两端为任意椭圆的盘旋面展开CAD.pdf

1998年 第 4期 工程 图学学报 OFE N G I N E E R ING GRA PHICS 1998 N 0 4 两端为任意椭圆的盘旋面展开C AD 天津大学 谢有才杜玉明 天津经济技术开发区 谢瑞男 摘要本文提出用切平面遥近法构造两端 为任意椭 国的盘旋面 介绍 了这种曲 面展开的计算原理和绘制方法 进而提供了利用该方法设计的绘图程序所绘制的展开 图例 关键词盘旋面 椭园 展开 遥进法 0 引言 动平 面运动 时 始终与处于不 同平面内的两椭圆相切 则两椭圆上相应切 点的连线即组成 一盘旋面 切点连线为其素线 盘旋面是可展曲面 生产实际中应用很广泛 如各种变形接头 容器 机器罩壳等都可 以全部或部分设计成盘旋面 本文通过对这种曲面的分析 设计了一种 可用计算机绘制其展开 图的方法 1 盘旋面的参数 近似盘旋面的建立 图 近似盘旋面的构成 第 4 期 谢有才等 两端为任意椭 国的盘旋面展开CAD 才才才 攫攫攫淤 淤 一一井渺导导 如图 1 所示 盘旋面底椭圆O和顶椭圆0 1分别位于平面P 和Q上 两平面 的夹角为 交线为J K 分别 以 o 为原点建立直角坐标系 一 xyz o 一x Ylz 其中 一 x Y O 一XIY 坐标 面分别在P Q平面内 且OY 0 1Yl轴平行于J K 图2中画出了它 们的投影图 图的右边是将顶椭圆0 1连同坐标系 一x Y z 绕J K 旋转至水平并向右平 移后 的水平投影 反映椭圆0 1的实形 投影图中的坐标系如图中所示 设椭圆O的长半轴长 度为 a 与o x 轴的夹角为p 短半轴长度为b 设椭圆0 1的长 半轴 长度为c 与ox轴 即 与 0 1xl轴 的夹角为Y 短半轴长度为d 椭 圆0 1的中心在坐标系 一x Yz 中的坐标为 g 9 2 h 以上参数确定唯一的盘旋面 1 2 盘旋面的近似构成法 盘旋面可用以下方法近似构成 如图 所示 过椭圆 上任一点M 作切线交JK于E 过E o作椭圆01的切线 切点为N 这样形成盘旋面的一个切平面MoE oN 线段M oN 为盘 旋面的一条素线 按 以上方法 过椭圆 上点M M2 作盘旋面的切平 面M EIN MZ 工程图学学才民19 98年 EZNZ 将 相邻两 切平面的交线11 1 nnl 作为盘旋面 的素线 代替 原素线M oN MIN I 组成近似盘旋面 这实际上是 以盘旋面的外切 四边形1 1 H ln n H 1 1 111 1 1 代替原盘旋面 四边形的数量越多越接近盘旋面 将这些四边形依次展开 即是盘旋面的展开 图 2 盘旋面解析分析 上述近似盘旋面的底 部和顶部 都是折线 或封闭多边 形 将折线转折 点在坐标系 xyz 中 的坐标计算出来 即可 求组成近似盘旋面的各四边 形的实形 2 1 求底部折线转折点坐标 在图2中 按椭圆长短轴方 向新设坐标系 一 xZ yZ 卜x 3y3 设切点m m l m 2 对应的 e 角为 e el 02 一 令椭圆 在m 点的切线为鱼些旦 其他点切线也同样 方法 名 在坐标系 一 xZyZ 中 切线m 的方程为 x eo s氏 y sin 民 一 二 l 切线m l的方程为 x cos民 y sin 以 二一 l 由以上两式解得切线m m l 的交点1的坐标 x21 y 2 2 即 xZ I二 a sin 氏 一sin 0 0 sin 只一 sin 0 0 b e o s0 0一e os 只 sin 只一sin 0 0 经坐标变 换得点1对应的空 间点I在O一XY Z中的坐标为 X 艺 x Z c os 刀一夕 2 sin 刀 xZ sin 刀 y Z c o s 刀 Z 二0 同样方法可得到其他切线交点n m 在O 一 X Y Z 中的坐标 2 2 求顶部折线转折点的坐标 底部椭圆 上切点的投影m m l mz 在顶部椭圆o上对应切点投影为 n n l n Z 一 如图2 右 所示 在坐标系 一 x y 中 P Q平面交线jk的方程为 x f二g hetg a 切线m 的方程 式为 竺竺兰竺之业些竺垫 经些望士 之三 丝丝垫 l 1 a b 由以上两式得j k 与切线m 的交点e 的y坐标为 第4期谢有才等 两端为任意椭圆的盘旋面展开CAD a 加 Q sin陇i成一beo 弟e o编 f bsin氏 编 a eo 载i成 在坐标系 0 1一x3 y3中 点 e 的坐标为 X3 Ly 3 x c o sy y sln y 一x l slny y c o s厂 设过 e 点的切线 n 的方程为 y3 二 k匆x s Po 由切线 n 与椭 圆 相切得 2 k 3 o 一 x3 3 士在 诀不忍灭万 3 22 C一X3 图3近似盘旋面展开 上式表明过 e 点与 椭圆 0 1相切的线n 有两条 见图2右 实际应取其 中一条 也就 是要确定k 3 0 的一个值 为此 求出切线 n 在坐标系 1一x1 y l中的斜率 k 3 t g y l一k3 ot g y 在图2中 切线m 与 y 轴相交于 s 点 将 x O代入 1 式 即得到s点的y坐标 y 由图2看出 当 y 为正时 切线m 对应 的切线n 两条 中应取斜率k 较小的那 一条 反之 当 y 为负时 应取 k 值较大者 k 确定后 所对应的k 3 0 即确定下来 将 k3 0代入 2 式求出 p 这样切线 n 在 1一x3 y 3中的方程可 确定 即 2 式 同样方法可确定切线m l对应的切 线 n 的方程 y3 k引 x3 P 4 由 2 4 式求出切线 n 和 n 的交点1 1 x31 y 3 的坐标 P一Po k扣 一 k 3 k o P一k3 一Po k o 一k 1 由坐标变换得点 对应的空间点I 见图1 在坐标o 一 XY Z 中的坐标为 x 3姚1 一 日1 L T 一一 凡 儿1 1 1 1 e s e s J 9 1 g Z h COSaCOS尹 sin 尹 一 Slnac o s尹 一 c o sasln尹 C O S尸 slnaSln 尸 r e e e s s e e e e e e ee s s ee eL 一一 一l s e 胜 e e e e e eJ 戈 不乙 广l e s w ee e e e e s e s s e L 同样可求出点n l n ll 在坐标系O一X Yz中的坐标 3 盘旋面展开图 的计算及绘图 求出顶部和底部折线各顶点在坐标系小x y z 中的坐标后 就可 由解析几何公式依次求出 第4期谢有才等 两端为任意椭圆的盘旋面展开CAD a 加 Q sin陇i成一beo 弟e o编 f bsin氏 编 a eo 载i成 在坐标系 0 1一x3 y3中 点 e 的坐标为 X3 Ly 3 x c o sy y sln y 一x l slny y c o s厂 设过 e 点的切线 n 的方程为 y3 二 k匆x s Po 由切线 n 与椭 圆 相切得 2 k 3 o 一 x3 3 士在 诀不忍灭万 3 22 C一X3 图3近似盘旋面展开 上式表明过 e 点与 椭圆 0 1相切的线n 有两条 见图2右 实际应取其 中一条 也就 是要确定k 3 0 的一个值 为此 求出切线 n 在坐标系 1一x1 y l中的斜率 k 3 t g y l一k3 ot g y 在图2中 切线m 与 y 轴相交于 s 点 将 x O代入 1 式 即得到s点的y坐标 y 由图2看出 当 y 为正时 切线m 对应 的切线n 两条 中应取斜率k 较小的那 一条 反之 当 y 为负时 应取 k 值较大者 k 确定后 所对应的k 3 0 即确定下来 将 k3 0代入 2 式求出 p 这样切线 n 在 1一x3 y 3中的方程可 确定 即 2 式 同样方法可确定切线m l对应的切 线 n 的方程 y3 k引 x3 P 4 由 2 4 式求出切线 n 和 n 的交点1 1 x31 y 3 的坐标 P一Po k扣 一 k 3 k o P一k3 一Po k o 一k 1 由坐标变换得点 对应的空间点I 见图1 在坐标o 一 XY Z 中的坐标为 x 3姚1 一 日1 L T 一一 凡 儿1 1 1 1 e s e s J 9 1 g Z h COSaCOS尹 sin 尹 一 Slnac o s尹 一 c o sasln尹 C O S尸 slnaSln 尸 r e e e s s e e e e e e ee s s ee eL 一一 一l s e 胜 e e e e e eJ 戈 不乙 广l e s w ee e e e e s e s s e L 同样可求出点n l n ll 在坐标系O一X Yz中的坐标 3 盘旋面展开图 的计算及绘图 求出顶部和底部折线各顶点在坐标系小x y z 中的坐标后 就可 由解析几何公式依次求出 第4期谢有才等 两端为任意椭国的盘旋面展开CAD 4 举例 图4是利用所编程序用计算机绘制的展开图 各图左方为投影图 各展开图的参数如 下 a a 4 5 a二2 0 b二15 p 10 二1 5 d 10 Y二150 9 1二20 9 2二一 5 h二30 毋 二 一1 0 0 尹m 二2 8 0 0 n 6 0 b Q二4 5 0 a 20 b二15 p 二0 0 e二15 d 10 丫二9 0 0 9 1二20 9 2 二0 h二3 0 尹 二0 0 尹m 二36 0 n二60 5 结论 两端为椭圆的非圆柱 圆锥曲面 例如过渡接头 的展开一般采用分割三角形的近似 展开法 这种方法分割时缺乏规律性 不便于计算机绘图 且制件弯折困难 外形不光顺 利用本文提供的方法可以避免这些缺点 且速度快 精度高 圆 直线 点可以认为是椭圆的特殊形式 因此本文研究的方法也适用于各种圆锥面 椭圆锥面 圆柱面 椭圆柱面及其组合曲面的展开 可以说是这些曲面展开问题的总的解 决 所编程序对这些曲面都通用 参 考文献 山东工学院制图教研室 曲面制图 济南 山东科技出版社 197 9 2 汪保华 计算画法几何 北京 国防工业 出版社 1 990 3 H J 巴茨 数学公式手册 北京 科学出版社 19 8 7 CA DONTHEDE VE LOPMEN TOF TOR SES丫 VHICHT 丫 VOEN DS A R E R A NDOME L LIPSES Xie Y O ue ai D u Y u ming Tia n j 一 n Univer sit y XieR ulna n TE D 一 ATi咧i n A BSTR A CT Int hisPa p er a na PPr o xima t iv eme t h o d勿te ng en i Pla n e s 15 sug g e stedtoeo n st r U c t ator se w h ieh t w oe n d s a r era n d o m elliPse s T h e eo m P u ting Pri nei Ple a nd Pl ot t i ng m ethodo n de v eloPm ent0 ft h e t