最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第四章三角函数、解三角形 (2).docx

第四章三角函数、解三角形4.3函数y=Asin(x+)的图象及应用专题1三角函数的图象与变换(2015河北石家庄二中一模,三角函数的图象与变换,选择题,理4)将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移8个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则的一个可能取值为()A.34B.4C.0D.-4解析:函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移8个单位得g(x)=sin2x+8+=sin2x+4+的图象.又函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,所以4+=k+2(kZ),即=k+4(kZ),当k=0时,=4,故选B.答案:B(2015河北石家庄高三质检一,三角函数的图象与变换,选择题,理8)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin2x+6的图象上所有的点()A.向右平行移动3个单位长度B.向右平行移动6个单位长度C.向左平行移动3个单位长度D.向左平行移动6个单位长度解析:函数y=3sin2x+6的图象向左平行移动6个单位长度得到y=3sin2x+6+6=3sin2x+2=3cos2x的图象,故选D.答案:D专题2函数y=Asin(x+)图象及性质的应用(2015河北衡水中学二模,函数y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理10)已知函数f(x)=sin(2x+),其中(0,2),若f(x)f6对xR恒成立,且f2f(),则f(x)的单调递增区间是()A.k+6,k+23(kZ)B.k-3,k+6(kZ)C.k,k+2(kZ)D.k-2,k(kZ)解析:由f(x)f6f6=1sin+3=1.又由f2f()sin(+)0.因为(0,2),由可得=6,所以f(x)=sin2x+6,由2k-22x+62k+2(kZ),k-3xk+6(kZ),故选B.答案:B(2015江西南昌二模,函数y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理4)将函数y=sin2x-3的图象向左平移3个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的一个单调递增区间是()A.-4,4B.-2,0C.-512,12D.12,712解析:y=sin2x-3向左平移3个单位得y=sin2x+3,当x-512,12时,2x+3-2,2,y=f(x)为增函数,故选C.答案:C(2015江西南昌二模,函数y=Asin(x+)图象及性质的应用,解答题,理17)已知ABC是圆O(O为坐标原点)的内接三角形,其中A(1,0),B-12,-32,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若点C的坐标是-22,22,求cosCOB;(2)若点C在优弧AB上运动,求a+b的最大值.解:(1)由点C,B的坐标可以得到AOC=34,AOB=23,所以cosCOB=cos(AOC+AOB)=-22-12-2232=-6-24.(2)因为c=3,AOB=23,所以C=3,所以asinA=bsinB=332=2,所以a+b=2sinA+2sin23-A=23sinA+60A23.所以当A=3时,a+b最大,最大值是23.(2015江西赣州高三摸底考试,函数y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理10)如图是函数f(x)=Asin(2x+)|2图象的一部分,对不同的x1,x2a,b,若f(x1)=f(x2),有f(x1+x2)=3,则()A.f(x)在-512,12上是减函数B.f(x)在3,56上是减函数C.f(x)在-512,12上是增函数D.f(x)在3,56上是增函数解析:由图象易知A=2,则由图象知fa+b2=2,即2sin(a+b+)=2,所以sin(a+b+)=1,所以a+b+=2k+2,即a+b=2k+2-(kZ).又因为f(x1)=f(x2),所以由三角函数的对称性知x1+x2=a+b,于是由f(x1+x2)=3得f(a+b)=3,即2sin2(a+b)+=3,所以2sin22k+2-+=3,所以sin=32,所以=3,所以f(x)=2sin2x+3.由-22x+32得-512x0,则sin(+)=-sin=-1-cos2=-1-k2,故选A.答案:A(2015河北唐山一模,三角函数式的化简、求值,选择题,理7)已知2sin 2=1+cos 2,则tan 2=()A.-43B.43C.-43或0D.43或0解析:因为2sin2=1+cos2,所以2sin2=2cos2,所以2cos(2sin-cos)=0,解得cos=0或tan=12.若cos=0,则=k+2,kZ,2=2k+,kZ,所以tan2=0;若tan=12,则tan2=2tan1-tan2=43.综上所述,故选D.答案:D(2015河北唐山一模,三角函数式的化简、求值,选择题,理9)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为()A.1,5B.1,2C.2,5D.5,3解析:对任意xR,存在kZ和t0,2,使x=k+t或x=k-t,则f(x)=|sinx|+2|cosx|=|sint|+2|cost|=sint+2cost,t0,2,即f(x)的值域可以转化为当x0,2时的值域.因为f(t)=5sin(t+),其中tan=2,则3,2,t+,2+,当t+=2时,f(t)有最大值5,当t+=2+时,即t=2时,f(t)有最小值1,故f(x)的值域为1,5,故选A.答案:A(2015河北唐山一模,三角函数式的化简、求值,填空题,理16)已知x,yR,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.解析:x2+2xy+4y2=6等价于x+y62+y22=1,根据式子的特点可以联想同角三角函数的基本关系中的平方关系进行三角代换,再求z=x2+4y2的取值范围.因为x2+2xy+4y2=6,所以x+y62+y22=1,令x+y=6sin,y=2cos得x=6sin-2cos,y=2cos,则z=x2+4y2=(6sin-2cos)2+4(2cos)2=8+2cos2-23sin2=8+4cos2+3,因为cos2+3-1,1,所以z=x2+4y24,12.答案:4,124.6解三角形专题1利用正弦定理、余弦定理解三角形(2015河北保定一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)已知函数f(x)=sin xcosx-6+12cos 2x.(1)求函数f(x)的最大值;(2)已知ABC的面积为3,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=12,b+c=5,求a的值.解:(1)f(x)=sinx32cosx+12sinx+cos2x-12=32sinxcosx+12cos2x=1232sin2x+12cos2x+14=12sin2x+6+14,函数f(x)的最大值为34.(2)由题意f(A)=12sin2A+6+14=12,化简得sin2A+6=12.A(0,),2A+66,136,2A+6=56,A=3.由12bcsinA=3得bc=4,又b+c=5,b=1,c=4或b=4,c=1.在ABC中,根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13.a=13.(2015河北石家庄二中一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)如图,在ABC中,已知B=3,AC=43,D为BC边上一点.(1)若AD=2,SDAC=23,求DC的长;(2)若AB=AD,试求ADC的周长的最大值.解:(1)SDAC=23,12ADACsinDAC=23,sinDAC=12.DACBAC-3=23,DAC=6.在ADC中,由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2ADACcos6,DC2=4+48-224332=28,DC=27.(2)AB=AD,B=3,ABD为正三角形.在ADC中,由正弦定理得ADsinC=43sin23=DCsin3-C,AD=8sinC,DC=8sin3-C,ADC的周长为AD+DC+AC=8sinC+8sin3-C+43=8sinC+32cosC-12sinC+43=812sinC+32cosC+43=8sinC+3+43.ADC=23,0C3,3C+323,当C+3=2,即C=6时,ADC的周长取得最大值8+43.(2015河北衡水中学二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=53,b=5,求sin Bsin C的值.解:(1)cos2A+3cosA=12cos2A+3cosA-2=0(cosA+2)(2cosA-1)=0cosA=12A=3.(2)S=12bcsinA=534c=53c=4,a2=b2+c2-2bccosA=21a=21,sinB=sinAab,sinC=sinAacsinBsinC=sin2Aa2bc=57.(2015河北石家庄高三质检二,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理15)在ABC中,BAC=60,AB=2,AC=3,则ABBC+BCCA+CAAB=.解析:利用余弦定理求出BC,结合数量积的定义求解.在ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=4+9-22312=7.又ABAC=|AB|AC|cos60=3,所以ABBC+BCCA+CAAB=BC(AB+CA)-ACAB=-BC2-ACAB=-7-3=-10.答案:-10(2015河北石家庄高三质检二,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理16)三棱锥中有四条棱长为4,两条棱长为a,则实数a的取值范围为.解析:当AB=AC=DB=DC=4,BC=AD=a时,易知当A与D重合,B与C重合时,a=0;当A,B,C,D在同一平面内且A,D位于直线BC两侧时,a=42,所以此时a的取值范围为(0,42);当BC=DB=DC=AD=4,AB=AC=a时,易知当A,B,C,D在同一平面内且A与D位于直线BC两侧时,a=26-22,当A,B,C,D在同一平面内且A与D位于直线BC同侧时,a=26+22,所以此时a的取值范围为(26-22,26+22).综上所述,a的取值范围为(0,26+22).答案:(0,26+22)(2015河北石家庄高三质检二,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边长,且a2-2bccos A=(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C=1,b=2,求ABC的面积.解:(1)a2-2bccosA=(b+c)2,又根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2+c2-2bccosA-2bccosA=b2+2bc+c2,化简得-4bccosA=2bc,cosA=-12,0A,A=23.(2)sinB+sinC=1,sinB+sin3-B=1,sinB+sin3cosB-cos3sinB=1,sin3cosB+cos3sinB=1,sinB+3=1.又B为三角形的内角,故B=C=6,b=c=2,SABC=12bcsinA=3.(2015河北石家庄一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理11)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形ABCD面积S的最大值为()A.30B.230C.630D.430解析:先利用余弦定理找出四边形对角之间的等量关系,再结合四边形的面积表达式转化为三角函数的最值问题来求解.连接AC,则AB2+BC2-2ABBCcosB=AD2+DC2-2ADDCcosD,即20-16cosB=34-30cosD,化简得15cosD-8cosB=7,则S四边形ABCD=SABC+SADC=12(8sinB+15sinD).令8sinB+15sinD=t,则t2=64sin2B+225sin2D+240sinBsinD,又(15cosD-8cosB)2=49,则64cos2B+225cos2D-240cosBcosD=49,两式相加得289-240cos(B+D)=t2+49,即t2=240-240cos(B+D)480,当B+D=时,tmax=430,所以S四边形ABCD230,故选B.答案:B(2015河北唐山一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理6)在直角梯形ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=2BC=2CD,则cosDAC=()A.1010B.31010C.55D.255解析:设CD=1,则BC=1,AB=2,过点D向AB作垂线,垂足为点E,则BE=AE=DE=1,AD=AE2+DE2=2,AC=AB2+BC2=5,在ADC中,由余弦定理可知CD2=AC2+AD2-2ACADcosDAC,解得cosDAC=31010,故选B.答案:B(2015江西南昌一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理6)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=1,B=45,cos A=35,则b等于()A.53B.107C.57D.5214解析:利用正弦定理求解.由题意可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=4522+