用类比法组织高中数学课堂教学.doc

用类比法组织高中数学课堂教学广东省佛山市南海区大沥高级中学 符毅成 内容摘要：类比作为一种推理形式，在数学的发展中有着重要作用。恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。而将类比运用到课堂教学中去，能有效地突破知识难点，顺利帮助学生完成知识的建构。 关键词：类比、建构、课堂教学。在2003年高考数学试题中有一个亮点，第15题（填空题）：在平面几何里，有勾股定理：“设的两边AB，AC互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则。”该试题考查了学生分析、解决问题的能力。要求学生有一定的创新能力，能利用已学过的知识，在新的环境下独立获得新的知识结论。此类题型在近几年高考中频频出现：(2004年广东卷15题）：由图(1)有面积关系:则由图(2)有体积关系。这些题目对学生的类比推理能力有一定的要求。题目的难度不大，但得分并不高。反映考生对于类比方法并不熟悉，独立获取新知识的能力不够强。所谓类比推理，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。也就是说，如果对象甲有性质A、B，对象乙也有性质A、B，而对象甲还有性质C，从而推知对象乙也有性质C的一种推理。类比推理是一种由特殊到特殊的推理方法。在高中数学教学中，对类比推理这种思维形式，课本提得较少，而且由于类比推理所得结论的真实性是不确定的，因而它不能作为数学的严格推理方法。所以在教学中，教师往往忽视它。学生在学习中也很少想到类比，但类比推理作为一种重要的思想方法，就算在崇尚严格逻辑推理的数学中也起到重要作用。在教学中应给予应有的重视。普通高中数学课程标准（实验）指出“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。”标准将归纳类比等思维能力的培养提到了相当的高度。而不是像已前那样简单地认为数学是为了培养学生的逻辑思维能力。波利亚曾经说过“在数学发现中，归纳推理与类比推理起着主要作用。”大数学家高斯认为，“发现和创新比命题论证更为重要，因为一旦抓到了真理之后，进行证明往往只是时间问题。”在课堂上有意识地培养学生自觉运用类比方法去探索、获取新知识；整理原有知识；寻找解题思路是有效提高学生思维能力的途径。运用类比可以沟通不同的知识板块，充分调动所学知识，开阔解题思思路。证明：为了使学生较好地掌握和运用类比这一个有力的工具。教师在平常的教学中应该有意识地将类比思想渗透于各个教学环节之中。美国教育心理学家奥苏伯尔认为，学生学习有意义与否，关键在于所要掌握的新知识能否与他们认知结构中的原有知识观念建立“实质性”的和“非人为”的联系。而类比是建立这种联系的有效方法。通过类比，能使学生在已知基础上由熟悉到陌生，由浅入深，由直观到抽象地进行有意义的学习，而不是死记硬背。用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。数学中的许多概念，知识点之间有类似的地方，在新概念的提出，新知识的讲授过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握。在教学中，被用于类比的特殊对象是学生所熟悉的。故学生容易从新旧对象的对比中接受新知识。在高中数学中，可通过类比法引入的概念十分之多。如：对球的概念教学可与圆的概念进行类比。“平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。”“与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，定点叫做球心，定长叫做球的半径。”教师在教授“球”这一概念时，可先让学生复习“圆”这一概念。然后设问，“如果我们将概念中的平面换成空间会得到什么样的结果呢？”让学生进行想象、讨论，充分调动同学们的积极性。新概念的建立，完全可以由学生自己完成。通过这样的类比设问，将知识建构的主动权还给学生。能更好地激发学生学习数学的积极性。将类比用于定理的教学，可加深学生对定理的理解和记忆，使所学知识系统化，如：在球这一节中对球的性质“一个平面截一个球面，所得的截线是以球心在截面内的射影为圆心。以（R为球的半径，d为球心到平面的距离）为半径的一个圆。”若将此性质与圆中的垂径定理进行类比则它的证明就是一件十分容易的事情。而且通过类比，以旧引新，学生对性质的记忆也会更加牢固，理解也更为深入。类比法可帮助学生给公式、法则的发现与证明赋与一个“合理”的情景。有些公式、法则通过类比会使学生掌握运用起来毫无困难。如对等差数列前n项和公式的证明。课本上采用的是倒序相加的证明方法。学生都会觉得证明构思考妙，十分精彩。但怎么会想到这个方法呢？如果这一点处理不好，学生对这一方法的印象就不深刻，在运用时也就不能得心应手。其实课本中有一个很好的素材可以解决这一个问题。上图表示堆放的钢管，自上而下的钢管数排成一个等差数列，那么怎样求这等差数列的前n项和呢？图中堆放的钢管给人一种很强列的梯形的印象。多数学生只注意到各层钢管的数字，而忽略了梯形这一个背景。如果我们将数列的各项放到梯形这一大背景下考虑，求等差数列的前n项和。可类比作求此梯形的面积。那么，自然而然地想到两个梯形拼合成平行四边形求面积的做法（如图-2）。而从结果上看，前n项和公式与梯形的面积公式从形式上是一致的。通过以上类比可使学生获得对倒序相加法的感性认识。并对公式的形式有一个深刻的记忆。这样的类比猜想，往往都具有一定的趣味性，能吸引学生。有利于提高学生学习数学的积极性，长期坚持学生就会形成自主探索、研究的习惯。对学生的创新能力的形成有很大帮助。法国数学家兼天文学家，拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”另一方面它们也是培养学生发现、创新能力的有力工具。可以说，类比是发明创造的源泉。从以上几点可以看出，类比在获取解题思路，新概念的导入，公式、定理和记忆及证明，新知识的探索研究等方面都有着重要作用。其实，在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹。在授课时，有意识地引导学生对旧知识进行回忆、类比，给学生创造“最佳思维环境”。可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法。激发学生的积极性，变被动听为主动学。虽然这样类比的结论不一定正确，但它却教会学生一种探索问题的方法，这也正是目前我们要把学生从