数列教案教学设计.doc

数列教案教学设计 1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题 2考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用 【复习指导】 1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等 2掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法 基础梳理 1等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 2等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d. 3等差中项 如果Aab2A叫做a与b的等差中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN) (2)若an为等差数列，且mnpq， 则amanapaq(m，n，p，qN) (3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，?(k，mN)是公差为md的等差数列 (4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，?也是等差数列 (5)S2n1(2n1)an. (6)若n为偶数，则S偶S奇；2 若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项) 5等差数列的前n项和公式 若已知首项a1和末项an，则Sn 前n项和公式为Snna1*ndna1an2an的首项是a1，公差是d，则其nn12d. 6等差数列的前n项和公式与函数的关系 dd?Snn2?a1n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)2?2? 7最值问题 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sna1a2a3?an， Snanan1?a1， 得：Sn两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元 (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a2d，ad，a，ad，a2d，?. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a3d，ad，ad，a3d，?，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 四种方法等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN)都成立； (3)通项公式法：验证anpnq； (4)前n项和公式法：验证SnAnBn. 注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列 课堂自测 1(人教A版教材习题改编)已知an为等差数列，a2a812，则a5等于() A4B5C6D7 解析a2a82a5，a56.答案C 2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于 () A31B32C33D342*?a15d2，解析由已知可得?5a110d30，?26a，?3解得?4d?3187S88a132.答案B2 3(xx江西)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11.那么a10() A1B9C10D55 解析由SnSmSnm，得S1S9S10?a10S10S9S1a11.答案A 4(xx杭州)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于() A13B35C49D63 7解析a1a7a2a631114，S7a1a7249.答案C 5在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_. 解析设公差为d.则a5a23d6，a6a33d7613.答案13 考向一等差数列基本量的计算 【例1】?(xx福建)在等差数列an中，a11，a33. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值 审题视点第(1)问，求公差d； 第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k. 解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d. 由a11，a33可得12d3. 解得d2.从而，an1(n1)(2)32n. (2)由(1)可知an32n. 所以Snn132n22nn. 22进而由Sk35可得2kk35. 即k2k350，解得k7或k5. 又kN，故k7为所求 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知 两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了用方程思想解决问题的方法 【训练1】(xx湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升 考向二等差数列的判定或证明 1【例2】?已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.2 ?1?(1)求证：?是等差数列；?Sn?*2 审题视点(1)化简所给式子，然后利用定义证明 (2)根据Sn与an之间关系求an. (1)证明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1， 11Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)SnSn1 ?1?11由等差数列的定义知?是以2为首项，以2为公差的等差数列 S1a1?Sn? 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和 公式法主要适合在选择题中简单判断 【训练2】已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36. (1)求Sn； (2)证明：数列an是等差数列 考向三等差数列前n项和的最值 【例3】?设等差数列an满足a35，a109. (1)求an的通项公式； (2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值 审题视点第(1)问：列方程组求a1与d； 第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决 解(1)由ana1(n1)d及a35，a109得 ?a12d5，?a19d9，?a19，可解得?d2.? 数列an的通项公式为an112n. (2)由(1)知，Snna12nn1210nn2.因为Sn(n5)25，所以当n5时，Sn取得最大值 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值 (2)利用等差数列的前n项和SnAnBn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值 【训练3】在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，2Sn取得最大值，并求出它的最大值 考向四等差数列性质的应用 【例4】?设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n. 审题视点在等差数列an中，若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN)用此性质可优化解题过程 解由题意可知a1a2?a636* anan1an2?an5180 得(a1an)(a2an1)?(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn 18n324. n 18. 本题的解题关键是将性质mnpq?amanapaq与前n项和公式Snna1an2324， na1an2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程 【训练4】(1)设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN)，则a1a2?a17_. (2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_ 【试一试】已知在正整数数列an中，前n项和Sn满足：Sn(an2)2. (1)求证：an为等差数列 1(2)若bnan30.求数列bn的前n项和的