河北省邯郸四中高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年河北省邯郸四中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1已知集合a=x|x25x+60，b=x|2x1|3，则集合ab=（）ax|2x3bx|2x3cx|2x3dx|1x32+=（）aibic1d13若向量、满足|=|=2，与的夹角为， （+）=（）a4b6c2+d4+24等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则s4=（）a15b7c8d165空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a8+2b6+2c8+2d6+26（x2）6的展开式中，常数项等于（）a15b10c15d107执行如图的程序框图，则输出的s是（）a5040b2450c4850d25508已知函数则方程f（x）+1=0的实根个数为（）a0b1c2d39若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）abcd10偶函数f（x）的定义域为r，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）a2b1c0d111某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为（）abcd12给出下列命题：log0.532（）0.2； 函数f（x）=log4x2sinx有5个零点；函数f（x）=ln+的图象以为对称中心；已知a、b、m、n、x、y均为正数，且ab，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有mn，xy其中正确命题的个数是（）a1个b2个c3个d4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13由直线x=1，y=1x及曲线y=ex围成的封闭图形的面积为14已知数列an的通项公式为an=nsin+1，前n项和为sn，则s2015=15已知x，y满足若使用z=ax+y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值等于16已知圆o：x2+y2=8，点a（2，0），动点m在圆上，则oma的最大值为三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=sin（2x）+2cos2x（1）写出f（x）的对称中心的坐标和单增区间；（2）abc三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若f（a）=0，b+c=2，求a的最小值18某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为x，求x的期望e（x）附：k2=p（k2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.82819如图，在三棱柱abca1b1c1中，已知ab侧面bb1c1c，bc=，ab=bb1=2，bcc1=，点e在棱bb1上（）求证：c1b平面abc；（）若be=bb1，试确定的值，使得二面角ac1ec的余弦值为20设抛物线y2=4mx（m0）的准线与x轴交于f1，焦点为f2；以f1、f2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为；自f1引直线交抛物线于p、q两个不同的点，点p关于x轴的对称点记为m，设（）求抛物线的方程和椭圆的方程；（）若，求|pq|的取值范围21已知f（x）=ex（xa1）+ax（a0）（1）讨论f（x）的单调性：（2）若x0时，f（x）+4a0，求正整数a的值参考值e27.389，e320.086选修4-1：几何证明选讲22如图，在abc中，c=90，bc=8，ab=10，o为bc上一点，以o为圆心，ob为半径作半圆与bc边、ab边分别交于点d、e，连结de（）若bd=6，求线段de的长；（）过点e作半圆o的切线，切线与ac相交于点f，证明：af=ef选修4-4：坐标系与参数方程23已知椭圆c： =1，直线l：（t为参数）（）写出椭圆c的参数方程及直线l的普通方程；（）设 a（1，0），若椭圆c上的点p满足到点a的距离与其到直线l的距离相等，求点p的坐标选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|（1）解不等式f（x）+f（x+4）8；（2）若|a|1，|b|1，且a0，求证：f（ab）|a|f（）2015年河北省邯郸四中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1已知集合a=x|x25x+60，b=x|2x1|3，则集合ab=（）ax|2x3bx|2x3cx|2x3dx|1x3【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算；其他不等式的解法【分析】根据题意把集合a，b中的不等式分别解出来，然后求出集合ab【解答】解：已知集合a=x|x25x+60=x|2x3，集合b=x|2x1|3x|x2或x1，则集合ab=x|2x3，故选c【点评】此题考查集合的定义及两集合的交集，另外还考查了一元不等式的解法，是一道比较基础的题2+=（）aibic1d1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】先化简复数的分母，然后再整理即可【解答】解： +=故选d【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题3若向量、满足|=|=2，与的夹角为， （+）=（）a4b6c2+d4+2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】先根据向量数量积的运算公式求出，然后根据乘法的分配律可知（+）=+，然后将数据代入即可求出所求【解答】解：|=|=2，与的夹角为，=|cos=22=2（+）=+=+=4+2=6故选b【点评】本题主要考查了向量的运算律，以及平面向量数量积的运算，属于基础题4等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则s4=（）a15b7c8d16【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论【解答】解：4a1，2a2，a3成等差数列a1=1，4a1+a3=22a2，即4+q24q=0，即q24q+4=0，（q2）2=0，解得q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，s4=1+2+4+8=15故选：a【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键5空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a8+2b6+2c8+2d6+2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，其底面是一个直角三角形，两直角边分别为1，2；高为2据此可求出该几何体的表面积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，其底面是一个直角三角形，两直角边分别为1，2；高为2s表面积=2=8+2故选a【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键6（x2）6的展开式中，常数项等于（）a15b10c15d10【考点】二项式定理【专题】二项式定理【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式的常数项【解答】解：（x2）6的展开式的通项公式为tr+1=（1）rx123r，令123r=0，求得 r=4，常数项为=15，故选：a【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题7执行如图的程序框图，则输出的s是（）a5040b2450c4850d2550【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】根据框图的流程判断算法的功能是求s=2+4+6+98由此计算输出s的值【解答】解：输出s的条件是i100，算法的功能是求s=2+4+6+98输出s=49=2450故选：b【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键8已知函数则方程f（x）+1=0的实根个数为（）a0b1c2d3【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合【分析】画出函数f（x）的图象，特别要注意函数y=x2+4x+3的最小值及分段函数中各自的取值范围结合图象易知答案【解答】解：画出函数和y=1的图象，方程f（x）+1=0即f（x）=1，结合图象易知这两个函数的图象有2交点，则方程f（x）+1=0的实根个数为2故选c【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及数形结合的思想，属于基础题9若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=x的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=即可求出离心率【解答】解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（c，0），渐近线方程为y=x根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到y=x的距离，d=b，又焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，b=2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2a2）=c2，3c2=4a2，即e2=，e=故选b【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式10偶函数f（x）的定义域为r，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）a2b1c0d1【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论【解答】解：f（x+2）为奇函数，f（x+2）=f（x+2），f（x）是偶函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2），即f（x+4）=f（x），则f（x+4）=f（x），f（x+8）=f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，f（90）=f（88+2）=f（2），由f（x+4）=f（x），得当x=2时，f（2）=f（2）=f（2），则f（2）=0，故f（89）+f（90）=0+1=1，故选：d【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键11某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为（）abcd【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；概率与统计【分析】其概率模型为古典概型【解答】解：假设卡片3种为a，b，c，5个酒瓶卡片排列组合一共有35=243种，其中，包含了3种不同卡片的有：3x 1y 1z（即3种卡片3，1，1分布）：c23=60种，2x 2y 1z：类似共有：c3c=156=90种，所以最终概率为： =；故选d【点评】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题12给出下列命题：log0.532（）0.2； 函数f（x）=log4x2sinx有5个零点；函数f（x）=ln+的图象以为对称中心；已知a、b、m、n、x、y均为正数，且ab，若a、m、b、x成等差数列，a、n、b、y成等比数列，则有mn，xy其中正确命题的个数是（）a1个b2个c3个d4个【考点】命题的真假判断与应用【专题】方程思想；转化法；简易逻辑【分析】根据对数函数指数函数的性质，分别判断三个数值的大小进行比较即可利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的相交问题进行求解即可利用对称性的性质建立方程关系，进行求解根据等比数列和等差数列的性质和公式进行证明【解答】解：log0.530，21，0（）0.21，log0.53（）0.22；故错误，由f（x）=log4x2sinx=0得log4x=2sinx，作出两个函数y=log4x和y=2sinx的图象如图：由图象知两个函数有5个交点，即函数f（x）有5个零点；故正确，设f（x）的定义域为d，d，有：，所以，函数y=f（x）的图象关于点对称故函数f（x）=ln+的图象以为对称中心，正确；故正确，a、b、m、n、x、y均为正数，且ab，且 a、m、b、x成等差数列，m=又 a、n、b、y成等比数列，n=，由基本不等式可得 mn又 同理可得 b=，yx综上，mn，xy，故正确，综上正确的是，共3个，故选：c【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的零点，对称性，函数值的大小比较以及等比数列和等差数列的应用，综合性较强，考查学生的运算和推理能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13由直线x=1，y=1x及曲线y=ex围成的封闭图形的面积为e【考点】定积分在求面积中的应用【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可【解答】解：由题意，根据积分的几何意义可得s=e，故答案为：e【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题14已知数列an的通项公式为an=nsin+1，前n项和为sn，则s2015=2014【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】an=nsin+1，可得a1=2，a2=1，a3=3+1=2，a4=1，a5=5+1=6，于是a2k=2ksink+1=1，a2k1=（2k1）+1=（1）k+1（2k1）+1即可得出【解答】解：an=nsin+1，a1=2，a2=1，a3=3+1=2，a4=1，a5=5+1=6，可得a2k=2ksink+1=1，a2k1=（2k1）+1=（1）k+1（2k1）+1s2015=（a1+a3+a2015）+（a2+a4+a2014）=（13）+（57）+（20112013）2015+1008+1007=（210072015+1008）+1007=2014故答案为：2014【点评】本题考查了递推关系的应用、分组求和问题、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知x，y满足若使用z=ax+y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值等于1【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值的方法，因为目标函数取得的最大值的最优解有无穷多个，所以必有目标函数所在的直线z=ax+y与三角形的某一边所在的直线重合，只需求出可行域边上所在直线的斜率即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线线z=ax+y和直线ab重合时，z取得最大值的有序数对（x，y）有无数个，a=kab=1，a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的值，属于基础题本题主要考查最优解的找法，以及两直线的位置关系通过本题应进一步明确两点：线性规划问题可能没有最优解；当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解16已知圆o：x2+y2=8，点a（2，0），动点m在圆上，则oma的最大值为【考点】点与圆的位置关系【专题】解三角形；直线与圆【分析】画出图形，结合图形，利用余弦定理，求出cosoma的最小值，即可得出oma的最大值【解答】解：设|ma|=a，则|om|=2，|oa|=2由余弦定理知cosoma=（+a）2=，当且仅当a=2时等号成立；oma即oma的最大值为故答案为：【点评】本题考查了点与圆的位置关系和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=sin（2x）+2cos2x（1）写出f（x）的对称中心的坐标和单增区间；（2）abc三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若f（a）=0，b+c=2，求a的最小值【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式变形化简解析式，利用正弦函数的性质和整体思想求出f（x）的对称中心、单调增区间；（2）由（1）化简f（a）=0，由内角的范围、特殊角的正弦值求出a，根据余弦定理和基本不等式求出a的最小值【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sin2xcoscos2xsin+1+cos2x=sin2xcos2x+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=，由=k（kz）得，（kz），所以f（x）的对称中心是（，0），（kz）由（kz）得，（kz）所以f（x）的单调区间是（kz）；（2）由（1）可得，f（a）=0，则，又0a，则，所以，解得a=，因为b+c=2，所以由余弦定理得，a2=b2+c22bccosa=（b+c）22bcbc=43bc，因为b+c2，所以bc1，当且仅当b=c时取等号，所以a243=1，即a1，所以a的最小值是1【点评】本题考查余弦定理，两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式变形，以及正弦函数的性质、基本不等式，注意内角的范围，考查化简、计算能力18某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为x，求x的期望e（x）附：k2=p（k2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用【专题】应用题；概率与统计【分析】（1）由题意得列联表，可计算k216.66710.828，可得结论；（2）可得语数学、物理两科成绩至少一科为优秀的频率是由题意可知xb（3，），可得期望【解答】解：（1）由题意可得列联表：物理优秀物理不优秀总计数学优秀60140160数学不优秀100500640总计200600800因为k2=16.66710.828 所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为由题意可知xb（3，），从而e（x）=np= 【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及独立性检验，属中档题19如图，在三棱柱abca1b1c1中，已知ab侧面bb1c1c，bc=，ab=bb1=2，bcc1=，点e在棱bb1上（）求证：c1b平面abc；（）若be=bb1，试确定的值，使得二面角ac1ec的余弦值为【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）通过由余弦定理、勾股定理及线面垂直的判定定理即得结论；（）以b为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，通过平面ac1e的一个法向量与平面c1ec的一个法向量的夹角的余弦值为，计算即可【解答】（）证明：bc=，cc1=bb1=2，bcc1=，在bcc1中，由余弦定理，可求得c1b=，c1b2+bc2=，即c1bbc又ab侧面bcc1b1，故abbc1，又cbab=b，所以c1b平面abc；（）解：由（）知，bc、ba、bc1两两垂直，以b为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则b（0，0，0），a（0，2，0），c（，0，0），c1（0，0，），b1（，0，），=（0，2，），=+=（0，0，）+（，0，）=（，0， +），设平面ac1e的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令z=，取=（，1，），又平面c1ec的一个法向量为=（0，1，0），所以cos，=，解得=所以当=时，二面角ac1ec的余弦值为【点评】本题考查空间中线面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题20设抛物线y2=4mx（m0）的准线与x轴交于f1，焦点为f2；以f1、f2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为；自f1引直线交抛物线于p、q两个不同的点，点p关于x轴的对称点记为m，设（）求抛物线的方程和椭圆的方程；（）若，求|pq|的取值范围【考点】抛物线的简单性质【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设椭圆的方程为+=1（ab0），运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；再由焦点坐标可得m=1，进而得到抛物线的方程；（）记p（x1，y1）、q（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，及基本不等式，即可得到所求范围【解答】解：（）设椭圆的方程为+=1（ab0），由e在椭圆上，得，e= 由、解得a2=4，b2=3，椭圆的方程为；可得焦点为f1（1，0），f2（1，0），可得抛物线y2=4mx（m0）的准线为x=m，即有m=1，易得抛物线的方程是：y2=4x；（）记p（x1，y1）、q（x2，y2），由得：y1=y2，设直线pq的方程为y=k（x+1），与抛物线的方程联立，得：ky24y+4k=0，即有y1y2=4，y1+y2=，由消去y1，y2得：，则，由弦长公式得：化简为：，代入，可得|pq|2=16=（+2）216，于是：，即有【点评】本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和点满足椭圆方程，以及抛物线的性质，考查向量共线的坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算化简能力，属于中档题21已知f（x）=ex（xa1）+ax（a0）（1）讨论f（x）的单调性：（2）若x0时，f（x）+4a0，求正整数a的值参考值e27.389，e320.086【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（1）求导数，得到f（x）=（xa）（ex1），根据导数符号便可判断出f（x）在（，0）上单调递增，在0，a）上递减，在a，+）上单调递增；（2）f（x）+4a0对x0时恒成立，从而只需f（x）min+4a0即可，而由（1）知f（x）在0，+）上的最小值为f（a），从而可以得到可设，求导数得到g（a）=eaa4，可再设h（a）=g（a），这样便可得出h（a）0，说明h（a）在（0，+）上单调递增，这时可以求得h（1）0，h（2）0，从而可知存在a01，2，使g（a）在（0，a0）上单调递减，而在（a0，+）上单调递增求的是满足g（a）0的正整数，这样可求出g（1）0，g（2）0，g（3）0，从而便得出a的值为1，或2【解答】解：（1）f（x）=ex（xa）x+a=（xa）（ex1）；a0；x0时，xa0，ex10；f（x）0；0xa时，xa0，ex10；f（x）0；xa时，xa0，ex10；f（x）0；f（x）在（，0）上单调递增，在0，a）上单调递减，在a，+）上单调递增；（2）由上面知，x0时，；由f（x）+4a0得，；设g（a）=，g（a）=eaa4；设h（a）=eaa4，h（a）=ea1；a0，ea10，h（a）0；h（a）在（0，+）上为增函数；又h（1）=e50，h（2）=e260；存在a0（1，2）使h（a0）=0；a（0，a0）时，h（a）0，g（a）0；a（a0，+）时，h（a）0，g（a）0；即g（a）在（0，a0）上递减，在（a0，+）上递增；又g（1）=0，g（2）=e2280，g（3）=；a=1或2【点评】考查根据导数符号判断函数的单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据导数求函数最小值的方法，对单调函数零点的判断选修4-1：几何证明选讲22如图，在abc中，c=90，bc=8，ab=10，o为bc上一点，以o为圆心，ob为半径作半圆与bc边、ab边分别交于点d、e，连结de（）若bd=6，求线段de的长；（）过点e作半圆o的切线，切线与ac相交于点f，证明：af=ef【考点】与圆有关的比例线段【