高中数学教学中运用合情推理模式的探索.pdf

山东师范大学 硕士学位论文 高中数学教学中运用合情推理模式的探索 姓名 李伟红 申请学位级别 硕士 专业 学科教学 数学 指导教师 傅海伦 20070408 山东师范大学硕士学位论文 中文摘要 在数学教学改革与新课程改革的背景下 如何培养学生的创新能力受到广泛 的关注 关于培养数学创新能力方面的论文层出不穷 我自己的看法是 要把培 养数学创新能力落到实处 必须以合情推理能力为培养为目标 数学高度抽象性的特点 决定了人们真正理解数学就必须经历知识的发生发 展的过程 即知识的再创造的过程 数学是思维的自由创造物 决定了数学科学 体系的开放性 为每个学生施展其才华提供了广阔的知识空间 数学是一种悟性 的自由创造物和想象物 决定了数学有着较深刻的探究性 是培养创造性思维的 优良载体 所以不论从数学理解的角度还是发展思维的角度 都要重视合情推理 能力的培养 以学生已有知识水平为起点 以合情推理方法为手段 将数学教学 视做师生共同研究 探索的过程 使学生了解数学发现的过程与方法 从而学会 思考 学会学习 归纳 类比 特殊化是数学合情推理中的几种基本方法 在数学中表现在 以下几个方面 1 在一般知识的指导下 选择特殊情况 在特殊情况的分析中 留心一般思路 特别要努力抓住能把我们引向一般的特殊情况系列 观察许多数 学竞赛优胜者解题的过程 丌始总是从简单入手试来试去 画来画去 这实际是 在寻找规律 进行猜测 2 由于新问题与老问题总有某种相似之处 未知的东 西与已知的东西总有相联系的 因此我们处理问题的一条重要途径 就是通过一 定的转化过程 把待处理的问题 归结为已解决或较易解决的问题 或这类问题 的某种组合 这就是化归方法 化归的基本点 就在于发现它们之间的类似 在 于抓住新老问题问真J 下的 规律性的联系 这就需要进行类比 数学教育应全面反映数学的两个侧面 在教学中 不仅要注意逻辑的严谨 知识的系统 计算的准确 更要注重问题是怎样提出来的 概念是如何形成的 定理公式是怎样探索和猜想到的 解决问题的思路是怎样形成的 这就是说 要 理解数学内容的来龙去脉 学会对问题分析 处理的策略和方法 要有意识地发 展创新 使学生经历由观察到猜想 由具体到抽象 由个别到一般 由直观到逻 辑 由猜想到论证的发生 发展和应用的完整思维过程 这样可以有效地发展学 生的思维能力 数学发现中的合情推理在多部书中均有详细论述 但如何在数学教学中培养 山东师范大学硕士学位论文 学生合情推理的能力呢 本文着重对此进行了论述 意在将数学发现中的合情推 理应用于数学教学 促进学生创新能力与创新意识的发展 本文首先介绍了合情推理中归纳 类比 联想等方法的含义及在数学教学中 的应用 在此基础上 就如何在数学教学中培养学生合情推理能力的实践 分三 个方面 数学概念教学 数学定理 公式的教学 数学解题教学 加以论述 将 自己的教学实践与相关的理论 数学思维论 数学方法论 波利亚启发式教学 相结合 形成了适合自己的数学教学思路 有助于将数学课讲活 讲懂 讲深 所谓 讲活 指教师通过自己的教学活动向学生展现 活生生的 数学研究工 作 而不是死的数学知识 所谓 讲懂 则是指教师应当帮助学生真正理解有 关的数学内容 而不是囫囵吞枣 死记硬背 所谓 讲深 是指教师在数学教 学中不仅应使学生掌握具体的数学知识 而且应帮助学生领会内在的思维方法 经过一段教学实验后 这种教学方式受到学生的普遍欢迎 反映这样的数学教学 不生硬 能较好的激发学生的学习兴趣 促进数学理解与独立解题能力的提高 此外 研究性学习的开展成为培养学生合情推理的舞台 使其突破课堂的局限 更具开放性与普遍性 关键词 合情推理 归纳 类比 数学概念教学 数学解题教学 分类号 G 6 3 3 6 山东师范大学硕士学位论文 A b s t r a c t U n d e rt h ec o n d i t i o no fm a t h st e a c h i n gr e f o r m a t i o na n dn e ws u b j e c t r e f o m a a t i o n i th a sb e e nw i d e l yp a i da t t e n t i o nt oh o wt of o s t e rs t u d e n t s c r e a t i v ea b i l i t yi nm a t h sa r en u m e r o u s M yo p i n i o ni s F o s t e r i n gc r e a t i v e c a p a c i t yi n m a t h ss h o u l db ep u ti n t op r a t i c e a n dm u s tb ea i m e da t r e a s o n a b l ei n f e r e n c ec a p a c i t y T h ec h a r a c t e ro fh i g ha b s t r a c t i o ni nm a t h sd e t e r m i n et h a ti no r d e rt o m a s t e rm a t h st r u l y h u m a nb e i n g sm u s te x p e r i e n c et h e p r o c e s s o f o c c u r r e n c ea n dd e v e l o p m e n to fk n o w l e d g e t h a ti st os a yt h ep r o c e s so f r e c r e a t i o ni nk n o w l e d g e M a t h si st h ef r e ec r e a t i o ni nt h o u g h t s a n di t d e t e r m i n e st h eo p e nq u a l i t yo ft h em a t h ss y s t e m a n di tp r o v i d e se v e r y s t u d e n tw h oi s w i l l i n gt og i v e f u l l p l a yt o h i st a l e n tw i mt h ew i d e s p a c e M a t h si sak i n do fc r e a t i v ea n di m a g i n a b l et h i n gi nu n d e r s t a n d i n g a n di td e t e r m i n e si t s p r o f o u n dp r o b e a n di t i st h eo p t i m u mm e t h o di n f o s t e r i n gc r e a t i v et h o u g h t s T h e r e f o r e i nt h e s i g h t o fe i g h t e rm a t h s u n d e r s t a n d i n go rd e v e l o p i n gt h o u g h t s i ts h o u l dp a i dm u c ha t t e n t i o nt o r e a s o n a b l ei n f e r e n c ec a p a c i t y A c c o r d i n gt ot h es t u d e n t s k n o w l e d g e s t a n d a r d u s i n gr e a s o n a b l e i n f e r e n c em e t h o da sm e d i u m w es h o u l d r e g a r dm a t h st e a c h i n g a st h e p r o c e s s b e t w e e nt e a c h e rs a n d s t u d e n t s W es h o u l dl e ts t u d e n t sl e a r na b o u tt h ep r o c e s sa n dm e t h o d si n m a t h so c c u r r e n c e a n dl e a r nh o wt ot h i n ka n dh o wt Os t u d yw e l l I n d u c e a n a l o g s p e c i a l t y a r et h eb a s i cm e t h o d si nr e a s o n a b l e r e f e r e n c e T h e ya r ed i s p l a yl i k et h e s e 1 I nt h ed i r e c t i o no fo r d i n a r y k n o w l e d g e p i c k i n gu ps p e c i a lc i r c u m s t a n c e s i nt h e a n a l y s i s o f s p e c i a lc a s e s c a r i n gf o rt h eg e n e r a lt r a i n i n go ft h o u g h t e s p e c i a l l y s e i z i n gu pt h es p e c i a ls e r i e sw h i c hc o u l dl e a dU Si n t og e n e r a l i z a t i o n O b s e r v i n gm a n yw i n n e r si nm a t h sc o m p e t i t i o ns o l v i n gp r o b l e m s W e c o u l ds e et h e mf i n dt h ew a yi ns i m p l i c i t y t h e nt r ya n dt r y p r a c t i s ea n d p r a c t i c e T h a ti st of i n dr e g u l a t i o n sa n dc o n d u c ts u r m i s e 2 B e c a u s e 山东师范大学硕士学位论文 t h e r ea r es i m i l a r i t i e sb e t w e e nn e wp r o b l e m sa n do l dp r o b l e m sa n d r e l a t i o n sb e t w e e nu n k n o w nt h i n g sa n dk n o w nt h i n g s w es i g n i f i c a n t s o l u t i o nt od e a lw i t hp r o b l e m si st ot r a n s f o r mt h e m T h ep r o b l e m s w a i t i n gt o b es o l v e do ra r ee a s yt os o l v e o rs o m ec o m b i n a t i o na b o u t t h e s ep r o b l e m s t h a ti st h et r a n s f o r m a t i o n T h ep o i n to ft r a n s f o r m i n gi s t of m dt h es i m i l a r i t i e sb e t w e e nt h e m i st os e i z et h er e a la n dr e g u l a r r e l a t i o nb e t w e e nn e wa n do l dp r o b l e m s T h a ti sn e e dt ob ea n a l o g i z e d R e a s o n a b l er e f e r e ei nm a t h e sd i s c o v e r yh a sb e e nd e t a i l e di nm a n y b o o k s b u th o wt of o s t e rs t u d e n t s 7r e a s o n a b l er e f e r e n c ec a p a c i t yi n m a t h st e a c h i n g T h i st h e s i sd i s c o u r s eo nt h e s ei nd e t a i l s a n di tm e a n s t o a p p l yr e a s o n a b l e r e f e r e n c et om a t h st e a c h i n g m o t i v a t i n gt h e d e v e l o p m e n to fs t u d e n t s c r e a t i o nc a p a c i t y a n dc o n s c i o u s n e s s T h i s t h e s i sf i r s t l yi n t r o d u c et h em e a n i n go fi n d u c e a n a l o g a s s o c i a t i o ni n r e a s o n a b l er e f e r e n c ea n dt h e i ra p p l i c a t i o n B a s e do nt h i s c o n c e r n i n g h o wt of o s t e rs t u d e n t s r e a s o n a b l er e f e r e n c e Id i s c u s s e dm y o p i n i o ni n t h r e ea s p e c t s M a t h sC o n c e p tT e a c h i n g M a t h sT h e o r e mF o r m u l a T e a c h i n g M a t h ss o l u t i o nT e a c h i n g Ic o m b i n em yo w nt e a c h i n g p r a c t i c ew i t ht h et h e o r y t h et h e o r yo fm a t h st h o u g h t s t h et h e o r yo f m a t h sm e t h o d s p o l ya S e n l i g h t e n i n gt e a c h i n g t of o r mt h et e a c h i n g t h o u g h t ss u i t a b l ef o rm y s e l f A f t e rap e r i o do f t e a c h i n gt e s t s t h i ss t y l eo f t e a c h i n gi sp o p u l a rw i t hs t u d e n t s T h e yr e f l e c tt h i sw a yo f t e a c h i n gi s n t r o u g ha n di tc a nm o t i v a t et h e i ri n t e r e s t si ns t u d y i n g a n di tc a l lp r o m o t e t h e c a p a c i t y o fm a t h s u n d e r s t a n d i n g a n d s o l v i n gq u e s t i o n s s e p a r a t e l y M o r e o v e r t h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c h i n gs t u d yh a sb e e n t h es t a g eo ff o s t e r i n gs t u d e n t s r e a s o n a b l er e f e r e n c e a n di th a sl e t t h e mb r e a c kt h el i m i t a t i o ni n c l a s s e s p o s s e s s i n go p e n n e s s a n d u n i v e r s a l i t y K e yw o r d s R e a s o n a b l er e f e r e e n d u c e a n a l o g M a t h sC o n c e p t T e a c h i n g M a t h sT h e o r e mF o r m u l aT e a c h i n g C a t e g o r yn u m b e r G 6 3 3 6 I V 独创声明 本人声明所呈交的学位沦文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得 注 如没有其他需要特刺声 明的 本栏可空 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料 与我一同工作的同志列 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 孝传钆 锄箨侔红 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留 使用学位论文的舰定 有权f 染管蚓 向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权 堂 蔓可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印 或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权 砖 学位论文作者签名 孝伟饥 翩嫁付f 参c o 签字闩期 2 0 01 年牛月f f 同 签字同期 2 0 0 7 年 脚 山东师范大学硕士学位论文 1 问题的提出 一 问题提出的背景 我曾经设法从爪印的大小描画出这个动物的形象 这是它站着不动 时的四个爪印 你看 从前爪到后爪的距离 至少有十五英寸 再加上头和颈 部的长度 你就可以得出这动物至少长二英尺 如果有尾巴 那也可能还要长 些 不过现在再来看看另外的尺寸 这个动物曾经走动过 我们量出了它走一 步的距离 每一步只有三英寸左右 你就可以知道 这东西身体很长 腿很短 这东西虽没留下什么毛来 但它的大致形状 一定和我说的一样 它能爬上窗 帘 它是一种食肉动物 你是怎么推断出来的呢 因为窗户上挂着一只金丝雀笼子 它爬到窗帘上 似乎是要攫取那只鸟 以上是侦探小说 福尔摩斯探案集 中 描写推理的一个片断 然而现在 这段文字却是以引言的身份出现在普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 1 2 选修2 2 中 在这两本教材的第二章 推理与证明的第一节 合情推理中 教材的 编写者结合生活中的实例和数学实例 比较详细地阐述了合情推理的概念 形 成及深化 常见类型 归纳 类比 猜想 和一般模式 在这一节的三维教学目标中 教材的编写者是这样定位的 知识与技能 结合已学过的数学实例和生活中的实例 了解合情推理的含 义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 体会并认识合情推理在数学发现中 的作用 过程与方法 通过探索 研究 归纳 总结形成本节的知识结构 让学生 认识到数学不仅仅是演绎的科学 又是归纳的科学数学结论和数学证明的发现 主要是靠合情推理 情感态度与价值观 注重推理与其他学科以及实际生活的联系 体会推理 的意义及重要性 从而迸一步体会合情推理有助于培养学生进行归纳的严谨作 风 从而形成实事求是 力戒浮夸的思维习惯 选修1 2 选修2 2 是高中文科 理科学生的必选教材 标志着合情推理作 为高中学生必须掌握的一种推理方法正式走进教科书 山东师范大学硕 仁学位论文 二 新课程改革的需要 创新是一个民族进步的灵魂 是国家兴旺发达的不竭动力 学生的创新能 力的培养是素质教育中的一个重要内容 如何在数学教育中培养学生的创新能 力和创新意识 是摆在每位数学教育者面前的重要课题 传统的数学教学注重 演绎推理 教师进行 像帽子里突然跑出一只兔子 式的讲解 学生进行 程 序输入 式解题训练 这些极大的妨碍了学生思维能力的培养 对于学生来 讲 传统的数学教学往往意味着知识的被动接受以及大量的解题 不理解前人 探索和发现数学的过程 因而不利于创造性思维的培养 前苏联著名教育家苏 霍姆林斯基说 在人的心灵深处 都有一种根深蒂固的需要 这就是希望感 到自己是一个发现者 研究者 探索者 而在青少年的精神世界中 这种需要 特别强烈 根据中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定的要求 转变教育观念 改革人才培养模式 积极进行启发式和讨论式教学 激发学 生独立思考和创新的意识 切实提高教学质量 要让学生感受 理解知识产生 和发展的过程 培养学生的科学精神和创新思维习惯 重视培养学生收集处理 信息的能力 获耿新知识的能力 分析和解决问题等的能力 数学教育家波利亚认为贯穿在任何科学发现过程中的思维过程主要是合 情推理 并且广泛应用于社会生活中 从而不应将数学单纯理解为一门工具学 科 而将它作为一种文化形态 以提高人们的文化素养 那么 即使是学了的 数学知识终生都用不上 并且全都忘记了 但是 使学生学会发明 发现的合 情推理的方法却使他们终身受益 中学数学课程标准 新 明确规定 数学思维能力包括 会用归纳 演 绎和类比进行推理 这种推理就是合情推理 数学教育家波利亚一再强调 只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话 那么 就应当让合 情推理占有适当的位置 于是 新一轮课改加大了对数学发现的合情推理的 力度 使得归纳 类比 猜想等合情推理方法堂堂正正进入课本 作为 个 信号 比如数阵问题 数列与二项式定理的交汇点 欧拉定理的发现等考察 合情推理的题目开始在近几年的高考题中崭露头角 但是 小荷才露尖尖 角 作为高中数学思想方法中比较前沿的一种推理方法 还有待完备 2 山东师范大学硕士学位论文 以下本文从一位一线数学教师的实践出发 与合情推理的理论相结合 在高 中数学教学中 试图引导学生从数学的角度去认识世界 运用归纳 类比等合情 推理的方法让学生亲身经历和体验 数学发现 的全过程 从而提高学生的数学 理解能力和数学解题能力 获碍做研究 做数学的美妙感受 更重要的是培养学 生的独立探索意识和创新意识 2 合情推理模式在数学教学中的必要 性和适用性分析 一 是由数学的特点决定的 数学有两个侧面 一方面 已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学 另一方面 在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学 在传统的数 学教学中 教师的注意力往往过于集中于严谨论证 以培养学生的严谨逻推理能 力 而忽视学生合情推理能力的培养 事实上 在数学发展的过程中 合情推理 扮演着非常重要的角色 从客观上讲 数学思维本是生动活泼的发现创造 其中 包括想象 类比 联想 归纳 直觉 领悟等方面 这才是数学发展的源泉 波 利亚指出 通过研究解题方法 我们可以看到数学的第二个侧面 也就是看到 处 于发现过程中的数学 因此 波利亚把 解题 作为培养学生数学才能和教会 他们思考的一种手段和途径 这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同 1 9 7 6 年数学管理者委员会把解题能力列为l O 项基本技能的首位 美国数学教师联合会 理事会把解题提到了 8 0 年代学校数学的核心 这一高度 数学是一门实验性的归纳科学 而学生所接触到的数学是在教科书中以结果 的形式呈现出来的 由于数学高度抽象 形式化的特点 决定了学生学习数学的 过程中 对每个概念 法则 公式 定理 从开始接触到透彻理解 从正确掌握 到熟练运用 决不可能会是 一听就懂 一学就会 的 团囵吞枣 必将引起 消化不良 的后果 数学能力更要在数学知识与技能的教学中潜移默化的形成 为此 要真正理解数学 掌握数学 进而领悟数学的精神与思想方法 必须要经 历一个 再创造 的过程 由学生自己把要学的东西去发现出来 教师的任务是 在教学中营造一个学习情境 引导学生主动参与到认识事物的实践过程中去 通 过对问题的分析 综合 归纳 类比 抽象 概括等思维活动自行的抽象出数学 结论 解题思路和方法 使学生学习到真实的活生生的数学 体会数学所带给人 3 山东师范大学硕士学位论文 们的美的感受 二 是由教育的任务决定的 在当今经济信息时代 教育的任务不再是单纯地培养知识型人才 而更需要 培养智能型人才 数学教学过程不再着力于知识的灌输 而在于引导学生进行探 索 发现问题 解决问题 体验数学发展的过程 充分发挥合情推理的数学教育 价值 全日制义务教育 数学课程标准 实验稿 中指出 学生的数学学习内容 应当是现实的 有意义的 富有挑战的 这些内客要有利于学生主动地进行观察 实验 猜测 验证 推理和交流等教学活动 能通过观察 实验 归纳 类 比等获得数学猜想 并进一步寻求证据给出证明或举出反例 由此可见 数学 课程标准 十分重视培养学生的合情推理能力 特别是进入21 世纪 现代教育任务不再是单纯地培养知识型的人才 而需 要培养智能型的人才 数学教学不再着力于知识的灌输 而在于引导学生进行探 索性学习 从中学会发现问题 分析问题 解决问题的方法 培养学生创造性思 维能力 如果我们想在数学教学中 在某种程度上反映出数学的创造过程 那么 教师就必须不仅教学生 证明 而更应教学生 猜想 在教学过程中 教师应 尽可能多地创造机会让学生通过观察 实验 利用类比 归纳等进行合情推理 让学生经历推测 检验 修正的过程 学会发明创造 达到培养创造能力的目的 作为教师应充分认识到 发明和创造比命题的严格的论证更为重要 因为前者标 志着人的创造力 意味着在复杂的现象面前是否有足够的主观能动性去发现真 理 发现通往真理的道路 在这里合情推理扮演着非常重要的角色 因此 在数 学教学中 注重合情推理的教学 是现代数学教育的必然要求 三 再创造 教学原则与合情推理 每个人身上都有着创造潜力 学生和科学家都有创造性 只是在创造层次和 水平上有所不同而已 科学家探索的新的规律在人类认识史上是 第一次 的 而学生学习前人发现积累的知识 对学生本人来说是新的 第一次 的 所以 对每个学生个体而言 都是从事一个再发现 再创造的过程 数学教育家弗赖登 塔尔指出 将数学作为一种活动来进行解释 建立在这一基础上的教学活动 称为再创造法 再创造的数学教学过程是学生在教师的指导下通过自己的思维 活动 学习和借鉴数学家或作者的思维活动结果 不断自我增进数学素养的过程 4 山东师范大学硕士学位论文 问题的提出直到问题的解决都是依靠合情推理与演绎推理的相互作用完成的 苏 联数学家斯托利亚尔说过 积极的教学应是数学活动 思维活动 的教学 而 不是数学活动的结束 数学知识的教学 使学生体验知识的来龙去脉 引导 学生大胆尝试 不断探索 可见合情推理对于在教学中展示知识发生 发展 形 成的过程尤为重要 所以在教学中要遵循归纳与演绎并重的原则 再创造 与 过程教学原则 教师的主导性与学生的主体性相结合的原则 l l 四 合情推理能力已成为高考考察的能力之一 例如 2 0 0 1 年上海高考题 已知两个圆 x 2 y 2 I 工2 抄一3 2 1 则由 式减去 式可得上述两圆的对称轴方程 将上述命题在曲线仍为圆的 情况下加以推广 即要求得到一个更一般的命题 而已知命题是所推广的命题的 个特例 推广的命题为 分析 注意到两圆的半径相等 圆心不同 所以该两圆为两不重合之等圆 故将两等圆方程推广为一般形式 了一瘁 2 Y 一6 2 r z X C 2 y d 2 2 式减去 式可得两圆一条对称轴的方程 又例如 2 0 0 0 上海理1 2 在等差数列伽 中 若口 0 则有等式 D l 0 2 乜 q 口2 口m 0 1 9 n N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 中 若6 9 1 则有等式 成立 分析 单纯从条件的转化入手很难 注意到题目只要求将等差数列与等比数 列的相应结果进行类比 所以从序号性质 j 一 P 吼其中 P q n 是自然数 对于等差数列和 有吼 q 口 对于等比数列 6 则有钆6 耳 b v b a 等差数列中的q O 又可类比等比数列中的6 9 1 所以 只需要分析序号l O 与 n 1 9 n 的关系 不难发现1 9 一H 2 x l O l n 而6 0 l 则有等式 S 山东师范大学硕士学位论文 6 l 如 玩 6 2 6 2 0 高维与低维 如三角形与四面体可以做类比 三角形是平面上的最简单的图形 四面体 是空间最简单的多面体 三角形的顶点类比于四面体的棱 三角形的边类比于 四面体的面 三角形的面积公式是二分之一的底乘高 四面体的体积公式是三 分之 的底面积乘高 又如 一个三角形和一个棱锥可以做类比 三角形是取直线段 再与线段外 一点相连 棱锥是取多边形 再与面外一点相连 再如 一个平行四边形和一个棱柱可以做类比 分别将一条线段和一个四边 形平行于它们自身加以移动 移动方向分别与直线或平面楣交 就会描绘出所希 望的平行四边形与棱柱 4 1 在猜想斜三角形与射影三角形面积关系时 我引导学生考虑直角三角斜边与 直角边的关系c o s 口 皇 O 山东师范大学硕t 学位论文 4 方法的类比 在证明一个球被平面所截 截线为圆时 我引导学生如果能找到圆心 证明 圆心到截线上的点距离相等 即可证明截线是圆 如何找到圆心呢 通过将球与 圆类比 平面与直线类比 即可联想到圆的垂径定理 从而想到过球心作截面的 垂线 垂足即是截面圆心 证题思路也就形成了 圆的面积公式的推导 1 5 1 5 模式类比 模式类比主要包括图形转换 数形转换 如 求 工2 y 2 2 x 6 y 1 0 工2 Y 2 2 X 1 0 y 2 6 的最小值 x y R 将其变形为 一1 2 y 3 2 o 1 2 y 5 2 数形转换为动点P x Y 到 两定点M t 一3 一1 5 的距离之和 由此可得尸M P M N 2 1 7 还可类比 至 复数模的性质 向量模的性质 3 类比推理依据与目的 类比是有其规律性的 元素闯的相似性是进行类比的依据 类比的目的在 于从已知猜想未知 如我们可以从三角形中的性质探索四面体中是否具有类似 的性质 又如椭圆与双曲线 等差数列与等比数列 由于它们定义的相似性使 两类曲线构成类比 从而 可以从椭圆所具有的性质猜想双曲线是否具有类似 的性质 从等差数列的性质类比等比数列的性质 二 试验 猜想与联想 一 试验与猜想 试验是人们根据一定的科学研究目的 运用一定的物质手段 在人为地控制 或模拟自然现象的条件下 通过试验观察获得各种经验事实的方法 在数学中 试验法是一种基本的研究方法 可以用来发现或验证许多数学对象的性质 如几 何中各种图形的面积 体积的计算或公式的导出 常使用割补变换成易于计算的 等积图形来加以解决 圆锥曲线光学性质的试验 三角内角和定理 圆锥体体积 公式 球的体积公式等的验证 都是试验法在数学教学中的具体应用 通过对试 验所提供的信息进行不完全归纳 形成猜想 它可以用来引导数学发现 启迪问 题解决的思路 例如 考察三角形内角和是多少的问题 山东师范大学硕士学位论文 1 试验与猜想 让学生各自画一个三角形 并用量角器量出各个角的度数 然后求出和 试验得出的结果受误差的影响 都在1 8 0 0 左右 使学生猜想出三角 形的内角和为1 8 0 0 但判断该猜想是否正确 还需要加以证明 2 证明方法的发现 提出问题 不用量角器 怎能知道三角形内角和为1 8 0 0 将 Z B 剪下来拼在Z C 处 观察是否构成平角 二 联想 l 联想的定义 联想是以观察为基础 根据研究对象或问题的特点 联系已有的知识和经验 进行想象的思维方法 联想是一种自觉的和有目的的想象 是由当前感知或思考 的事物 想起有关的另一事物 或由此再想起其他事物的心理活动 联想是一种 再现性想象 但它是进行类比 模拟 归纳 猜想等合情推理的基础 联想是有 规律可循的 其基本法则有 类似联想 相反联想 接近联想 数学联想方法 是要以联想为中介 进行数学研究 引导数学发现 由此及彼地思考问题的一种 方法 2 恰当地运用联想这一方法 常常能打开思路 拓宽视野 沟通数学内部多层 次的联系 如 在线段A B 上插入9 个点 一共可以数出多少线段 启发式设问 1 锐角三角形A O B 内 从顶点D 引出9 条射线 问可以数出多少 个锐角 2 在三角形A B C 的边A B 上取9 个点鼻 B B 联结C 只 c 6 C 弓 问可以 数出多少个三角形 3 在平行四边形A B C D 中 过爿口边上只 B B 9 个点作A D 的平行线 与 D C 边交于Q l Q 2 Q 9 问可以数出多少个平行四边形 4 若在平行四边形A B C D 中 过A B 边上只 B B 9 个点作A D 的平行线 与D C 边交于Q l Q 2 Q 9 过A D 边上的蜀 R 见作平行线 与B C 交于 墨 s s 则共有多少个平行四边形 通过类似联想 启发学生在这些问题的比较中 抽取它们的共性 从而掌握 1 2 山东师范大学硕士学位论文 解决此类问题的要领 三 一般化和特殊化 一般化方法 1 一般化的定义 一般化又称普遍化 它是把研究对象或问题从原有范围扩充到更大范围进 行考察的思维方法 一般化是一种特殊的概括 如 从三角形进而考虑任意多 边形 从锐角三角函数进而考虑任意角三角函数 一般化在解决数学问题中表 现为 首先对简单问题考察有关事实 发现事实间的关系 接着从理论上研究 这种关系在一般情形下是否也成立 从而得出一般的定理 法则 达到利用数 学定理 法则启发锻炼思维 培养兴趣的目的 在数学中 一般化主要表现为 对命题的推广 通常可按下列方向进行 1 放宽或取消某项约束条件 2 将结论中的数量 形式或关系普遍化 如 从三角形进而考虑任意多边形 从锐角三角函数进而考虑任意角三角 函数这两个方向是相互联系的 如果在放宽或取消约束条件后 结论的形式不 变 就说明结论的适用范围可以扩大 而在多数情况下 条件的放宽或取消总 伴随着结论的相应变化 反之也如此 即结论的普遍化通常会引起条件的变更 和削弱 因此在推广命题时也可以从上述两个方向同时一般化 数学中将某个 命题一般化的例子很多 现举一个数学教材中的例子说明一般化的做法极其重 要性 例 计算t a n 6 7 0 3 0 一t a n 2 2 0 3 0 学生很快就通过切化弦的方法求得值为2 但如果就此罢手 这道好题起 不到它应有的效果 所以我对其迸行一般化 起到了较好的教学效果 由 t a n 6 7 0 3 0 一t a n 2 2 0 3 0 的关系推广得 求证 t a n 3 x t a I l 要 2 竺坚一 此 Zz C O S x C O S 2 x 即1 9 8 9 年高考题 其解法与原题基本楣同 若从右向左证 需将工进行拆角 s i n x s i n 詈一争2s i n 3 x c s 三一c s 一3 x 222s i n 兰2 分母和差化积即得 观察竺2 与三2 22 一 的差为x 故将其一般化为x 屿口 推广得 山东师范大学硕 l 学位论文 一 垄里三一 t a n 伍 护 一t a n 0 若从6 7 0 3 0 Y 2 2 0 3 0 互余解题 则又有 c o s x c o s x 2 0 c o t 2 2 0 3 0 一t a n 2 2 0 3 0 推广得 求证c o t 0 一t a n O 2 c o t 2 0 2 一般化在解决数学问题中也起着重要的作用 1 在解决问题 发现问题时 从简单推及复杂 从特殊推及一般的好处是能 给出一种发现的法则 一种发现的方法的过程 当对一个一般的 抽象的问题 要说明它 解决它很困难时 就首先尝试一下同类的简单而具体的问题 然后 由此推及一般的情形 这是研究问题的最有效的方法 例如 要推导凸多边形 的内角和 三角形的内角和为1 8 0 0 通过将凸4 边形分解为 推得凸4 边形的内角和为2 1 8 0 0 同理得 凸5 边形的内角和为3 1 8 0 0 图3 1 一般地 凸H 边形自一个顶点出发的对角线有 一2 条 将凸 边形分解为 刀一2 个三角形 所以凸刀边形的内角和为加一2 1 8 0 0 这就是一种一般化的过程 这样的例子在数学中随处可见 每遇到这样的例子 教师要给学生指出来 启发 般化的精神与方法 2 从特殊到一般是数学的统一性决定的 统一性是数学的基本精神之一 既包括知识的统一 又包括方法的统一 知识 的统一在数学中是很普遍的 如 斜线与平面内的直线所成的角0 与斜线与平 面所成的角日 斜线在平面内的射影与面内直线所成的角岛满足关系 c o s O c o s O C O S 0 2 三垂线定理只是这个关系式当口 9 0 0 或巩 9 0 0 时的特 例 方法的统一性体现在处理各种情形的原则 首先解决最简单的情形 因其 简单 一般地 解决也较容易 然后 尽力设法把其他情形归结为已解决的简 单情形 例如 任意多边形A B C D E 与其射影多边形A B C D E 的面积间的关系 可转化为z L 4 B C 与鲥 B C 的面积关系 如图3 2 4 圆 一多 角 r 一谬 山东师范大学硕士学位论文 图3 2 特殊化方法 特殊化方法是从一组给定的对象的集合过渡到考虑该集合中一个较小的 集合 或仅仅一个对象的思维方法 如 从多边形转而特别考虑正打边形 再 从正行边形转而特别考虑等边三角形 通过逐步添加限制条件达到特殊化的目 的 特殊化在解决数学问题中的作用 由于一般性总是寓于特殊性之中 所以 要研究某一对象或问题时 就可以先考察它的若干个特殊情形 利用各个特殊 情形中包含着的共性与个性 通过比较 归纳 分析和综合来把握原有对象或 问题的有关性质 所以特殊化在求解与理解问题时常常很有用 l 应用于数学知识教学 例如 长方体的教学 教师可取教室为例 空间直角坐标系的教学 教 师可将教室的一角取为坐标原点 地板与两面墙作为坐标平面 两个水平的棱 和一个垂直的棱作为坐标轴 在解释旋转面的概念时 教师可以用粉笔在门上 画一根曲线 然后慢慢开门等等 这些简单的演示使数学的抽象性得到非常具 体的阐述a 又如 绝对值不等式的性质H 一 I a b i 旧的教学 可由向 量模的不等式矧一蚓 p 舌f 0 的焦点F 作一直线交抛 11 物线于户 Q 两点 若线段P F 与翘的长分别是P 口 则二 二等于 爿 2 玎 8 一 c 4 口 Z 口 D 4 口 解 特殊值法 将抛物线方程化为x 2 三J 焦点到准线的距离班 五I 由选择支可知 上 三与直线的斜率无关 则取直线的斜率为o Pg y l j r7 Q U 7 1 6 山东师范大学硕士学位论文 的情形 此时f 叫 J 鲈卜2 例 去 三 三 2 口 2 口 4 口 图3 3 Pq 一般化和特殊化的核心是思维的拓展 对要解决的问题进行放大 或缩小从而顺利的解决问题 4 在数学概念教学中运用合情推理模式 数学概念教学的目的是教授学生数学基本知识 并以知识为载体培养学生的 数学素养和能力 在概念教学中进行学生合情推理能力的培养 重要的是要将各 种合情推理方法恰当地渗透在数学知识中去 教师首先要更新教学理念 不将现 成的数学结论强加给学生 而要从学生认知结构出发 设计学生乐于接受的合情 推理模式 与学生共同以发现者的姿态投入到概念教学中 并综合运用各种合情 推理方法 达到既使学生深刻理解概念 又提高发现概念的合情推理能力的目的 使数学课更贴近学生 更易于让学生接受 更具有数学美 一 数学概念教学 一 如何在数学概念的教学中培养合情推理能力 1 数学概念的定义 数学概念是反映一类事物在空间形式与数量关系方面的本质属性的思维形 式 2 数学概念的学习方式 概念形成 概念形成是人们在对客观事物的反复感知和进行分析 比较 抽象的基础上 概括出某一类事物的本质属性的过程 在教学条件下 以学生直接经验为基础 通过对各种例证的分析 使学生以归纳的方法概括出一类事物的本质属性从而形 成数学概念的学习方式 就是概念形成 概念形成的心理活动过程包括八个阶段 辨别 各种事例 分化 对事例 的属性进行分化 类化 对从具体事例中分化出的属性进行比较 找出共同的 属性 抽象 提出该类事物的本质属性的假设 检验 在特定的情景中检验假 山东师范大学硕士学位论文 设 确认事物的本质属性 概括 找出关键属性 概括形成概念并用定义表示 强化 将新概念推广到同类事物 明确概念的外延 形式化 用数学语言或符 号表示 因为 1 在概念形成的辨别与分化阶段 学生要对事例进行观察 比 较 F 另一个V 0 H 证明厂 x 是周期函数 就是在对这一知识系统的考查 以题组的形式进行知识点的深加工 能够促使学生从具体的问题抽象出知识 点的联结 根据认知心理学 由于认知结构是学生通过 做 数学而形成 所以 更易于迁移 此外 在解题教学中 教师引导学生对所遇到的题目不要只满足于 会解 还要理解知l t j 点是以怎样的方式联接的 对学生知识结构的形成与完善 山东师范大学硕士学位论文 解题能力的提高都是很有益处的 反之 通过让学生定期做一些以反映知识点联 系的典型例题 也能达到理解 巩固知识点及其联系的目的 三 注重数学思想方法系统的形成 布鲁纳很注重学科的基本结构 他强调说 不论我们教什么学科 务必使学生 理解该学科的基本结构 数学的基本结构就是数学的思想方法 只有培养学生 自觉的运用数学的思想方法解题 才能使学生达到举一反三 运用所学知识解决 类似或同类课题的目的 即为迁移而教学 以2 0 0 3 年理科2 2 题为例 设口 为常数 g a 3 一2 口H 0 N I 证明对任意挥 l q 昙 3 一1 2 一1 1 2 a o U 假设对任意t l 有4 a n i 求a 的取值范围 解 1 本题可以采用数学归纳法 现采用递归法求其通项 3 一2 d 2 3 4 2 2 a 一2 2 3 4 3 一 2 a 一2 3 一2 4 3 3 8 3 一2 a 一4 一2 3 一2 4 3 4 3 8 3 4