顺序统计量.ppt

第2节顺序统计量 一 定义 定义 设 X1 X2 Xn 是从总体X中抽取的一个样本 x1 x2 xn 是其中一个观测值 将观测值按从小到大的次序重新排列为 定义 X k 取值为x k k 1 2 n 由此得到 特别的 说明 X k 称为第k个顺序统计量 即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大排序后的第k个值 二 常用顺序统计量 极差中位数分位数四分位数 1 极差 极差反映了随机变量X取值的分散程度 排序后处于中间位置上的值 2 中位数 3 分位数 4 四分位数 排序后处于25 和75 位置上的值 不受极端值的影响计算公式 五数概括与箱线图 次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图 在得到有序样本后 容易计算如下五个值 最小观测值xmin x 1 最大观测值xmax x n 中位数m0 5 第一4分位数Q1 m0 25第三4分位数Q3 m0 75 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓 三 顺序统计量的分布 1 单个顺序统计量的分布 设总体X的密度函数为f x 分布函数为F x x1 x2 xn为样本 则第k个次序统计量x k 的密度函数为 证明 对任意的实数x 考虑次序统计量x k 取值落在小区间 x x x 内这一事件 它等价于 样本容量为n的样本中有1个观测值落在区间 x x x 之间 而有k 1个观测值小于等于x 有n k个观测值大于x x 其直观示意图见下图 x k 的取值示意图 两边同除以 x 并令 x 0 即有 推论1 最大次序统计量x n 的概率密度函数为 推论2 最小次序统计量x 1 的概率密度函数为 按概率密度函数计算次序统计量的密度函数 设F x 是总体X的分布函数 X1 X2 Xn为X的样本 X 1 X 2 X n 为顺序统计量 F 1 x F n x 分别表示随机变量X 1 X n 的分布函数 则对任意实数x有 按概率密度函数计算次序统计量的密度函数 当X为连续型随机变量且有密度函数f x 时 则X 1 X n 也是连续型随机变量 且它们的密度函数分别为 例1 设总体X分布为U 0 X1 X2 Xn是取自总体的样本 试写出X 1 X n 的密度函数 例2 设总体X G l X1 X2 Xn为X的样本 求 f 1 x f n x 例3 设 X1 X2 Xn 是来自正态总体N 12 9 的样本 求 解 1 因X1 X2 Xn独立 且服从相同分布 解 我们首先应求出x 2 的分布 由总体密度函数不难求出总体分布函数为 可以得到x 2 的密度函数为 于是 四 思考 设总体X的分布如下 现抽取容量为3的样本 共有27种可能取值 列表如下 例5 设总体X的分布为仅取0 1 2的离散均匀分布 其分布各不相同 进而可得X 1 与X 2 的联合分布如下 X 1 与X 2 并不独立 X 1 由此可得X 1 X 2 X 3 的分布列如下 注 在一个样本中 X1 X2 Xn是独立同分布的 而次序统计量X 1 X 2 X n 则可能既不独立 分布也不相同 充分统计量 指统计量加工过程中无信息损失的统