但是 2的倍数（ 2 本身除外）如 4， 6， 8， 10， 都是合数， 3 是质数，它的倍数（ 3 本身除外）如 6， 9， 12， 15， 也都是合数。因此，只要把所有质 数后面的倍数都划去，剩下的就都是质数了。划完后，还可以让学生体会一下划到几的倍数就可以了。由于自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的。本例中只要求学生列出 100 以内的质数表，这是因为较大的质数不常用。但 20 以内的质数用得较多，最好应提醒学生逐步记住。 到本节教材为止，已经出现了因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数等概念，有些概念学生容易混淆，如学生往往把质数和奇数、合数和偶数混同起来，因此教学时应注意让学生辨析这些概念。例如，可让学生按照不同的标准对自然数进行分类，按是不是 2 的倍数可以把整数分成偶数 和奇数两类，按约数的多少把非零自然数分成质数、合数和 1 三类。也可以结合学生自行整理的质数表，让学生观察和思考：是不是所有的质数都是奇数？引导学生举出反例，如 2 是质数，但它不是奇数；也不是所有的奇数都是质数，如 9、 35 都是奇数，但都不是质数；也不是所有的偶数都是合数，如偶数 2 就不是合数。 3. 关于练习四中一些习题的说明和教学建议。 第 1 题，主要是让学生对一些概念进一步加以区别。判断时，要引导学生说明理由或举出反例。如第（ 3）小题，使学生进一步记住 1 既不是质数，也不是合数。第（ 4）小题，因为偶数 2 是质 数，它和其他质数的和都是奇数，因此，题中的说法不正确。 第 3 题，让学生根据条件求数，要求学生对 20 以内的质数比较熟悉。如第 1 小题，可以先通过 “ 两个数的积是 21” 知道这两个数是 21 的一对因数，这样的因数只有3 和 7或 1和 21，而前者正好满足 3 7=10 且都是质数。再如第 2 小题，满足 “ 两个质数之和是 20” 的有两对质数： 3 和 17、 7 和 13，而后者又同时满足 713=91 。 第 4 题，是带着练习 2、 5、 3 的倍数的特征。 第 5 题，是用游戏的形式引出 “ 哥德巴赫猜想 ” ，使学生通过举例的方式看到：大于 2 的偶数，可以表示为两个质数之和。但举例只能举出有限个，是不是所有大于 2的偶数都满足这一结论呢？从而引起学生继续探求的兴趣，也很自然地引出下面的阅读材料。 因数与倍数参考资料 1 2、 5、 3的倍数的特征 1. 2 或 5 的倍数的特征：一个数的个位上的数是 2 或 5 的倍数，这个数就是 2 或 5 的倍数。 假设有一个数 anan-1a 1a0，那么， anan-1a 1a1=an10 n+an-110 n-1+a 110+a n =（ an10 n-1+an-110 n-2+a 1） 10+a 0 因此，可以把这个数看成是两个数的和，第一个加数（ an10 n-1+an-110 n-2+a 1） 10 必定是 2 或 5 的倍数，所以只需看个位上的数 a0 是不是 2或 5的倍数就可以了。 例如， 4567 410 3 510 2 610 7 （ 410 2 510 6） 10 7 因为 7 不是 2 或 5 的倍数，因此， 4567 也不是 2 或 5 的倍数。 2. 3 或 9 的倍数的特征：一个数各位上的数之和是 3 或 9 的倍数，这个数就是 3 或 9 的倍数。 因此，可以把这个数看成是两个数的和，第一个加数 必定是 3 或 9 的倍数，所以只需看第二个加数（ an+an-1+a 1+a0）是否是 3 或 9 的倍数就可以了。 例如， 8325 81000 3100 210 5 8 （ 1000-1） 3 （ 100-1） 2 （ 10-1） （ 8 3 2 5） （ 8999 399 29 ）（ 8 3 2 5） （ 8111 311 21 ） 9 （ 8 3 2 5） 因为（ 8111 311 21 ） 9 必定是 3 或 9 的倍数，所以只需看（ 8 3 2 5）是否是 3 或 9 的倍数就可以了。 2. 质数表 判定一个数是不是质数，要根据质数的定义。一个较大的数，要 判定它是不是质数，往往要进行复杂计算，有时计算量是很大的。因此，人们把已经判定的一定范围的质数，编制成表（如 1000 以内质数表、 4000 以内质数表等），以备查用。质数表通常是用筛法制成的。 3. 筛法 筛法，是求不超过自然数 n（ n1）的所有质数的一种方法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼（ Eratosthenes，约公元前 274前 194 年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。 具体做法是：先把 n 个自然数按次序排列起来。 1 不是质数，也不是合数，要划去。第二个数 2 是质数，留下来，而把 2 后面所有 2 的倍数都划去。 2 后面第一 个没划去的数是 3，把3 留下，再把 3 后面所有 3 的倍数都划去。 3 后面第一个没划去的数是 5，把 5 留下，再把5 后面所有 5 的倍数都划去。这样一直做下去，就会把不超过 n 的全部合数都筛掉，留下的就是不超过 n 的全部质数。因为希腊人是把数写在涂蜡的板上，每划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做 “ 埃拉托斯特尼筛 ” ，简称 “ 筛法 ” 。（另一种解释是当时的数写在纸草上，每划去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛子。） 例如，用筛法找出不超 过 30 的一切质数： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 因此，不超过 30 的质数有： 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共 10 个。 三、长方体和正方体 （一）教学目标 1. 通过观察和操作，认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图。 2. 通过实例，了解体积（包括容积 ）的意义及度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），会进行单位之间的换算，感受 1 m3、 1 dm3、 1 cm3以及 1 L、 1 ml 的实际意义。 3. 结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题。 4. 探索某些实物体积的测量方法。 （二）教材说明和教学建议 教材说明 1. 本单位的内容及地位和作用。 学生在第一学段已经初步认识了一些简单的立体图形，已经能够识别出长方体、正方体、圆柱和球，本单元在此基础上系统教 学长方体和正方体的有关知识。长方体和正方体是最基本的立体图形。通过学习长方体和正方体，可以使学生对自己周围的空间和空间中的物体形成初步的空间观念，是进一步学习其他立体几何图形的基础。另外，长方体和正方体体积的计算，也是学生形成体积的概念、掌握体积的计量单位和计算各种几何形体体积的基础。 本单元分三小节编排：长方体和正方体的认识，长方体和正方体的表面积，长方体和正方体的体积。在长方体和正方体的体积一节中，还介绍了容积的概念。同时，按照标准的要求，新增加了探索某些实物体积的测量方法。具体内容安排如下 ： 2. 本单元教材的编排特点。 （ 1）注意联系生活实际。 本单元非常重视与实际生活的联系，主要体现在以下几方面。（ 1）图形和概念的认识，结合学生所熟悉的事物进行。如长方体、正方体特征的认识，安排了让学生说出纸巾盒、数学课本、粉笔盒等的形状、长 、宽、高等练习。（ 2）注意用所学的知识解决实际问题。本单元在各部分知识的学习中，都注意学以致用。如在长方体、正方体认识时，安排了计算俱乐部四周要安多长的彩灯线等练习；在学习表面积时，安排了大量的根据具体情况计算物体表面积的内容。（ 3）选取具有鲜明时代特征的素材。如计算拼插奥运墙所用积木的体积，为 “ 神舟五号 ” 载人航天飞船返回舱的容积选取合适的容积单位等。即巩固了所学数学知识，又激发了学生的民族自豪感。 （ 2）更加重视对概念的理解。 体积对学生来说是一个新概念，物体占有一定的空间对学生来说理解有 一定的困难。为此，教材先通过学生熟悉的 “ 乌鸦喝水 ” 的故事，以形象、生动的方式，让学生初步感知物体占有空间。然后通过把石头放入有水的玻璃杯里的实验，让学生进一步体验物体确实占有空间，为引出体积概念做充分的感知准备。在学习容积时，计算不规则物体的体积，让学生利用已建立的体积概念想到可以用排水法求得不规则物体的体积，加深对体积概念的认识。 （ 3）加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。 本单元一些概念和计算方法都是通过学生动手操作、自主探索来学习的。如，体积单位，就是通过让学生回顾旧知、 迁移类推引出来的。教材通过比较两个不容易看出大小的长方体的体积，让学生由比较物体的长度有统一的长度单位，比较物体的面积有统一的面积单位，想到比较物体的体积应有统一的体积单位，由此引出体积单位。又如，长方体体积的计算方法，先让学生用 1 cm3 的正方体拼摆出不同的长方体，通过对这些长方体的相关数据的观察、分析和归纳，自己发现长方体的体积与它的长、宽、高之间的内在关系，从而总结出长方体体积的计算公式。 （ 4）对一些内容进行了调整。 这部分教材根据以往教学实践的情况，对一些内容进行了调整。如长方体、 正方体的引出，直接从实物中抽象出相应的图形，不再从与平面图形的对比中引出。再如，由于体积和表面积等概念注意从各方面来进行认识，所以体积和表面积不再安排例题