最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第十四章选修模块 (2).docx

第十四章选修模块14.1几何证明选讲专题2相似三角形的判定与性质(2015河北石家庄二中一模,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,O的半径为6,线段AB与O相交于点C,D,AC=4,BOD=A,OB与O相交于点E.(1)求BD的长;(2)当CEOD时,求证:AO=AD.(1)解:OC=OD,OCD=ODC,OCA=ODB.BOD=A,OBDAOC,BDOC=ODAC,OC=OD=6,AC=4,BD6=64,BD=9.(2)证明:OC=OE,CEOD,COD=BOD=A,AOD=180-A-ODC=180-COD-OCD=ADO,AD=AO.(2015河北石家庄一模,相似三角形的判定与性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,已知O和M相交于A,B两点,AD为M的直径,延长DB交O于点C,点G为弧BD的中点,连接AG分别交O,BD于点E,F,连接CE.(1)求证:AGEF=CEGD;(2)求证:GFAG=EF2CE2.证明:(1)连接AB,AC,AD为M的直径,ABD=90,AC为O的直径,CEF=AGD=90.DFG=CFE,ECF=GDF,G为弧BD的中点,DAG=GDF,DAG=ECF,ADG=CFE,CEFAGD,CEEF=AGGD.AGEF=CEGD.(2)由(1)知DAG=GDF,G=G,DFGADG,DG2=AGGF.由(1)知EF2CE2=GD2AG2,GFAG=EF2CE2.专题4圆周角、弦切角及圆的切线(2015河北衡水中学二模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,圆O的直径AB=8,圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E,过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P.(1)求证:BC2=ACBP;(2)若EC=25,求PB的长.(1)证明:AB为圆O的直径,ACB=90.又ACBP,ACB=CBP,ECA=P.EC为圆O的切线,ECA=ABC,ABC=P,ACBCBP,ACBC=BCBP,即BC2=ACBP.(2)解:EC为圆O的切线,EC=25,AB=8,EC2=EAEB=EA(EA+AB),EA=2.ECA=ABC,ACECBE,ACBC=EAEC=15.AB为圆O的直径,ACB=90,AC2+BC2=AB2,AC=463,由ACBP=EAEB可得PB=2063.专题5圆内接四边形的判定及性质(2015河北唐山一模,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,圆周角BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.(1)求证:BCDE;(2)若D,E,C,F四点共圆,且AC=BC,求BAC.(1)证明:因为EDC=DAC,DAC=DAB,DAB=DCB,所以EDC=DCB,所以BCDE.(2)解:因为D,E,C,F四点共圆,所以CFA=CED,由(1)知ACF=CED,所以CFA=ACF.设DAC=DAB=x,因为AC=BC,所以CBA=BAC=2x,所以CFA=FBA+FAB=3x,在等腰ACF中,=CFA+ACF+CAF=7x,则x=7.所以BAC=2x=27.(2015江西赣州高三摸底考试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C,D两点,交圆O于E,F两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于点H.(1)求证:B,D,H,F四点共圆;(2)若AC=2,AF=22,求BDF外接圆的半径.(1)证明:因为AB为圆O的一条直径,所以BFFH,又DHBD,所以B,D,H,F四点共圆.(2)解:因为AH与圆B相切于点F,由切割线定理得AF2=ACAD,代入解得AD=4,所以BD=12(AD-AC)=1,BF=BD=1.又AFBADH,所以DHBF=ADAF,由此得DH=ADBFAF=2.连接BH,由(1)知,BH为BDF外接圆的直径,BH=BD2+DH2=3,故BDF的外接圆半径为32.专题6圆的切线的性质与判定(2015河北保定一模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,已知O1与O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.(1)求证:ADEC;(2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.(1)证明:连接AB,AC是O1的切线,BAC=D,又BAC=E,D=E,ADEC.(2)解:PA是O1的切线,PD是O1的割线,PA2=PBPD,62=PB(PB+9),PB=3.在O2中,由相交弦定理得PAPC=BPPE,PE=4,AD是O2的切线,DE是O2的割线,AD2=DBDE=916,AD=12.(2015河北石家庄高三质检二,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,已知PA与圆O相切于点A,经过点O的割线PBC交圆O于点B,C,APC的平分线分别交AB,AC于点D,E,且点G是线段ED的中点,AG的延长线与CP相交于点F.(1)证明:AFED;(2)当F恰为PC的中点时,求PBPC的值.(1)证明:如图,直线PA与圆O相切于点A,PAB=C,APE=CPE,ADE=PAB+APE,AEP=C+CPE.ADE=AEP.又G是DE的中点,AFED.(2)解:直线PA与圆O相切于点A,PA2=PBPC.在PAF中,APG=FPG,由(1)知PGAF,即PGF=PGA=90,PAG=PFG,PA=PF=12PC.14PC2=PBPC,PC=4PB,PBPC=14.专题7与圆有关的比例线段(2015江西南昌一模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)选修41:几何证明选讲如图,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证:ABPC=PAAC;(2)求ADAE的值.(1)证明:PA为圆O的切线,PAB=ACB,又P为公共角,PABPCA,ABPC=PAAC.(2)解:PA为圆O的切线,PC是过点O的割线,PA2=PBPC,PC=40,BC=30.又CAB=90,AC2+AB2=BC2=900.又由(1)知ABAC=PAPC=12,AC=125,AB=65,连接EC,则CAE=EAB,ACEADB,ABAE=ADAC,ADAE=ABAC=65125=360.(2015江西南昌二模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)选修41:几何证明选讲在圆内接四边形ABCD中,AC与BD交于点E,过点A作圆的切线交CB的延长线于点F,若AB=AD,AF=18,ADBC,BC=15,求AE的长.解:AF是圆的切线,且AF=18,BC=15,由切割线定理得到AF2=FBFC182=FB(FB+15)FB=12,AB=AD,ABD=ADB,则FAB=ABD,AFBD,又ADFC,四边形ADBF为平行四边形.AD=FB=12,ACF=ADB=F,AC=AF=18,ADFC,AE18-AE=ADBC,解得AE=8.14.2坐标系与参数方程专题5参数方程与普通方程的互化(2015河北唐山一模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知椭圆C:x24+y23=1,直线l:x=-3+3t,y=23+t(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.解:(1)C:x=2cos,y=3sin(为参数),l:x-3y+9=0.(2)设P(2cos,3sin),由题可知20,t1+t2=-4(sin+cos),t1t2=4,sincos0,又0,0,2,且t10,t20.|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin+cos)=42sin+4,由0,2得+44,34,22sin+41,故|PM|+|PN|的取值范围是(4,42.(2015河北石家庄二中一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程x=1+cos,y=sin(为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin+3=33,射线OM:=3与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解:(1)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,又x=cos,y=sin,所以圆C的极坐标方程为=2cos.(2)设P(1,1),则由=2cos,=3得1=1,1=3,设Q(2,2),则由(sin+3cos)=33,=3得2=3,2=3,所以|PQ|=2.(2015河北衡水中学二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2+t,y=t+1(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P的方程为2-4cos +3=0.(1)求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程;(2)设曲线C和曲线P的交点为A,B,求|AB|.解:(1)曲线C的普通方程为x-y-1=0.曲线P的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0.(2)曲线P可化为(x-2)2+y2=1,表示圆心为(2,0),半径r=1的圆,则圆心到直线C的距离为d=12=22,所以|AB|=2r2-d2=2.(2015江西九校高三联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=-1+35t,y=-1+45t(t为参数).若以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为=2sin+4.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C所截得的弦长.解:(1)由=2sin+4得=cos+sin,两边同乘以得2=cos+sin.x2+y2-x-y=0,即x-122+y-122=12.(2)将直线参数方程代入圆C的方程得5t2-21t+20=0,t1+t2=215,t1t2=4.|MN|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=415.(2015河北石家庄高三质检二,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t(其中t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线C2的极坐标方程为cos+4=22.(1)把曲线C1的方程化为普通方程,C2的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|PF|的值.解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),联立y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0.x1+x2=6,x1x2=1,x0=x1+x22=3,y0=2.AB中垂线的参数方程为x=3-22t,y=2+22t(t为参数).y2=4x.将代入中,得t2+82t-16=0,t1t2=-16.|PE|PF|=|t1t2|=16.(2015河北石家庄一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2.(1)分别写出C1的普通方程,C2的直角坐标方程;(2)已知M,N分别为曲线C1的上、下顶点,点P为曲线C2上任意一点,求|PM|+|PN|的最大值.解:(1)曲线C1的普通方程为x24+y23=1,曲线C2的普通方程为x2+y2=4.(2)由曲线C2:x2+y2=4,可得其参数方程为x=2cos,y=2sin,所以P点坐标为(2cos,2sin),由题意可知M(0,3),N(0,-3).因此|PM|+|PN|=(2cos)2+(2sin-3)2+(2cos)2+(2sin+3)2=7-43sin+7+43sin,(|PM|+|PN|)2=14+249-48sin2.所以当sin=0时,(|PM|+|PN|)2有最大值28.因此|PM|+|PN|的最大值为27.(2015江西南昌一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的参数方程x=2cost,y=2sint(t为参数).(1)曲线C在点(1,1)处的切线为l,求l的极坐标方程;(2)点A的极坐标为22,4,且当参数t0,时,过点A的直线m与曲线C有两个不同的交点,试求直线m的斜率的取值范围.解:(1)x=2cost,y=2sint,x2+y2=2,点(1,1)在圆上,故切线l的方程为x+y=2.sin+cos=2,切线l的极坐标方程为sin+4=2.(2)y=k(x-2)+2与半圆x2+y2=2(y0)相切时,|2k-2|1+k2=2,k2-4k+1=0,k=2-3,k=2+3(舍去).设圆与x轴的左交点为B,坐标为(-2,0),kAB=2-02+2=2-2,故直线m的斜率的取值范围为(2-3,2-2.(2015江西南昌二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆O的参数方程是x=12+22cos,y=12+22sin(是参数),直线l的极坐标方程是sin-4=22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解:(1)圆O的参数方程可以化为x-12=22cos,y-12=22sin,所以圆O的直角坐标方程是x-122+y-122=12,直线l的极坐标方程可以化为22sin-22cos=22,所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由x2+y2-x-y=0,x-y+1=0得x=0,y=1,故直线l与圆O公共点为(0,1),该点的一个极坐标为1,2.(2015江西赣州高三摸底考试,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修44:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.点A,B的极坐标分别为(2,),a,4(aR),曲线C的参数方程为x=1+2cos,y=2sin(为参数).(1)若a=22,求AOB的面积;(2)设P为C上任意一点,且点P到直线AB的最小距离为1,求a的值.解:(1)SAOB=12222sin135=2.(2)依题意知圆心到直线AB的距离为3,当直线AB斜率不存在时,直线AB的方程为x=-2,显然符合题意,此时a=-22.当直线AB存在斜率时,设直线AB的方程为y=k(x+2),则圆心到直线AB的距离d=|3k|1+k2,依题意有|3k|1+k2=3,无解,故a=-22.14.3不等式选讲专题1含绝对值不等式的解法(2015河北保定一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|x-a|+1,aR.(1)当a=4时,解不等式f(x)0,n0),求证:m+2n3+22.(1)解:当x4时,2x+1-(x-4)=x+50,解得x-5,所以x4成立;当-12x0,解得x1,所以1x4成立;当x0,解得x-5,所以x1或x0,n0).所以m+2n=(m+2n)1m+1n=3+2nm+mn3+22,当且仅当m=1+2,n=1+22时取等号.(2015河北石家庄二中一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲设f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求f(x)x+2的解集;(2)若不等式f(x)|a+1|-|2a-1|a|对任意实数a0恒成立,求实数x的取值范围.解:(1)由f(x)x+2得x+20,x-1,1-x-x-1x+2或x+20,-1x1,1-x+x+1x+2或x+20,x1,x-1+x+1x+2.解得0x2,所以f(x)x+2的解集为x|0x2.(2)|a+1|-|2a-1|a|=1+1a-2-1a1+1a+2-1a=3,当且仅当1+1a2-1a0时,等号成立,由不等式f(x)|a+1|-|2a-1|a|对任意实数a0恒成立得|x-1|+|x+1|3,则x-1,1-x-x-13或-1x1,1-x+x+13或x1,x-1+x+13,解得x-32或x32.(2015河北衡水中学二模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,xR.(1)解不等式f(x)5;(2)若不等式m2-mf(x),对xR都成立,求实数m的取值范围.解:(1)原不等式等价于x32,4x-45.解得-14x12或12x32或32x94,因此不等式的解集为-14,94.(2)f(x)=|2x-1|+|2x-3|2x-1-(2x-3)|=2,m2-mf(x)min=2m2-m-20-1m2.(2015河北石家庄高三质检二,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲已知f(x)=3x+1a+3|x-a|.(1)若a=1,求f(x)8的解集;(2)对任意a(0,+),任意xR,f(x)m恒成立,求实数m的最大值.解:(1)当a=1时,由f(x)8得|3x+1|+3|x-1|8,当x-13时,-(3x+1)-3(x-1)8,x-1,x-1;当-13x1时,3x+1-3(x-1)8,无解;当x1时,3x+1+3(x-1)8,x53.综上所述,f(x)8的解集为x(-,-1)53,+.(2)f(x)=3x+1a+3|x-a|3x+1a-(3x-3a)=1a+3a23m.当且仅当1a=3a,即a=33时,等号成立,所以m的最大值为23.(2015河北石家庄一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|-m的定义域为R.(1)求实数m的取值范围;(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足23a+b+1a+2b=n时,求7a+4b的最小值.解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m0恒成立.设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值.又|x+1|+|x-3|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,所以m4.(2)由(1)知n=4,所以7a+4b=(7a+4b)23a+b+1a+2b4=(6a+2b+a+2b)23a+b+1a+2b4=5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b45+44=94.当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=310时,等号成立.所以7a+4b的最小值为94.(2015河北唐山一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|.(1)当a=1时,解不等式f(x)3;(2)若f(x)的最小值为1,求a的值.解:(1)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=-3x,x-1,-x+2,-1x12,3x,x12.且f(1)=f(-1)=3.所以f(x)3的解集为x|-1x1.(2)|2x-a|+|x+1|=x-a2+|x+1|+x-a21+a2+0=1+a2.当且仅当(x+1)x-a20且x-a2=0时,等号成立.所以1+a2=1,解得a=-4或a=0.(2015江西南昌一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=x|x-a