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文档简介

第五节 一 被积函数含参变量的积分 二 积分限含参变量的积分 含参变量的积分 第八章 一 被积函数含参变量的积分 上的连续函数 则积分 确定了一个定义在 a b 上的函数 记作 x称为参变量 上式称为含参变量的积分 含参积分的性质 定理1 连续性 上连续 则由 确定的含参积分在 a b 上连续 连续性 可积性 可微性 证 在闭区域R上连续 所以一致连续 即 只要 就有 就有 这说明 定理1表明 定义在闭矩形域上的连续函数 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的 同理可证 续 则含参变量的积分 由连续性定理易得下述可积性定理 定理2 可积性 上连续 同样 推论 在定理2的条件下 累次积分可交换求积顺序 即 定理3 可微性 都在 证 令 函数 因上式左边的变上限积分可导 因此右边 且有 此定理说明 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时 求导与求积运算是可以交换顺序的 例1 解 由被积函数的特点想到积分 例2 解 考虑含参变量t的积分所确定的函数 显然 由于 故 因此得 二 积分限含参变量的积分 在实际问题中 常遇到积分限含参变量的情形 例如 为定义在区域 上的连续函数 则 也是参变量x的函数 其定义域为 a b 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质 定理4 连续性 上连续 则函数 证 令 则 由于被积函数在矩形域 上连续 由定理1知 上述积分确定的函数 定理5 可微性 都在 中的可微函数 则 证 令 利用复合函数求导法则及变限积分求导 得 例3 解 例4 分小时 函数 的n阶导数存在 且 证 令 在
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