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第八章第八章立体几何 8 1 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图 专题 2 三视图与直观 图 2015辽宁大连高三双基测试 三视图与直观图 选择题 理 6 六个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠 成一个几何体 该几何体的正视图与俯视图如图所示 则其侧视图不可能为 答案 D 8 2 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 专题 1 空间几何体的表面 积 2015江西重点中学盟校高三第一次联考 空间几何体的表面积 选择题 理 9 一个几何体的三视图 如图所示 该几何体外接球的表面积为 A 9 B C 8 D 7 解析 由三视图还原出原几何体如图所示 可将其视为正三棱柱的一部分 底面中心到顶点的距离为 外接球 的球心到底面中心的距离为 1 所以球的半径为 R2 1 外接球的表面积为 4 R2 故选 B 答案 B 2015东北三省四市教研联合体高三模拟一 空间几何体的表面积 选择题 理 7 某由圆柱切割获得 的几何体的三视图如图所示 其中俯视图是圆心角为 60 的扇形 则该几何体的侧面积为 A 12 B 6 C 12 2 D 6 4 解析 将该几何体侧面展开 可知其侧面展开图为一矩形 其中矩形的一边长为 3 另一边长为 2 2 2 4 故所求侧面积 S 3 12 2 故选 C 答案 C 2015银川一中高三二模 空间几何体的表面积 选择题 理 11 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O的球面上 SA 平面 ABC SA 2 AB 1 AC 2 BAC 60 则球 O 的表面积为 A 4 B 12 C 16 D 64 解析 依题意 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos60 3 因此 AC2 4 BC2 AB2 AB BC 又 SA 平面 ABC 因 此 SA AC BC SB 取 SC 的中点 M 连接 MA MB 则有 MA SC MB 点 M 到该三棱锥的各顶点的距 离相等 点 M即为球心 O OA SC 2 球 O 的表面积等于 4 22 16 故选 C 答案 C 2015江西八所重点中学高三联考 空间几何体的表面积 选择题 理 11 正三角形 ABC 的边长为 2 将它沿高 AD 翻折 使点 B 与点 C 间的距离为 此时四面体 ABCD 外接球的表面积为 A 7 B 19 C D 解析 由题意可得 AD 底面 BDC 且底面三角形是等腰三角形 其外接圆的直径为 2 过底面 BCD 的 外心 O作底面的垂线 在垂线上取 OP 则点 P 为四面体 ABCD 的外接球的球心 所以外接球的半径 R2 PA 2 PO 2 OB 2 1 该球的表面积为 4 R2 7 故选 A 答案 A 2015东北三省三校高三二模 空间几何体的表面积 选择题 理 9 一个三棱锥的三视图如图所示 其 中俯视图为等腰直角三角形 正视图和侧视图是全等的等腰三角形 则此三棱锥外接球的表面积为 A 16 B 9 C 4 D 解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥 A BCD 如图所示 其中 BC CD BC CD 2 顶点 A 在底面 BCD 上的射影 M是 BD 的中点 AM 2 则有 AB AC AD 记三棱锥 A BCD 的外接球的球心为 O 半 径为 R 则有 OA OB OD R O 在底面 BCD 上的射影为 M 在 Rt DOM 中 R2 2 2 R 2 解得 R 因 此此三棱锥的外接球的表面积等于 4 R2 9 故选 B 答案 B 2015辽宁重点中学协作体高考模拟 空间几何体的表面积 选择题 理 6 某几何体的三视图如图所 示 则此几何体的表面积为 A 4 B 36 2 C 32 2 D 44 2 解析 依题意 题中的几何体是在一个半球的上面放置一个圆锥所形成的组合体 其中球的半径是 4 圆 锥的底面半径是 2 高是 3 因此其表面积为 4 42 2 42 22 44 2 故选 D 答案 D 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 空间几何体的表面积 选择题 理 7 如图 一个四棱锥的底面为 正方形 其三视图如图所示 则这个四棱锥的侧面积为 A 2B 6 C 2 D 2 2 解析 作出该四棱锥的直观图如图所示 观察可知 PB S PAB S PAD PA AD 2 因为 BC 平面 PAB 故 S PBC S PDC PB BC 故该四棱锥的侧面积为 2 故选 C 答案 C 专题 2 空间几何体的体 积 2015辽宁大连高三双基测试 空间几何体的体积 填空题 理 16 如图 ACB 90 DA 平面 ABC AE DB交 DB于点 E AF DC 交 DC 于点 F 且 AD AB 2 则三棱锥 D AEF 体积的最大值 为 解析 依题意 设 AC b BC a 则有 a2 b2 4 由已知得 BC 平面 ACD 又 AF CD CD BC C 因此 AF 平面 BCD 所以 AF BD 又由 AE BD AE AF A 得 BD 平面 AEF 所以 EF BD 易知 AF AD2 DF CD DF 由 BCD FED 得 S EFD S BCD VD EFA VA DEF AF S EFD 当且仅当 a2 2b2 时取等号 因此三棱锥 D AEF的体积的最大值是 答案 2015东北三省四市教研联合体高三模拟二 空间几何体的体积 选择题 理 7 如图 网格纸上小正方 形的边长为 1 粗线画出的是某多面体的三视图 则该多面体的体积为 A B 64C D 解析 根据三视图得几何体 再利用体积公式求解 由三视图可得该几何体是一个四棱锥 其底面是边 长为 4的正方形 有一条长度为 4 的侧棱垂直于底面 所以该四棱锥的体积为 42 4 故选 D 答案 D 2015银川二中高三一模 空间几何体的体积 选择题 理 8 把一个三棱锥适当调整位置 可以使它的 三视图 正视图 侧视图 俯视图 都是矩形 形状及尺寸如图所示 则这个三棱锥的体积是 A 1B 2C 3D 6 解析 作出该几何体的直观图如图中的三棱锥 A BCD 所示 由割补法可知所求三棱锥的体积 V 3 2 1 4 2 故选 B 答案 B 2015辽宁重点中学协作体高考模拟 空间几何体的体积 填空题 理 16 如图 在四棱锥 P ABCD 中 四 边形 ABCD为矩形 平面 PAD 平面 ABCD 若 BPC 90 PB PC 2 则四棱锥 P ABCD 的体积的 最大值为 解析 依题意 过点 P作 PE AD 于点 E PF BC于点 F 连接 EF 则有 PE 平面 ABCD EF BC EF AB PF 设 AB x 则矩形 ABCD 的面积等于 AB BC xx PE V四棱锥 P ABCD x 又因为 当且仅 当 x2 x2 即 x2 时取等号 所以四棱锥 P ABCD 的体积的最大值是 答案 2015东北三省三校高三第一次联考 空间几何体的体积 选择题 理 7 如图 网格纸上小正方形的边 长为 1 若粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A 6B 8C 10D 12 解析 由三视图得该几何体为三棱锥 其底面积 S 4 5 10 三棱锥的高 h 3 故所求体积 V 10 3 10 故选 C 答案 C 2015辽宁东北育才高三第五次模拟 空间几何体的体积 选择题 理 11 若圆锥的内切球与外接球的 球心重合 且内切球的半径为 1 则圆锥的体积为 A B 2 C 3 D 4 解析 过圆锥的旋转轴作轴截面 得到 ABC 及其内切圆 O1和外接圆 O2 且两圆同心 即 ABC 的内 心与外心重合 故 ABC 为正三角形 依题意 O1的半径为 1 故圆锥的底面半径为 高为 3 故圆锥的 体积 V 2 3 3 故选 C 答案 C 8 3 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 专题 2 空间两条直线的位置关 系 2015东北三省三校高三二模 空间两条直线的位置关系 选择题 理 4 已知 a b m n 是四条不同的直 线 其中 a b是异面直线 则下列命题正确的个数为 若 m a m b n a n b 则 m n 若 m a n b 则 m n是异面直线 若 m与 a b 都相交 n与 a b 都相交 则 m n是异面直线 A 0B 1C 2D 3 解析 对于 过直线 a 上一点 O 作直线 a1 b 则直线 a a1确定平面 m a m a1 所以 m 同理 n a 因此 m n 正确 对于 m n 可能相交或异面 错误 对于 m n 可能相交或异面 错误 综上 所述 其中正确的命题的个数是 1 故选 B 答案 B 8 7 空间几何中的向量方法空间几何中的向量方法 专题 2 利用空间向量解决探索性问题 2015辽宁重点中学协作体高考模拟 利用空间向量解决探索性问题 解答题 理 19 如图 四棱锥 E ABCD 中 平面 EAD 平面 ABCD CD AB BC CD EA ED 且 AB 4 BC CD EA ED 2 1 求证 BD 平面 ADE 2 求直线 BE和平面 CDE所成角的正弦值 3 在线段 CE上是否存在一点 F 使得平面 BDF 平面 CDE 如果存在点 F 请指出点 F 的位置 如果 不存在 请说明理由 解 1 证明 由 BC CD BC CD 2 可得 BD 2 由 EA ED 且 EA ED 2 可得 AD 2 又 AB 4 所以 BD AD 又平面 EAD 平面 ABCD 平面 ADE 平面 ABCD AD BD 平面 ABCD 所以 BD 平面 ADE 2 如图 建立空间直角坐标系 D xyz D 0 0 0 B 0 2 0 C 0 E 0 2 0 0 设平面 CDE 的法向量为 n x y z 则取 x 1 则 y 1 z 1 n 1 1 1 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 则 sin cos 即直线 BE 与平面 CDE 所成的角的正弦值为 3 设 0 1 0 2 0 2 0 所以 2 1 1 设平面 BDF的法向量为 m x y z 则 取 x 1 则 z m 由 2 可知平面 CDE的一个法向量 n 1 1 1 且平面 BDF 平面 CDE 所以 m n 0 所以 0 1 故在线段 CE上存在一点 F 靠近 C 点处的三等分点处 使得平面 BDF 平面 CDE 专题 3 利用空间向量求空间 角 2015江西重点中学盟校高三第一次联考 利用空间向量求空间角 解答题 理 19 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ABB1A1为矩形 AB 2 AA1 2 D 是 AA1的中点 BD 与 AB1交于点 O 且 CO 平面 ABB1A1 1 证明 BC AB1 2 若 OC OA 求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值 解 1 证明 由题意 tan ABD tan AB1B 又 0 ABD AB1B ABD AB1B AB1B BAB1 ABD BAB1 AOB AB1 BD 又 CO 平面 ABB1A1 AB1 CO BD 与 CO 交于点 O AB1 平面 CBD 又 BC 平面 CBD AB1 BC 2 如图 分别以 OD OB1 OC 所在直线为 x y z 轴 以 O 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标 系 O xyz 则 A B C D 设平面 ABC 的法向量为 n x y z 则 令 y 1 则 z 1 x n 设直线 CD 与平面 ABC所成角为 则 sin cos 直线 CD 与平面 ABC所成角的正弦值为 2015辽宁大连高三双基测试 利用空间向量求空间角 解答题 理 19 如图 在四棱锥 E ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 AE 平面 CDE 已知 AE DE 2 F为线段 DE的中 点 1 求证 CD 平面 ADE 2 求二面角 C BF E 的平面角的余弦值 解 1 证明 AE 平面 CDE CD 平面 CDE AE CD 四边形 ABCD 为正方形 CD AD AE AD A AD AE 平面 DAE CD 平面 DAE 2 由 1 知 CD 平面 DAE 又 DE 平面 DAE CD DE 以 D为原点 以 DE 所在直线为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 E 2 0 0 F 1 0 0 A 2 0 2 D 0 0 0 AE 平面 CDE DE 平面 CDE AE DE AE DE 2 AD 2 四边形 ABCD 为正方形 CD 2 C 0 2 0 由四边形 ABCD 为正方形可得 2 2 2 B 2 2 2 设平面 BEF的法向量为 n1 x1 y1 z1 0 2 2 1 0 0 由 令 y1 1 则 z1 n1 0 1 设平面 BCF 的法向量为 n2 x2 y2 z2 2 0 2 1 2 0 由 令 y2 1 则 x2 2 z2 2 n2 2 1 2 设二面角 C BF E的平面角的大小为 则 cos cos cos 二面角 C BF E的平面角的余弦值为 2015东北三省四市教研联合体高三模拟二 利用空间向量求空间角 解答题 理 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是菱形 DAB 60 PD 平面 ABCD PD AD 1 点 E F分别 为 AB 和 PD的中点 1 求证 AF 平面 PEC 2 求 PC与平面 PAB 所成角的余弦值 解 1 证明 如图 取 PC 的中点 M 连接 FM ME 则 FM CD 且 FM CD AE AB FM AE FM 四边形 AEMF为平行四边形 AF EM AF 平面 PEC EM 平面 PEC 直线 AF 平面 PEC 2 连接 DE 底面 ABCD 是菱形 DAB 60 DE DC 如图 以点 D 为原点 分别以 DE DC DP所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 D ECP 则 P 0 0 1 C 0 1 0 E A B 0 1 0 设平面 PAB的法向量为 n x y z n 0 n 0 即令 x 1 则 z 平面 PAB的一个法向量为 n 0 1 1 设向量 n 与所成的角为 cos PC与平面 PAB所成角的正弦值为 2015银川一中高三二模 利用利用空间向量求空间角 解答题 理 18 已知四边形 ABCD 满足 AD BC BA AD DC BC a E 是 BC 的中点 将 BAE沿 AE 翻折成 B1AE 使平面 B1AE 平面 AECD F 为 B1D的中点 1 求四棱锥 B1 AECD 的体积 2 证明 B1E 平面 ACF 3 求平面 ADB1与平面 ECB1所成锐二面角的余弦值 解 1 取 AE 的中点 M 连接 B1M 因为 BA AD DC BC a ABE 为等边三角形 则 B1M a 又因为平面 B1AE 平面 AECD 所以 B1M 平面 AECD 所以 V a a a sin 2 证明 连接 ED 交 AC 于点 O 连接 OF 因为四边形 AECD 为菱形 OE OD 所以 FO B1E 所以 B1E 平面 ACF 3 连接 MD 则 AMD 90 分别以 ME MD MB1所在的直线为 x y z 轴建系 则 E C A D B1 所以 设平面 ECB1的法向量为 u x y z 则有令 x 1 可得 u 同理可得平面 ADB1的一个法向量为 v 所以 cos 故平面 ADB1与平面 ECB1所成锐二面角的余弦值为 2015银川二中高三一模 利用空间向量求空间角 解答题 理 18 如图 在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AD BC BAD 90 A1C1 B1D BC 1 AD AA1 3 1 证明 平面 ACD1 平面 B1BDD1 2 求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 解法一 1 证明 因为 AA1 CC1且 AA1 CC1 所以 AC A1C1 因为 A1C1 B1D 所以 AC B1D 因为 BB1 平面 ABCD AC 平面 ABCD 所以 AC BB1 所以 AC 平面 B1BDD1 又因为 AC 平面 ACD1 所以平面 ACD1 平面 B1BDD1 2 因为 B1C1 AD 所以直线 B1C1与平面 ACD1所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1所成的角 记为 如图 连接 A1D 因为棱柱 ABCD A1B1C1D1是直棱柱 且 B1A1D1 BAD 90 所以 A1B1 平面 ADD1A1 从而 A1B1 AD1 又 AD AA1 3 所以四边形 ADD1A1是正方形 于是 A1D AD1 故 AD1 平面 A1B1D 于是 AD1 B1D 由 1 知 AC B1D 所以 B1D 平面 ACD1 故 ADB1 90 在直角梯形 ABCD中 因为 AC BD 所以 BAC ADB 从而 Rt ABC Rt DAB 故 即 AB 连接 AB1 易知 AB1D 是直角三角形 且 B1D2 B BD2 B AB2 AD2 21 即 B1D 在 Rt AB1D 中 cos ADB1 即 cos 90 从而 sin 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 解法二 1 证明 由题易知直线 AB AD AA1两两垂直 如图 以 A 为坐标原点 AB AD AA1所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 A xyz 设 AB t 则 A 0 0 0 B t 0 0 B1 t 0 3 C t 1 0 C1 t 1 3 D 0 3 0 D1 0 3 3 从而 t 3 3 t 1 0 t 3 0 因为 AC BD 所以 t2 3 0 0 解得 t 或 t 舍去 于是 3 3 1 0 因为 3 3 0 0 所以 AC B1D 因为 BB1 平面 ABCD AC 平面 ABCD 所以 AC BB1 所以 AC 平面 B1BDD1 又因为 AC 平面 ACD1 所以平面 ACD1 平面 B1BDD1 2 由 1 知 0 3 3 1 0 0 1 0 设 n x y z 是平面 ACD1的一个法向量 则 令 x 1 则 n 1 设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 则 sin cos 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 2015江西八所重点中学高三联考 利用空间向量求空间角 解答题 理 18 如图 四棱锥 P ABCD 中 底 面 ABCD是直角梯形 DAB 90 AD BC AD 侧面 PAB PAB 是等边三角 形 DA AB 2 BC AD E 是线段 AB的中点 1 求证 PE CD 2 求 PC与平面 PDE所成角的正弦值 解 1 证明 因为 AD 侧面 PAB PE 平面 PAB 所以 AD PE 又因为 PAB 是等边三角形 E 是线段 AB 的中点 所以 PE AB 因为 AD AB A 所以 PE 平面 ABCD 而 CD 平面 ABCD 所以 PE CD 2 以 E 为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz 则 E 0 0 0 C 1 1 0 D 2 1 0 P 0 0 2 1 0 0 0 1 1 设 n x y z 为平面 PDE 的法向量 由 令 x 1 可得 n 1 2 0 设 PC与平面 PDE 所成的角为 sin cos 所以 PC 与平面 PDE所成角的正弦值为 2015东北三省三校高三二模 利用空间向量求空间角 解答题 理 19 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面为正三角形 点 M 在棱 BB1上 AB 4 AA1 5 平面 A1MC 平面 ACC1A1 1 求证 M是棱 BB1的中点 2 求平面 A1MC 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 解 1 证明 取 AC 的中点 O 连接 OB 在平面 ACC1A1上 过点 O 作 AC 的垂线交 A1C1于点 N 平面 ACC