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文档简介
弦切角的性质学习目标:1.理解弦切角的概念;2.掌握弦切角定理及推论,并会运用它们解决有关问题;3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.教学重点和难点弦切角定理及其应用是重点; 弦切角定理的证明是难点.教学过程:一、创设情境,以旧探新1.提问:什么样的角是圆周角?2.圆周角CAB,让射线AC绕点A旋转,产生无数个圆周角,当AC绕点A旋转至与圆相切时,停止旋转,得BAE.(图7-132) 思考:这时BAE还是圆周角吗?为什么?归纳总结出弦切角的特点: (1)顶点在圆周上; (2)一边与圆相交; (3)一边与圆相切.3.弦切角定义: 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角. 4.判断下列各图形中的角是不是弦切角,并说明理由: (图7-133)由此发现,弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部; (2)圆心在角的一边上; (3)圆心在角的内部. 二、观察联想、发现规律1.当弦切角一边通过圆心时,(如图7-135) (1)弦切角CAB是多少度?为什么? (2)CAB所夹弧所对的圆周角D是多少度?为什么? (3)此时,弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?观察图形,不难发现,此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角. 2.以A为端点.旋转AC边,使弦切角增大或减小,观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系,猜想:弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图7-134) 三、类比联想,尝试论证 1.回忆联想: (1)圆周角定理的证明采用了什么方法? (2)既然弦切角可由圆周角演变而来,那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? 2.前面证明了特殊情况,下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况. 讨论:怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图7-136(1),圆心O在CAB外,作O的直径AQ,连结PQ,则BACBAQ-1APQ-2APC.如图7-136(2),圆心O在CAB内,作O的直径AQ,连结PQ,则BACQAB+1QPA+2APC. 你能写出完整的证明过程吗? 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.3.看书并思考:课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同? 四、巩固知识、初步应用 例1(课本) 如图7-139,已知AB是O的直径,AC是弦,直线CE和O切于点C,ADCE,垂足为D. 求证:AC平分BAD.思路一:要证BACCAD,可证这两角所在的直角三角形相似,于是连结BC,得RtACB,只需证ACDB.(图7-139) 证明:(学生自己完成证明) 思路二:连结OC,由切线性质,可得OCAD,于是有13,又由于12,可证得结论.(图7-140) 思路三:过C作CFAB,交O于F,连结AF.由垂径定理可知13,又根据弦切角定理有21,于是23,进而可证明结论成立.(图7-141)课堂练习: 1.如图7-142,AB为O的直径,直线EF切O于C,若BAC56,则ECA 度. (口答) 2.AB切O于A点,圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31,则夹劣弧的弦切角BAC . 3.已知:经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C. 求证:ATCTBC. 五、归纳小结在证明弦切角定理时,我们是从特殊情况入手,通过猜想、分析、证明和归纳,从而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程,逐步学会用运动变化的观点观察问题,进而理解从一般到特殊,从特殊到一般的认识规律.学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦切角进行分类和如何进行分类. 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.六反馈练习练习1 直线AB和圆相切于点P,PC,PD为弦,指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧.(图7-137) 练习2 如图7-138,DE切O于A,AB,AC是O的弦,若ABAC,那么DAB和EAC是否相等?
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