三角函数周期的求法.doc

雅QQ1240008362三角函数周期的求法高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（T）（）都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1求函数y=3sin（）的周期解：y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）这就是说，当自变量由增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。函数y=3sin（）的周期是T=3。例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期解f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x）f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=例3：求f（x）=的周期解：f（x+）= f（x）求f（x）=的周期：T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、tg（）形成（其中A、为常数，且A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：、。例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx-sin cosx） =1-2sin（x-）这里=1周期T=2例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1解：y=2（sinx-cos3x）-1 =2sin（3x-）-1这里=3 周期为T=例6：求y=tg（1+）的周期解：这里=，周期为：T=/=（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。例7：求f（x）=sinxcosx的周期解：f（x）=sinxcosx=sin2x这里=3，f（x）=sinxcosx的周期为T=例8：求f（x）=sin2x的周期解：f（x）=sin2x=而cos2x的周期为，f（x）=sin2x的周期为T=注：以上二题可以运用定义求出周期。例9：求y=sin6x+ cos6x的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x =（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x =1- sin22x =+cos4x而cos4x的周期为T=,y= sin6x+ cos6x的周期为T=例10：函数y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x =3-2sinxcosx+2cos2x =3-sin2x+cos2x+1 =4+2(cos2x-sin2x =4+2cos(2x+) y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x的周期为T=3定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1事实上，由（既约分数），得T= P2T1=P1T2f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。解：y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2=由P1T2= P2T1，得=，取P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=。例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期解：sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=而=，即是T=2T1=3T2， y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2例13：求函数y=cos+sin的周期解：cos的周期为T1=6，sin的周期为T2=8而，即是T=4T1=3T2 y=cos+sin的周期为T=3T2=24。类似，