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包头职业技术学院教案课程高等数学授课班级周次课次日期课题导数与微分教学目的1)理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系；2)熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本形式；3)了解高阶导数的概念；能熟练的求初等函数的一阶导数，掌握隐函数的一阶导数。重点难点1）导数与微分的概念，导数的基本形式及复合导数求导；2）复合导数求导。教具作业教学内容、课时分配与教学方法设计2.1导数的概念（2学时）2.2函数的和、差、积、商的求导法则 （1学时）2.3复合函数的求导法则 （2学时）2.4高阶导数 （1学时）2.5隐函数及参数方程所确定的函数的求导法 （2学时）2.6函数的微分（2学时）第2章 导数与微分本章主要内容：1.导数的概念2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则4.高 阶 导 数5.函数的微分基 本 要 求： 1.理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系； 2. 熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本形式；3.了解高阶导数的概念；能熟练的求初等函数的一阶导数。教学内容：2.1 导数的概念2.1.1两个实例1. 平面曲线的切线xoTL图2-1定义1设曲线L上有一个定点及一个动点Q，作割线，当Q点沿曲线L 移动并趋近于点时，如果这条割线的极限位置存在，那么处于极限位置的直线就叫做曲线 L在点处的切线，定点叫做切点（如图21所示）下面讨论切线斜率的求法设曲线的L的方程为（见图2-2），求曲线在点处的切线斜率0 图2-2设Q点坐标为，割线的倾斜角为，于是割线的斜率为当时，Q点沿曲线L趋近于点，割线的倾斜角为就趋近于切线的倾斜角。于是割线的斜率的极限（如果存在）就是曲线L在点切线的斜率，即 2.变速直线运动的速度 引例2.设物体做变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求物体在t0时刻的瞬时速度。 在时刻t0给时间t以增量 t ，求得 t 这段时间内的路程增量为 在这段时间内平均速度为 令t 0，求平均速度的极限，便得到物体在给定时刻t0的速度为2.1.2导数的定义上面的两个实例，其实际意义虽然不同，但它们在数学上都归结为求函数的增量与自变量之比，当自变量的增量趋近于零时的极限这种类型的极限在自然科学和工程技术的许多问题中都会遇到如果抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们在数量关系方面的共同性质，就得出函数的导数定义定义2设函数在点及其近旁有定义，当自变量在有增量时，函数有相应的增量 如果当时，的极限存在，则称在点处的导数存在或可导，这个极限值就称为函数在点处的导数，记为，即 （2-1）也可以记为，如果（2-1）式的极限不存在，则称函数在点处导数不存在或不可导如果函数在区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数在区间（a,b）内可导。这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都有唯一的导数值与之对应,所以也是x的函数，称它为的导函数，记为： ，区间（a, b）称为函数的可导区间，于是导函数的定义为 ，显然，函数在点的导数就是导函数在点的函数值，即 =，以后，在不引起混淆的情况下，导函数也简称导数有了导数的定义之后，前面所讨论的两个实例就可叙述为：变速直线运动在时刻的瞬时速度是路程对于时间的导数，即，这就是导数的物理意义曲线在点处的切线的斜率是函数在点处的导数，即，这就是导数的几何意义于是当存在时，过曲线上一点的（其中）切线方程及法线方程分别为及2.1.3利用定义求函数的导数根据导数的定义，求函数的导数可分为以下三个步骤：(1) 求函数的增量：；(2) 计算比值：；(3) 取极限，得所求函数的导数： 例1 求函数（为常数）的导数解（1）求增量：因为，即不论取何值，的值总等于，所以 （2）算比值：（3）取极限：这就是说，常数的导数等于零，即 （为常数）。 （2-2）例2 求函数的导数 解(1) .(2) .(3) ,即 例3 已知函数，求，解 设，则（1） （2） （3），即 于是 例4求函数的导数解（1） （2） （3） 即 从上面几个幂函数的求导例子，可以看出它们的共同特点是：把原来函数的幂指数降低一次，并且乘以原来的幂指数，就得到原来函数的导数。这个规律适用于一般的幂函数，即幂函数（为任何实数）的导数公式为 （2-3）例5求正弦函数的导数。解（1）（2）（3） ，即 （2-4）用类似的方法，可求得余弦函数的导数为 （2-5）例6 求曲线上哪一点处的切线与直线平行？并求该曲线在点 （4，8）处的切线方程和法线方程解根据导数的几何意义，曲线在任意一点处的切线斜率为而直线的斜率为6，由两直线平行的条件知 解之，得，将其代入曲线方程中得，所以曲线在点处的切线和直线平行又因为曲线过点（4，8）的切线斜率为所以曲线在点（4，8）处的切线方程为即 法线方程为即 2.1.4 函数的可导与连续的关系定理1 如果函数在点处可导，那么函数在点处一定连续证因为在点处可导，则 又由函数、极限与无穷小的关系知（其中是当时的无穷小），即 从而 由函数连续的定义知，函数在点处连续应当指出，一个函数在某点连续，但在该点的导数却不一定存在例如，函数在点处连续，但它在点却不可导，这是因为在点处有 ，图2-3 而当时，当时，。所以，函数在处的导数不存在（见图2-3）.从导数的几何意义来说，曲线在点（0，0）处的切线的斜率不存在2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 前面我们根据导数的定义得到了常数、幂函数、正弦函数、余弦函数的导数公式，但对于比较复杂的函数，根据定义来求它们的导数往往比较困难为了迅速、准确地求出初等函数的导数，需要建立导数的基本运算法则2.2.1 函数和、差的求导法则定理1如果函数和都在处可导，则在处也可导，且 （2-6）证设，则（1） （2）（3）由已知条件，及极限的运算法则，得 即 同理，可证 这就是说，两个函数和（或差）的导数等于各个函数导数的和（或差），这个法则对于有限个函数也成立，即例1求函数的导数解 2.2.2 函数积的导数定理2如果函数都在点处可导，则乘积在点处也可导，且 （2-7）证设，则（1）（2）（3）由已知条件，及极限的运算法则，得 因为函数在点处可导所以它在该点连续。因此当时，于是有 =，即 定理2 表明:两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数的乘以第二个函数的导数。特殊地，当等于常数时，有 （2-8）这表明：求导数时，常数因子可以提到导数记号的前边例2求函数的导数。（其中为常数）解 例3求函数的导数解 例4设，求和。解= = =2.2.3函数商的求导法则定理2如果函数都在点处可导，并且，则商在点处也可导，且 （2-9）证明略定理3 表明:两个函数的商（分母不为零）的导数等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，然后除以分母的平方。特殊地，当时，有 （2-10）例5求下列函数的的导数： （1）； （2）解（1）=（2）例6求正切函数的导数和正割函数的导数解（1）因为，所以 =即 （2-11）同理，可求余切函数的导数为 （2-12） （2）因为，所以 =即 （2-13）同理，可求余割函数的导数为 （2-14）2.3复合函数的求导法则引言：复合函数的求导，是函数求导中经常遇到的问题例如，要求函数的导数，是否能导数公式得出呢？事实上，用乘法的求导法则算出它的导数为 = = = =显然，原因在于函数不是的基本初等函数，而是一个复合函数因此，需要建立复合函数的求导法则定理1如果函数在处可导，而函数在对应的处也可导，那么复合函数也在处可导，且有 （2-15）证当自变量有一增量时，函数有相应的增量，从而函数也相应的有增量假设，这时因为在处可导，故在处连续，即当时，于是便有即 当时，也可推出上式成立，因此不论或均有成立这表明：复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数复合函数的求导公式通常也可以写成 或，其中，记号表示函数对的导数，其下标可省略不写；记号表示函数对的导数；记号表示对的导数例1 求函数的导数解设，则函数可以看成由和复合而成的，因此 = = =注意：复合函数求导后，需要把引进的中间变量换成原来自变量的表达式例2 求函数的导数解设，则函数可以看成由和复合而成的，因此 = = =例3 求函数的导数。解设，则函数可以看成由，和复合而成的，因此 = = = =通过上面的例子可知，运用复合函数的求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或多项式的形式，然后运用复合函数求导法则和适当的导数公式进行计算。当对复合函数的分解比较熟练之后，就不必再写出中间变量，只要把中间变量所代替的式子默记在心，直接由外往里，逐层求导便可。反函数的求导：例4 求下列函数的导数 （1） （）； （2）解 （1）因为，则等式两边都对求导（注意：这里是的函数，所以是的复合函数），得从而 又因为，所以，即有 于是得反正弦函数的求导公式 （2-16）用类似的方法，可得反余弦函数的导数公式 （2-17）（2）因为，则等式两边都对求导，有即 于是得反正切函数的导数公式 （2-18）同理可得反余切函数的导数公式 （2-19）例5 求下列函数的导数（1） （2） （3） （）解（1） =（2） = =（3） 2.4 初等函数的导数、基本初等函数的求导公式 这一节我们将推导对数函数指数函数的导数公式，并将基本初等函数的导数公式和函数的求导法则作归纳总结，从而解决初等函数的求导问题。2.4.1 对数函数的导数设对数函数 （），则给自变量以增量，相应地有 由极限及对数函数的连续性，得= = = =即 = （2-20）这就是对数函数的导数公式。特殊地，当时，有= （2-21）例1 求下列函数的导数：（1）（2）（3）解 根据对数函数的导数公式和复合函数的求导法则，得（1） =（2）（3）先利用对数运算法则将函数变形，有 =，然后求导，则 = =例2 证明：=，证（1）当时，所以有 = （2）当时，从而有 = 综上所述，对于任意的，都有= 特殊的，当时，有例3 求函数在点处的导数解 因为 =所以则2.4.2 指数函数的导数设指数函数（），两边取自然对数，有 两边对求导，并由复合函数的求导法则，得 从而 ，即得指数函数的导数公式 = （2-22）这种先取对数再求导数的方法叫做对数求导法。特殊地，当时，有 = （2-23）例4 求下列函数的导数：（1）（2）（3）解（1） =（2） （3） 到此为止，我们从函数的导数的定义出发，推导出了基本初等函数的导数公式函数的和、差、积、商的求导法则，从而解决了初等函数的求导问题这些公式和法则都是求导运算的基础，必须熟练掌握现归纳如下：2.4.3 基本初等函数的求导公式（1） （为常数）（2） （为常数）（3）（4）（5）= （6）= （7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）2.4.4函数的和、差、积、商的求导法则设函数和都在处可导，则（1） （2） （3） （4） （5） 2.4.5 复合函数的求导法则设和在处均可导，则复合函数也在处可导，且有 或 2.5 高 阶 导 数2.5.1 高阶导数的概念一般情况下，的导数仍然是的函数，那么对于导函数就可以对再进行求导定义1 若函数的导数仍然是可导，则的导函数叫做的二阶导数，记为 ，即 ， 相应的，函数的导数叫做的一阶导数类似的，函数的二阶导数的导数叫做的三阶导数，三阶导数的导数叫做的四阶导数一般的，的阶导数叫做的阶导数，它们分别记为，或，或，二阶或二阶以上的导数称为高阶导数由此可知，求高阶导数并不需要什么新的方法，而只需要进行多次通常的求导运算例1 求下列函数的二阶导数：（1） （2）（3） （4）解 （1），（2） （3） （4） 例2 求证:函数,满足关系式。证因为，则，所以 =0例3求下列函数的阶导数：（1） （2）（3） 解 （1） 以此类推，可得（2） = 以此类推，可得 = =（3）= = = =以此类推，可得=由例3可知，求函数的阶导数时，为了使阶导数的表达形式具有一定的规律性，在求导过程中应注意归纳各阶导数表达形式的共同规律2.5.2 二阶导数的力学意义由导数的物理意义可知，若物体做变速直线运动，其运动方程为，则物体在时刻的瞬时速度为此时，速度仍是时间的函数，因而我们可以求速度对时间的导数 =这个导数是速度对时间的变化率，它反映了速度变化的快慢程度。在力学中，把它叫做运动物体在给定时刻的加速度。因此，物体做变速直线运动的加速度就是路程对时间t的二阶导数，即这就是二阶导数的力学意义.例已知作直线运动的物体的运动方程为所以则物体在时的速度和加速度，分别为2.6 隐函数及参数方程所确定的函数的求导法2.6.1 隐函数及其求导法前面研究的函数，诸如，等，因变量可以写成含有自变量的明显表达式的函数叫做显函数，如果因变量与自变量的关系隐藏在某个方程中，那么这种由含和的方程所确定的函数叫做隐函数，例如：，等。有的隐函数可以显化，有的则不能。在求导过程中，将方程两端同时对自变量求导，把看成是的函数，遇到的函数就看成的复合函数，然后从所得的关系式中解出，即得所求隐函数的导数。下面举例说明隐函数求导法：例1 求由下列方程所确定的隐函数的导数（1）（2）解 （1）将方程两端同时对求导，把看成的复合函数，得： （2）两端同时对求导，得：， 例2求由方程所确定的曲线上一点处的切线方程。解两端同时对求导，得：，故曲线在点处的切线斜率为切线方程为2.6.2 形如的函数 函数，这里和均为可导函数，我们称之为幂指函数，虽然为显函数但直接求它的导数很困难，求导时可将对数求导法和隐函数求导法结合起来使用。例3 求下列函数的导数（1）（2）解（1） 两边取对数 两端同时对求导，得 （2） 两边取对数 两端同时对求导，得 有些函数使用对数法求导可以使运算更简便例4求函数解两边取对数 两端同时对求导，得 2.6.3 由参数方程所确定的函数的求导法参数方程 （*），确定了是的函数，一般情况下求参数方程中函数对的导数，要想消去参数往往很困难，因此我们寻求一种直接由参数方程（*）来计算对的导数的方法设x=和y=分别有导数，且，那么由导数的定义，得，另一方面，有等式，由可导与连续的关系及函数连续定义可知0 . （2-24）例4已知摆线的参数方程为求摆线在t=处的切线方程.解由参数方程的求导公式，可知=，则摆线在t=处的切线的斜率为K=cot=.又知当t=时，摆线上相应的点的坐标为x=a()=a(),y=a(1-cos)=a(1-)=,所以摆线在t=处的切线方程为y-=,3x-. 图2-4 例5以初速度v,发射角a发射炮弹（如图2-4所示），其运动方程为 求炮弹在任何时刻的运动速度的大小和方向.解先求沿轴、轴方向的分速度和,即= =,则炮弹运动的速度（即合速度）的大小为 =.炮弹运动的速度的方向，就是弹道切线的方向。设为切线的倾斜角，则由导数的几何意义可知tan2.8 函数的微分 微分与导数有着密切的联系，是以后学习积分和微分方程的基础.本节我们将介绍微分的概念及其运算。X图2-5x0x2.8.1 微分的概念在实际问题中，常常要考虑当自变量有一微小改变量时，相应的函数有多大变化的问题.例如： 一块正方形金属薄片，当受冷热影响时，其边长由变到（见图2-5），问此薄片的面积改变了多少？若用表示面积，表示边长，则。正方型金属薄片受冷热影响所改变的面积，可以看成是当自变量在有增量时，函数相应的增量，从上式可以看出，由两项组成，当时，第一项与是同阶的无穷小，第二项是较高阶的无穷小.因此，当很小时，第一项是的主要部分，第二项是的次要部分，若略去这个次要部分，就得到的近似表达式，此时，所产生的误差为，它是一个当时，较高阶的无穷小，显然越小，的近似程度就越好.由图2-6所示可知，面积的增量本来是图中有阴影部分的面积，现在用带有斜线的两块矩形面积来代替面积的增量，所略去的仅仅是一块较小的正方形面积.由于则下面说明，这种表示函数增量的简单关系对于一般函数也是成立的.设函数在点处可导，则根据函数、极限与无穷小的关系，得其中是时的无穷小，于是 ， （2-25）（2-26）式表明，函数的增量是由和两项组成，当时，由知与是同阶的无穷小，又由可知是较高阶的无穷小.因此，在函数的增量中，起着主要作用的是，它与仅相差一个较高阶的无穷小.所以可以说，是的主要部分，又由于是的线性函数，所以通常把叫做的线性主部由以上讨论可知，当很小时，可用函数增量的线性主部来近似代替函数的增量，即定义1设函数在点处可导，则称为函数在点的微分，记作或，即， （2-26）并且说函数在点可微.一般地，函数在任意点处的微分叫做函数的微分，记作或，即.因为函数的微分，所以有这说明，自变量的微分等于自变量的增量.因此，函数的微分又可写成 （2-27）从上式还可看出来，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.因此，导数又称为微商.例1 求函数处的微分和增量.解 先求函数在任意点处的微分，即则函数在的微分为,增量为 由上例及前面的讨论可知，当很小时，函数在点处的增量可用函数的微分来代替，即 （2-28）由（2-28）式得 （2-29）上式中令，则（2-29）也可写成 在实际应用中，常用公式（2-28）来计算函数增量的近似值，用公式（2-29）来计算函数在点附近的近似值.例2 计算的近似值解：设，取，因为，=所以由公式可得 =例3 求下列各函数的微分： （1） （2）解 （1） （2） 当函数在点处有微分时，我们就说函数在点处可微.当在内的每一点都可微时，就说在内可微.根据微分的定义可知，一个可微函数一定可导，可导也一定可微. 2.8.2 微分的几何意义函数的图像如图2-7所示，过曲线上点它的倾斜角为，则由导数的几何意义可知，切线的斜率当自变量有一微小增量时，相应地，曲线上的点的纵坐标就有一增量此时曲线在点的切线的纵坐标也得到相应的增量且由此可知，函数的微分，就是曲线在点处的切线的纵坐标对应于的增量，这就是微分的几何意义.函数的微分，可能小于函数的增量，如图2-6所示；也可能大于函数的增量，如图2-7所示.图2-6图2-72.8.3微分公式与微分运算法则根据函数微分的定义可知，从导数的基本公式和法则就可以直接推出微分的基本公式和法则.1微分的基本公式（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）2. 函数的和、差、积、商的微分法则设和都是的可微函数，为常数，则（1） （2） （3） （4） （5） 2.8.4 微分形式的不变性根据微分的定义，函数的微分是 （2-30）如果不是自变量，而是的可微函数，那么根据复合函数的求导法则及微分的定义，可得复合函数的微分因为这里是中间变量，这个结果与（2-30）式在形式上完全一样.这就表明：无论是自变量还是中间变量，函数的微分总保持同一形式，这一性质叫做微分形式的不变性.例4 求微分.解1 根据微分的定义，有 解2 根据微分形式的不变性，有 例5 求的微分 解1 根据微分的定义，有 解2 根据微分形式的不变性，有 例6 利用微分形式的不变性，求的微分. 解 = = =例7 在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立。 （1） = （2） =解 （1） =一般的，有 （2） =一般的，有= 包头职业技术学院教案课程高等数学授课班级周次课次日期课题导数的应用教学目的1)理解拉格朗日中值定理，会判断函数的单调性；2)理解函数极值的概念，会求函数的极值，并能解决一些最值应用的简单问题；3)掌握曲线的凹凸性判定法及拐点求法；4）掌握及型的罗必达法则。重点难点1）判断函数的单调性、求函数的极值、判定曲线的凹凸性；2）最大值、最小值的应用问题。教具作业教学内容、课时分配与教学方法设计3.1拉格朗日中值定理与罗尔定理（1学时）3.2函数的单调性与极值 （1学时）3.3函数的最大值与最小值 （2学时）3.4曲线的凹凸性与拐点 （1学时）3.5罗必达法则 （1学时）第3章 导数的应用本章主要内容：1. 拉格朗日中值定理 2. 函数的单调性与极值 3. 函数的最大值与最小值 4. 曲线的凹凸性与拐点基本要求：1. 理解拉格朗日中值定理 2. 会判断函数的单调性，会求函数的极值； 3. 能解决一些最值应用的简单问题； 4. 掌握曲线的凹凸性判定法及拐点求法。教学内容：3.1 拉格朗日中值定理与罗尔定理3.1.1 拉格朗日中值定理为了能利用导数知识来研究函数在区间上的某些性质，首先引进微分学中十分重要的拉格朗日中值定理定理3.1： 如果函数满足OyxAB(1) 在闭区间上连续(2) 在开区间内可导，那么在区间内至少有一点，使得 从图3.1可以看出图像在区间(a,b) 内至少有一点，这一点的切线斜率 正好等于两端点连线AB的斜率，即推论如果函数在区间内的导数恒为零，那么在区间内是一个常数证在内任取两点 ，由拉格朗日中值定理可得： 由已知得 即 由的任意性表明：函数在区间内所有点的函数值是相等的，即为一个常数。例1验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性解在区间上连续，在区间内可导，所以满足中值定理的条件，又因为. ，若设则有： 其中， 在区间内，即当 时能使成立3.1.2 罗尔定理定理3.2如果函数满足下列条件：OyxAB(1)闭区间上连续(2)在开区间内可导(3) 那么在内至少存在一点，使得(我们从两个函数的图像直观地了解罗尔定理的条件)证由拉格朗日中值定理有 即 0即在内至少存在一点，使得.当然，从图象上也可直观地观察到罗尔定理.由图3.2例2验证罗尔定理对函数在区间上的正确性证因为在上连续，在内存在，且所以在上满足罗尔定理的三个条件.令,得，其中在区间内，即在内有一点，能使0，因此罗尔定理对函数在区间上是正确的.3.2 函数的单调性与极值3.2.1 函数单调性的判定前面我们已经介绍过函数在区间上单调的概念，现在我们利用导数来研究函数的单调性.OyxABOyxAB图3-3OyxAB 图3-4由图3-3可以看出，如果函数在区间上单调增加，那么它的图象是一条沿着轴正向上升的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率都是正的，即，同样由图3-4可以看出，如果函数在上单调减少，那么它的图象是一条沿轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，它们的斜率都是负的，即.由此可见，函数的单调性与导数的符号有关.下面我们研究相反的问题，就是由函数的导数的符号来判定函数的单调性.设函数在上连续，在内可导，在上任取两点， (不妨设)，应用拉格朗日中值定理，得： ，在上式中，由于，因此 ，如果在内都有，那么也有，于是，即也就是说，函数在上单调增加同理，如果在内都有，那么，于是即也就是说，函数在上单调减少归纳以上讨论，得出如下函数单调性的判定定理.定理1设函数 在上连续，在内可导(1) 如果在内，那么函数 在，上单调增加(2) 如果在内，那么函数 在上单调减少上述定理中的闭区间若为开区间或无限区间，结论也同样成立.例1判定函数的单调性解因为函数的定义域为，它的导数，对于任意不等于零的，恒为正值.所以，据函数的单调性的判定定理可知在和内都是单调增加. 为了清楚起见，我们把上述讨论的结论列表3-1(表中表示单调增加；表示单调减少).表3-1+例2判定函数的单调性解函数的定义域为，它的导数为.当时，因而；当时，因而；又当，因而.因为在内连续可导，列成表3-2 即函数在内单调减少，在内单调增加.其中，是单调减少区间与单调增加区间的分界点.表3-20-0+ 从上面的例子我们注意到，有些函数在某个区间上的个别点导数为零，但函数在该区间内仍为单调增加(或单调减少)，如例1中的函数；而某些函数在定义域上不是单调的，但令，就可以求出划分单调区间的分界点.3.2.2函数的极值1. 函数极值的定义定义如果对附近任意都有：成立，则为极最大值；若成立，则为极最小值 如图：OyxOyx 函数的极大、极小值统称为极值，使函数取值极值的点为极值点，函数的极值就是局部性的，它只限于的某一领域内，通过函数值相比较才能显示出来，在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值，可能会有极大值小于极小值. 现在我们来谈论一下，极值点和导数的关系定理1若是函数的极值点，则或不存在证以为极大值为例设为某领域内异于的任一点，则，于是：当时，当时，若函数在处可导，则有：所以这时必有，若函数在处不可导，便是定理所叙述的结论.但在这里定理1的逆定理是不成立的，即使有或不存在，函数在处不定是极值点，如：， 但在定义域上为单调递增函数无极值点.2.函数极值的判定和求法凡是使为0的点叫做函数 的驻点，对可导函数而言，极值点必为驻点，驻点不一定是极值点，或者说成：是函数取得极值点的必要条件，但不充分。对驻点而言，其是否为极值点必须进行判定，于是我们就有了极值的判定定理。定理2设函数在点的某一领域内可导，且(1)当时，；当时，则函数在点处取得极大值(2) 时，；当时，则函数在点处取得极小值(3)当从的左侧变化到右侧时，不变号，则在处无极值.例1求函数的极值解 令得驻点 ， 列表可清晰得到结论02极值极值 当时,取得极小值 当时,取得极大值根据上面的两个定理，求函数的极值点和极值我们可按以下步骤进行：(1) 求出函数的定义域(2) 求出导数 (3) 在定义域内求出驻点与导数不存在的点(4) 用上述点将定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内的符号，利用定理2判定这些点是否为极值点，如果是极值点，确定是极大值点还是极小值点.例2求函数的极值解函数定义域为且 =令 得 ,且时导数不存在，列表考察的符号0+不存在-0+极值极值由表可知，函数的极大值，极小值为3.3 函数的最大值与最小值在实际问题中，为了发挥最大的经济效益，往往要求在一定的条件下，提高生产效率，降低成本，节约原料。解决这一类问题就需要用到函数的最大值和最小值的知识。这一节我们将在函数极限的基础上，讨论如何求函数的最大值和最小值假定函数在闭区间上连续，则必存在最大、最小值，其确定方法为：(1) 计算出端点处的函数值， (2) 求出区间内使及不存在的所有点的函数值(3)比较其中最大的就是上的最大值，最小的就是函数在的最小值.例1求函数在上的最大值和最小值解 令，在上得到驻点， 由于 比较可得在上的最大值,最小值如果函数在一个开区间内可导且存在唯一极值点，那么当为极大值时，就是在该区间上的最大值(图3.31) 当是极小值，就是在该区间上的最小值（图3.32），该结果对于无穷区间也同样适用.yyxOx 图3.31 图3.32例2求函数的最大值解函数的定义域为且令得驻点，因为当时，；当时，所以在处函数有极大值.由于函数在内只有一个极值点，所以函数的极大值就是函数的最大值，最大值为在利用导数解决最大值和最小值实际问题时，若所建立的函数在区间内只有一个驻点(一般地，实际问题 通常只有一个驻点，即所谓“单峰”问题)，且从实际问题可知，在内必定有最大值或最小值,那么就是所求的最大值或最小值.例3将边为a 的正方形四角截去四个相等的小正方形然后折成一个无盖的盒，问小正方形边长为多少时能使盒的容积最大？x 解如图，设所截小正方形的边长为，则折成的盒子的体积为： a 令在区间内只有一个驻点，在时，在时， 时，V 有最大值为.例4设工厂A到铁路线距离为20公里，垂足为B，铁路线上距离B100公里处有一原料供应站C，现从BC间某处D向工厂A修一条公路，使从C运货到A运费最省，问D应选在何处？(已知每公里铁路与公路运费之比为3：5)解如图：设公里，铁路每公里运费为a,则公路每公里运费为，于是总运费为： 令 得：为唯一驻点，依题意必存在极小值，所以当D距B15公里时，使运费最低.注：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数确有最大值或最小值，而且一定在定义域内部取得，这时如果在定义域只有一个驻点，就不必讨论是最大或最小值.例5如图3.33电路中，已知电源电压为E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率最大？解有电学知识可知，消耗在负载电阻R上的功率为,其中I是回路中的电流.rRI根据欧姆定律为，有，代入上式得,问题归结为：当R取何值时，P在上取得最大值 图3.33求导数：令得 , 则由于在内函数P只有个驻点,所以当时，输出功率最大3.4 曲线的凹凸性与拐点3.4.1 函数的凹凸性若曲线呈现形状(见图4.13)，我们称曲线弧为凸；若曲线呈现形状(见图4.14)，我们称曲线弧为凹.OyxOx 图3-13 图4-14那么曲线弧的凹凸性与导数之间关系如何呢？对于凸形，曲线弧位于曲线上任意一点切线的下方，对于凹形，曲线弧要位于曲线上任意一点切线的上方. 我们就以此作为曲线凸凹性的定义，如果按定义来判断曲线的凸凹性是十分困难的，对于曲线的凸凹，我们可以用二阶导数的符号来确定，即有判定定理： 定理设函数在区间上具有二阶导数(1) 当时，则曲线弧为凸(2) 当时，则曲线弧为凹我们可以通过图形直观地说明该定理的正确性.若曲线呈凸状，由图4.13直观地看出：当自变量增大时，切线的斜率随之变小，说明一阶导数在上为一减函数，由函数单调性判别法，必有，即，说明：若曲线弧为凸，必有，同理我们有：若曲线弧为凹，必有，把二者合在一起，可以说成，若曲线弧为凸，曲线弧为凹