最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第九章解析几何 (5).pdf

第九章第九章解析几何 9 1 直线的倾斜角 斜率与直线的方程直线的倾斜角 斜率与直线的方程 专题 2 直线的方 程 2015河北衡水中学高三一调 直线的方程 选择题 理 10 设直线 l 与曲线 f x x3 2x 1 有三个不同 的交点 A B C 且 AB BC 则直线 l 的方程为 A y 5x 1B y 4x 1 C y x 1D y 3x 1 解析 由题意 曲线 f x x3 2x 1 是由 g x x3 2x 向上平移 1 个单位得到的 函数 g x x3 2x 是奇函数 对称中心为 0 0 故函数 f x x3 2x 1的对称中心为 B 0 1 设直线 l的方程为 y kx 1 代入 y x3 2x 1 可得 x3 k 2 x x 0 或 x 不妨设 A k 1 k 2 AB BC 0 2 k 1 1 2 10 k3 2k2 k 12 0 k 3 k2 k 4 0 k 3 直线 l的方程为 y 3x 1 答案 D 9 3 圆的方程圆的方程 专题 3 与圆有关的最值问 题 2015河北衡水中学高三一调 与圆有关的最值问题 填空题 理 15 若实数 a b c 成等差数列 点 P 1 0 在动直线 l ax by c 0 上的射影为 M 点 N 0 3 则线段 MN 长度的最小值是 解析 因为 a b c成等差数列 故有 2b a c 即 a 2b c 0 对比方程 ax by c 0 可知 动直线恒过定点 Q 1 2 由于点 P 1 0 在动直线 ax by c 0上的射影为 M 即 PMQ 90 所以点 M 在以 PQ 为直 径的圆上 该圆的圆心为 PQ 的中点 C 0 1 且半径为 再由点 N 到圆心 C 的距离为 NC 4 所以线段 MN 的最小值为 NC r 4 答案 4 9 4 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 专题 1 直线与圆的位置关 系 2015河北保定二模 直线与圆的位置关系 填空题 理 15 已知圆 C x 3 2 y 5 2 5 过圆心 C 作直线 l交圆于 A B两点 交 y轴于点 P 且 2 则直线 l 的方程为 解析 过圆心 C 作直线 l交圆于 A B两点 交 y 轴于点 P 且 2 即 3 3 设 P 点坐标为 0 b 则 3 解得 b 11 或 b 1 故直线 l的方程为 即 2x y 1 0 或 2x y 11 0 答案 2x y 1 0或 2x y 11 0 2015辽宁锦州一模 直线与圆的位置关系 填空题 理 16 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0 若直线 y kx 2 上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆 C 有公共点 则 k的最大值是 解析 圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0 整理得 x 4 2 y2 1 即圆 C 是以 4 0 为圆心 1 为半径的圆 又直线 y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆 C 有公共点 只需圆 C x 4 2 y2 1与直线 y kx 2 有公共点即可 设圆心 C 4 0 到直线 y kx 2 的距离为 d 则 d 2 即 3k2 4k 0 0 k k的最大值是 答案 9 5 椭圆椭圆 专题 2 椭圆的几何性 质 2015江西宜春奉新一中高考模拟 椭圆的几何性质 选择题 理 9 已知椭圆 1 a b 0 的左右焦点为 F1 F2 P为椭圆上一点 且 PF1 PF2 的最大值的取值范围是 2c2 3c2 其中 c 则椭圆的离心率的取值 范围是 A B C D 解析 PF1 PF2 2a PF1 PF2 a2 PF1 PF2 max a2 由题意知 2c2 a2 3c2 c a c e 故椭圆的离心率 e的取值范围为 答案 D 2015江西南昌三模 椭圆的几何性质 选择题 理 8 能够把椭圆 y2 1 的周长和面积同时分为相等 的两部分的函数称为椭圆的 可分函数 下列函数不是椭圆的 可分函数 的为 A f x 4x3 xB f x ln C f x sinD f x ex e x 答案 D 专题 3 直线与椭圆的位置关 系 2015江西宜春奉新一中高考模拟 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 如图 F1 F2为椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点 D E 是椭圆的两个顶点 椭圆的离心率 e 1 若点 M x0 y0 在椭圆 C 上 则点 N 称为点 M 的一个 椭点 直线 l与椭圆交于 A B 两点 A B 两点的 椭点 分 别为 P Q 已知以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O 1 求椭圆 C的标准方程 2 AOB的面积是否为定值 若为定值 试求出该定值 若不为定值 请说明理由 解 1 椭圆 C 1 a b 0 的离心率 e 1 a c b 1 又 a2 b2 c2 由 组成方程组 解得 a2 4 b2 1 椭圆 C 的标准方程为 y2 1 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则 P Q y1y2 0 设直线 l的方程为 my t x 联立化为 4 m2 y2 2mty t2 4 0 直线 l与椭圆相交于两点 4m2t2 4 4 m2 t2 4 0 化为 m2 4 t2 y1 y2 y1y2 x1x2 my1 t my2 t m2y1y2 mt y1 y2 t2 代入 可得 m2 4 y1y2 mt y1 y2 t2 0 t2 4 t2 0 t2 代入 知成立 AB 点 O到直线 AB 的距离 d S AOB AB d 1 为定值 2015江西南昌三模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知抛物线 C x2 y 直线 l与抛物线 C 交 于不同两点 A B 且 p 6 1 设直线 m为线段 AB的中垂线 请判断直线 m 是否恒过定点 若是 请求出定点坐标 若不是 请说明 理由 2 记点 A B在 x轴上的射影分别为 A1 B1 记曲线 E 是以 A1B1为直径的圆 当直线 l 与曲线 E 相离时 求 p的取值范围 解 1 设 A xA B xB 因为 A B 是不同的两点 所以 xA xB且 l 不与 x 轴垂直 p 6 xA xB p 6 AB 的中点坐标为 kl kAB xA xB p 当 p 0 时 直线 m 的斜率 km 直线 m 的方程为 y 3 即 y x 令 x 0 得 y 即直线 m 恒过定点 当 p 0时 直线 m 的方程为 x 0 也过点 故 m 恒过定点 2 由第 1 问可设直线 AB 的方程为 y 3 p 即 y px 3 联立消去 y得 x2 px 3 0 所以 所以 A1B1 x1 x2 所以以 A1B1为直径的圆的方程为 y2 当直线 l与曲线 E相离时 圆心到直线 l的距离 d r 即 所以 6 即 36 12 p2 p2 1 所以 p4 11p2 24 0 p2 3 p2 8 0 即 p2 8 或 p2b 0 的左 右焦点分别 为 F1 F2 离心率为 点在椭圆上 1 求椭圆的方程 2 过 F1的直线与椭圆相交于 P Q 两点 设 PQF2内切圆的面积为 S 求 S 最大时圆的方程 解 1 由题意 椭圆 1 a b 0 的离心率为 故设椭圆方程为 1 将代入上式 得 m2 1 所以椭圆的标准方程为 y2 1 2 设直线 PF1的方程为 x ny 1 与椭圆联立得 n2 2 y2 2ny 1 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 y2 y1 y2 2 令 t n2 1 则 y1 y2 2 2 当且仅当 n 0 时等号成立 由题意 因为 PQF2的周长为定值 因此当 PQF2面积取最大值时 它的内切圆面积 S 也取得最大值 而 F1F2 y1 y2 y1 y2 所以 当 n 0 时 S 取得最大值 此时 PQF2的内切圆圆心一定在 x 轴上 设其坐标为 x0 0 取点 P的坐标为 则 PF2的方程为 x 4y 0 x0 1 r 得 x0 x0 2 舍去 r 圆心为 此时圆的方程为 y2 2015河北衡水中学高三一调 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 定义 若两个椭圆的离心率相等 则称两个椭圆是 相似 的 如图 椭圆 C1与椭圆 C2是相似的两个椭圆 并且相交于上下两个顶点 椭圆 C1 1 a b 0 的长轴长是 4 椭圆 C2 1 m n 0 短轴长是 1 点 F1 F2分别是椭圆 C1的左焦点与右焦 点 1 求椭圆 C1 C2的方程 2 过 F1的直线交椭圆 C2于点 M N 求 F2MN 面积的最大值 解 1 设椭圆 C1的半焦距为 c 椭圆 C2的半焦距为 c 由已知 a 2 b m n 椭圆 C1与椭圆 C2的离心率相等 即 即 即 bm b2 an 1 b m 1 椭圆 C1的方程是 y2 1 椭圆 C2的方程是 y2 1 2 显然直线的斜率不为 0 故可设直线的方程为 x my 联立得 y2 4 my 2 1 0 即 1 4m2 y2 8my 11 0 192m2 44 1 4m2 16m2 44 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 y1 y2 y1y2 MN 2 F2MN的高即为点 F2到直线 l x my 0的距离 h F2MN 的面积 S MN h 2 2 4 当且仅当 即 m 时等号成立 S 即 F2MN 的面积的最大值为 2015辽宁丹东二模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 平面直角坐标系 xOy 中 经过椭圆 C 1 a b 0 的一个焦点的直线 x y 0 与 C相交于 M N 两点 P 为 MN 的中点 且 OP 斜率是 1 求椭圆 C的方程 2 直线 l分别与椭圆 C 和圆 D x2 y2 r2 b rb 0 的右焦点为 F2 1 0 点 H在椭圆上 1 求椭圆的方程 2 点 M 在圆 x2 y2 b2上 且 M 在第一象限 过 M 作圆 x2 y2 b2的切线交椭圆于 P Q 两点 求 证 PF2Q的周长是定值 1 解 根据已知 椭圆的左右焦点分别是 F1 1 0 F2 1 0 c 1 H在椭圆上 2a HF1 HF2 a 3 b2 a2 c2 8 椭圆的方程是 1 2 证明 方法 1 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 1 PF2 0 x1 3 PF2 3 在圆中 M是切点 PM x1 PF2 PM 3 x1 x1 3 同理 QF2 QM 3 F2P F2Q PQ 3 3 6 因此 PF2Q 的周长是定值 6 方法 2 设 PQ 的方程为 y kx m k0 由得 8 9k2 x2 18kmx 9m2 72 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 x1x2 PQ x1 x2 PQ 与圆 x2 y2 8相切 2 即 m 2 PQ PF2 0 x1b 0 的左 右焦点 A1 A2分别为其左 右顶点 过 F2且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆相交于 M N 两点 若四边形 A1MA2N的面积等于 2 且满足 1 求此椭圆的方程 2 设 O的直径为 F1F2 直线 l y kx m 与 O相切 并与椭圆交于不同的两点 P Q 若 且 求 POQ的面积 S的取值范围 解 1 l与 x轴垂直 l的方程为 x c 代入椭圆方程得 y 四边形 A1MA2N面积 2 2a 2b2 2 即 b2 1 易知 a c a c a c a c 即 ac 又 a2 b2 c2 联立 解得 a b 1 椭圆的方程为 y2 1 2 由 1 可知 O 的方程为 x2 y2 1 直线 l y kx m 与 O 相切 1 即 m2 k2 1 联立方程组消元整理得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 2 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2是方程 的两个解 由韦达定理得 x1 x2 x1x2 y1y2 kx1 m kx2 m x1x2 y1y2 将 m2 k2 1代入得 解得 k2 1 PQ d 1 S POQ PQ d 令 t 2k2 1 则 k2 代入 得 S POQ k2 1 2 t 3 S POQ 即 POQ 的面积 S的取值范围是 2015辽宁锦州一模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 其左 右焦点分别是 F1 F2 过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 E G 两点 且 EGF2的周长为 4 1 求椭圆 C的方程 2 若过点 M 2 0 的直线与椭圆 C 相交于两点 A B 设 P 为椭圆上一点 且满足 t O 为坐标原点 当 0 得 k2 根据韦达定理得 x1 x2 x1x2 t x1 x2 y1 y2 t x y x y k x1 x2 4k 点 P 在椭圆 C 上 16k2 t2 1 2k2 x1 x2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 0 k2 k2 16k2 t2 1 2k2 t2 8 又 1 2k2 2 t2 8 4 2 t t0 b 0 称为黄金双曲线 给出以下几个说法 1 双曲线 x2 1 是黄金双曲线 2 若 b2 ac 则该双曲线是黄金双曲线 3 若 MN经过右焦点 F2且 MN F1F2 MON 90 则该双曲线是黄金双曲线 4 若 F1 F2为左右焦点 A1 A2为左右顶点 B1 0 b B2 0 b 且 F1B1A2 90 则该双曲线是黄金双曲线 其中正确命题的序号为 解析 1 双曲线 x2 1 中 e 双曲线 x2 1是黄金双曲线 故 1 正确 对于 2 b2 ac 则 e e2 e 1 0 解得 e 或 e 舍 该双曲线是黄金双曲线 故 2 正确 对于 3 如图 MN 经过右焦点 F2 且 MN F1F2 MON 90 NF2 OF2 c b2 ac 由 2 知该双曲线是黄金双曲线 故 3 正确 对于 4 如图 F1 F2为左右焦点 A1 A2为左右顶点 B1 0 b B2 0 b 且 F1B1A2 90 B1 B1 A2 即 b2 2c2 a c 2 整理 得 b2 ac 由 2 知该双曲线是黄金双曲线 故 4 正确 答案 1 2 3 4 2015江西南昌三模 双曲线的几何性质 选择题 理 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线平行于 直线 l x 2y 5 0 双曲线的一个焦点在直线 l 上 则双曲线的方程为 A 1B 1 C 1D 1 答案 A 2015河北保定二模 双曲线的几何性质 选择题 理 9 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线都与圆 x c 2 y2 ac 其中 c 相切 则双曲线的离心率为 A B C 2D 解析 取双曲线的渐近线 y x 即 bx ay 0 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线与 x c 2 y2 ac 相切 圆心 c 0 到渐近线的距离 d r 化为 b2 ac 两边平方得 ac c2 a2 化为 e2 e 1 0 e 1 e 答案 D 2015河北邯郸二模 双曲线的几何性质 选择题 理 10 双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 若 F 关 于直线 y x的对称点 P在双曲线上 则 C 的离心率为 A 2B C D 1 解析 双曲线 1 的右焦点 F c 0 设 F c 0 关于直线 y x的对称点为 P x0 y0 则解得 即 P 代入双曲线 1 得 e2 4 2 舍 或 e2 4 2 e 1 答案 D 2015辽宁丹东二模 双曲线的几何性质 填空题 理 14 双曲线 1 的渐近线方程为 y x 则它的离 心率为 解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x 又已知双曲线 1 的渐近线方程为 y x 即有 即 b 2a 故 c a 因此 e 答案 2015辽宁丹东一模 双曲线的几何性质 选择题 理 11 经过双曲线 1 a b 0 的右焦点 F 作该双曲 线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于 M N两点 若 O 是坐标原点 OMN 的面积是 a2 则该双曲 线的离心率是 A 2B C D 解析 双曲线 1 a b 0 的渐近线方程为 y x 设两条渐近线的夹角为 则 tan tan MON 设 FN ON 则 F到渐近线 y x 的距离为 d b 即有 ON a 则 OMN 的面积可以表示为 a atan 解得 a 2b 则 e 答案 C 2015辽宁锦州二模 双曲线的几何性质 选择题 理 11 过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 F 向其一 条渐近线作垂线 l 垂足为 A l与另一条渐近线交于 B 点 若 2 则双曲线的离心率为 A 2B C D 解析 如图 过 F作双曲线 C 的一条渐近线的垂线 垂足为 A 延长 FA 与另一条渐近线交于点 B 所以 FB OA 又 2 A 为线段 FB 的中点 2 4 又 1 3 2 3 90 1 2 4 2 2 3 故 2 3 90 3 2 2 30 1 60 3 e2 4 e 2 答案 A 9 7 抛物线抛物线 专题 1 抛物线的定义与标准方 程 2015辽宁葫芦岛二模 抛物线的定义与标准方程 选择题 理 4 若双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点与抛 物线 y2 4x的焦点重合 则 a b 的最大值为 A B 1C D 2 解析 抛物线 C1 y2 4x的焦点为 1 0 即有双曲线的右焦点为 1 0 即 c 1 a2 b2 1 令 a cos b sin 则 a b cos sin sin 当 时 sin取得最大值 1 即有 a b 取得最大值 答案 A 专题 2 抛物线的几何性 质 2015辽宁丹东二模 抛物线的几何性质 选择题 理 11 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 点 E 在 C的准线上 且在 x 轴上方 线段 EF的垂直平分线经过 C 上一点 M 且与 C 的准线交于点 N 则 MF A 5B 6C 10D 5 或 10 解析 如图 MN 与 C的准线交于点 N p 2 抛物线方程为 y2 4x 得 F 1 0 设 E 1 m m 0 则 EF 中点为 G kEF 又 N kNG 则 1 解得 m 4 kNG 则 NG所在直线方程为 y x 1 即 x 2y 4 0 联立 y2 4x 得 M 4 4 MF 4 1 5 答案 A 2015辽宁丹东一模 抛物线的几何性质 填空题 理 15 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点是 F 点 M 0 2 线段 MF与 C 的交点是 N 过 N 作 C准线的垂线 垂足是 Q 若 MQF 90 则 p 解析 如图所示 MQF 90 NF NQ 点 N是 Rt MQF的中点 N NQ MF p2 2 解得 p 答案 2015辽宁锦州一模 抛物线的几何性质 选择题 理 10 已知抛物线 y2 8x 的焦点 F到双曲线 C 1 a 0 b 0 渐近线的距离为 点 P 是抛物线 y2 8x 上的一动点 P到双曲线 C 的上焦点 F1 0 c 的距 离与到直线 x 2的距离之和的最小值为 3 则该双曲线的方程为 A 1B y2 1 C x2 1D 1 解析 抛物线 y2 8x 的焦点 F 2 0 双曲线 C 1 a 0 b 0 的一条渐近线的方程为 ax by 0 抛物线 y2 8x的焦点 F到双曲线 C 1 a 0 b 0 渐近线的距离为 b 2a P 到双曲线 C 的上焦点 F1 0 c 的距离与到直线 x 2 的距离之和的最小值为 3 FF1 3 c2 4 9 c c2 a2 b2 b 2a a 1 b 2 双曲线的方程为 y2 1 答案 B 专题 3 直线与抛物线的位置关 系 2015河北保定二模 直线与抛物线的位置关系 解答题 理 20 如图