06-07-1线代(A)及答案-A.pdf

线代 A 卷 第 1 页 共 6 页 上 海 交 通 大 学 线 性 代 数 A 试 卷 A A 卷卷2007 01 15 姓名姓名 班级班级 学号学号 一 单项选择题一 单项选择题 每题 3 分 共 15 分 1 设为 4 维列向量组 行列式 32121 4 1321 A 则行列式1 2321 B BA a 40 b 40 c 3 d 16 2 设为阶矩阵 且 则必有BA n0 AB0 B a b c d 0 A0 B0 B0 A 3 已知为四阶方阵 则BA 2 A2 B 1 2 BA a b c d 4 1 4 1 28 4 设为非零实矩阵 是行列式中元素的代 33 ji aA jiji Aa ji A A ji a 数余子式 则矩阵必为A a 不可逆矩阵 b 对称矩阵 c 正交矩阵 d 正定矩阵 5 设为矩阵 且 则线性方程组 Anm 0 bnAr bAx a 有唯一解 b 有无穷多解 c 无解 d 可能无解 二二 填空题填空题 每题 3 分 共 15 分 1 已知为矩阵 是非齐次线性方程组的有解 且A32 2 Ar 21 bAx 1 2 1 1 1 1 1 21 则线性方程组的通解为 bAx 题号题号一二三四总分 得分得分 线代 A 卷 第 2 页 共 6 页 2 已知矩阵相似于对角阵 则 11 1 11 b ba a 2 1 0 ab 3 已知行列式 是的代数余子式 1000 4322 0021 4121 ji aD ji A ji a 则 2414 42AA 4 设 若为正交阵 则 18 1 2 1 3 2 18 4 18 1 2 1 3 2 baAA a b 5 设为阶矩阵 满足 则 AnOEAA 34 2 1 2 EA 三 三 计算题计算题 每题 9 分 共 54 分 1 计算阶行列式n naaaa aaaa aaaa D n n n 321 321 321 2 1 线代 A 卷 第 3 页 共 6 页 2 已知为阶矩阵 且满足方程 其中BA 3EBBA42 1 200 021 021 B 1 证明 矩阵可逆 2 求矩阵 EA2 A 3 设线性方程组为 试问取何值时 此线性方程组无解 032 242 12 321 321 321 axxx bxxx xxx ba 有唯一解 有无穷多解 当其有无穷多解时 求其通解 线代 A 卷 第 4 页 共 6 页 4 设维行向量 阶矩阵 n 1 1 1 n T EA 1 求矩阵的特征值和特征向量 A 2 问矩阵是否可相似于对角阵 若能 求出可逆阵和对角阵 使AP APP 1 若不能 请说明理由 5 求正交变换 将实二次型化为标准yQx 2 321 2 2 2 1321 433 xxxxxxxxf 形 并写出正交变换 yQx 线代 A 卷 第 5 页 共 6 页 6 设是实数域上的线性空间的一个基 向量组 n 21 V nn 2121211 1 证明也是的一个基 并求出由到 n 21 V n 21 n 21 的过渡矩阵 C 2 设向量 求在基下的坐标 nn nn 121 2 1 n 21 3 设上的线性变换 A A 求 A 在基下的Vni ii 2 1 n 21 矩阵以及 A在下的坐标 A n 21 y 线代 A 卷 第 6 页 共 6 页 四四 证明题证明题 每题 8 分 共 16 分 17 设向量组线性无关 且可由向量组线性表示 证明 321 321 1 向量组线性无关 2 向量组与等价 321 321 321 3 向量组中存在某个向量 使得向量组线性无关 321 j 32 j 2 设为阶矩阵 且 1 证明秩 An0158 2 EAAnEArEAr 5 3 2 证明可相似于对角阵 3 求行列式 A 4 EA 线代 A 卷 第 7 页 共 6 页 线线 性性 代代 数数 A A A A 参参 考考 解解 答答 一一 选择题选择题BA AC D 二二 填空题填空题 1 2 3 4 5 1 5 1 1 2 1 k 0 0 ba00 3 1 baEA2 三三 计算题计算题 1 1 1 1 na i n i i 2 1 EEBEAEABAB8 4 2 842 4 8 1 2 1 EBEA 2 4 4 2ABAA BEB 200 011 020 4 2 1 EBBA 3 无解 唯一解 通解为 21 ba1 a2 1 ba cx cx cx 3 2 1 32 53 1 3 5 0 2 3 k 4 1 特征值 特征向量nn 重11 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 121 n kkk 1 1 1 1 k 线代 A 卷 第 8 页 共 6 页 2 1100 1010 1001 1111 P n APP 1000 0100 0010 0001 1 5 2 3 2 2 2 1 5 020 101 101 2 1 yyyfQ 6 1 2 100 110 111 C 1 1 1 y 3 A CA y n n nn 1 1 2121 四四 证明题证明题 1 1 故 3 321 r3 321 r3 321 r 2 且可由线性表示 3 321 r 321 r 321 321 故向量组与等价 321 321 1 若不 则对任意 线性相关 线性无关 故 j 32 j32 321 由线性表示 矛盾 32 3 321 r2 32 r 2 1 因为0 5 3 EAEA 且nEArEAr 5 3 nErEArEAr 5 3 所以 nEArEAr 5 3 2 因为 特征值的取值为 0 5 3 EAEA 5 3 线性无关特征向量有个3 3 EArn 线性无