河南省信阳高中高一数学上学期12月月考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年河南省信阳高中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=x|x2=x，n=x|lgx0，则mn=（）a0，1b（0，1c0，1）d（，12如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（） x45678910y15171921232527a一次函数模型b二次函数模型c指数函数模型d对数函数模型3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）ay=by=excy=x2+1dy=lg|x|4用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）abc20d5已知函数f（x）的定义域为0，2，则的定义域为（）ax|0x4bx|0x4cx|0x1dx|0x16函数f（x）=log3x8+2x的零点一定位于区间（）a（5，6）b（3，4）c（2，3）d（1，2）7若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（）abcd8函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c09如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中bm与ed成 45角nf与bm是异面直线cn与bm成60角dm与bn是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（）a1个b2个c3个d4个10已知定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）aabcbacbccabdcba11已知偶函数y=f（x）在区间1，0上单调递增，且满足f（1x）+f（1+x）=0，下列判断：f（5）=0；f（x）在1，2上是减函数；f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在x=0处取得最大值；f（x）没有最小值其中判断正确的序号是（）abcd12已知符号函数sgnx=，f（x）是r上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）asgng（x）=sgnxbsgng（x）=sgnxcsgng（x）=sgnf（x）dsgng（x）=sgnf（x）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上13已知长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的体对角线的长为14已知函数f（x）=alnx+blgx+2，且，则f（2009）的值为15若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是16已知f（x）是定义在r上的偶函数，且当x0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）f（t1）0恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2012信阳一模）记函数f（x）=的定义域为a，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为b（1）求a；（2）若ba，求实数a的取值范围18（12分）（2015秋信阳月考）已知函数f（x）=lg（1x）+lg（1+x）+x42x2（）判断函数f（x）的奇偶性；（） 设1x2=t，把f（x）表示为关于t的函数g（t）并求其值域19（12分）（2013秋宜昌期末）现有a，b两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是p和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中p与x平方根成正比，且当x为4（万元）时p为1（万元），又q与x成正比，当x为4（万元）时q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资（）分别求出p，q与x的函数关系式；（）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？20（12分）（2015秋成都期中）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kr）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+;frac12x+m2x1，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由21（12分）（2014秋邢台期末）已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x0，4时，f（x）=2|xm|+n，且f（2）=6（1）求m，n的值；（2）当x0，4时，关于x的方程f（x）a2x=0有解，求a的取值范围22（12分）（2015秋信阳月考）设f（x）=x2+bx+c（b、cr）（）若f（x）在2，2上单调，求b的取值范围；（）若f（x）|x|对一切xr恒成立，求证：b2+14c；（）若对一切满足|x|2的实数x，都有f（x）0，且的最大值为1，求证：b、c满足的条件是3b+c+8=0且5b42015-2016学年河南省信阳高中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=x|x2=x，n=x|lgx0，则mn=（）a0，1b（0，1c0，1）d（，1【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】求解一元二次方程化简m，求解对数不等式化简n，然后利用并集运算得答案【解答】解：由m=x|x2=x=0，1，n=x|lgx0=（0，1，得mn=0，1（0，1=0，1故选：a【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题2如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（） x45678910y15171921232527a一次函数模型b二次函数模型c指数函数模型d对数函数模型【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】压轴题；图表型【分析】利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，可以确定该函数模型是一次函数模型【解答】解：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型故选a【点评】本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律从而确定出该函数的类型3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）ay=by=excy=x2+1dy=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据偶函数的定义，可得c，d是偶函数，其中c在区间（0，+）上单调递减，d在区间（0，+）上单调递增，可得结论【解答】解：根据偶函数的定义，可得c，d是偶函数，其中c在区间（0，+）上单调递减，d在区间（0，+）上单调递增，故选：c【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础4用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）abc20d【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为2，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r=，所以球的体积为：；故选b【点评】本题考查球的小圆的半径、球心到该截面的距离、球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题5已知函数f（x）的定义域为0，2，则的定义域为（）ax|0x4bx|0x4cx|0x1dx|0x1【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据复合函数定义域之间的关系，即可得到结论【解答】解：f（x）的定义域为0，2，要使函数有意义，则，即，解得0x1，即函数的定义域为x|0x1，故选：c【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键6函数f（x）=log3x8+2x的零点一定位于区间（）a（5，6）b（3，4）c（2，3）d（1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）f（b）0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案【解答】解：当x=3时，f（3）=log338+23=10当x=4时，f（4）=log348+24=log340即f（3）f（4）0又函数f（x）=log3x8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选b【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：解方程；利用零点存在定理；利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理7若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，求出各个面的面积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面半径为2，半圆锥的高为3，故半圆锥的母线长l=，故半圆锥的底面面积为： =2，半圆锥的曲侧面面积为： =，半圆锥的平侧面面积为： =6，故半圆锥的表面积为：，故选：b【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键8函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c0【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可【解答】解：函数在p处无意义，由图象看p在y轴右边，所以c0，得c0，f（0）=，b0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=，即函数的零点x=0，a0，综上a0，b0，c0，故选：c【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键9如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中bm与ed成 45角nf与bm是异面直线cn与bm成60角dm与bn是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（）a1个b2个c3个d4个【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】把正方体的平面展开图还原成如图的正方体abcdefmn，由正方体的结构特征，能求出结果【解答】解：把正方体的平面展开图还原成如图的正方体abcdefmn，由正方体的结构特征，得：bm与ed成90角，故错误；由异面直线判定定理得nf与bm是异面直线，故正确；cnbe，ebm是cn、bm所成角，be=bm=em，bem是等边三角形，ebm=60，cn与bm成60角，故正确；由异面直线判定定理得dm与bn是异面直线，故正确故选：c【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10已知定义在r上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）aabcbacbccabdcba【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故选：c【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用11已知偶函数y=f（x）在区间1，0上单调递增，且满足f（1x）+f（1+x）=0，下列判断：f（5）=0；f（x）在1，2上是减函数；f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在x=0处取得最大值；f（x）没有最小值其中判断正确的序号是（）abcd【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】先根据偶函数y=f（x）（xr）在区间1，0上单调递增，以及y=f（x）关于点（1，0）对称，画出示意图，然后根据示意图进行逐一进行判定，从而得到结论【解答】解：f（1x）+f（1+x）=0y=f（x）关于点（1，0）对称画出满足条件的图形结合图形可知（1）（2）（4）正确故选：d【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、对称性等有关的基础题知识，同时考查了画图，识图的能力，属于基础题12已知符号函数sgnx=，f（x）是r上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），则（）asgng（x）=sgnxbsgng（x）=sgnxcsgng（x）=sgnf（x）dsgng（x）=sgnf（x）【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可【解答】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是r上的增函数，g（x）=f（x）f（ax）（a1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgng（x）=sgnx所以a不正确，b正确，sgnf（x）=sgnx，c不正确；d正确；对于d，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）f（ax）=x，sgnf（x）=sgn（x+1）=；sgng（x）=sgn（x）=，sgnf（x）=sgn（x+1）=；所以d不正确；故选：b【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中的横线上13已知长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的体对角线的长为5【考点】棱柱的结构特征【专题】计算题【分析】设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后可得对角线的长度【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，由的平方减去可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故答案为：5【点评】本题考查长方体的结构特征，面积和棱长的关系，考查计算能力及方程思想，是基础题14已知函数f（x）=alnx+blgx+2，且，则f（2009）的值为0【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用【分析】直接利用函数的奇偶性的性质化简求解即可【解答】解：函数y=alnx+blgx是奇函数，所以函数f（x）=alnx+blgx+2，且，可得aln+2=4，f（2009）=（aln+）+2=2+2=0故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力15若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是（1，2【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】函数的性质及应用【分析】当x2时，满足f（x）4当x2时，由f（x）=3+logax4，即logax1，故有loga21，由此求得a的范围【解答】解：由于函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），故当x2时，满足f（x）4当x2时，由f（x）=3+logax4，logax1，loga21，1a2，故答案为：（1，2【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题16已知f（x）是定义在r上的偶函数，且当x0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）f（t1）0恒成立，则实数a的取值范围是（，3）（0，+）【考点】函数恒成立问题【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）f（|t1|），利用单调性得|t+a|t1|，化简后转化为：对任意实数t，2，都有（2a+2）t+a210恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解【解答】解：当x0时，f（x）=1，f（x）在（0，+）上单调递增，由f（t+a）f（t1）0得，f（t+a）f（t1），又f（x）是定义在r上的偶函数，f（|t+a|）f（|t1|），则|t+a|t1|，两边平方得，（2a+2）t+a210，对任意实数t，2，都有f（t+a）f（t1）0恒成立，对任意实数t，2，都有（2a+2）t+a210恒成立，则，化简得，解得，a0或a3，则实数a的取值范围是（，3）（0，+）故答案为：（，3）（0，+）【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及恒成立的转化问题，二次不等式的解法，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2012信阳一模）记函数f（x）=的定义域为a，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为b（1）求a；（2）若ba，求实数a的取值范围【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域【专题】综合题【分析】（1）令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来；（2）先根据真数大于零，求出函数g（x）的定义域，再由ba和a1求出a的范围【解答】解：（1）由20，得0，解得，x1或x1，即a=（，1）1，+），（2）由（xa1）（2ax）0，得（xa1）（x2a）0，a1，a+12ab=（2a，a+1），ba，2a1或a+11，即a或a2，a1，a1或a2，故当ba时，实数a的取值范围是（，2，1）【点评】本题是有关集合和函数的综合题，涉及了集合子集的运算，函数定义域求法的法则，如：被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等18（12分）（2015秋信阳月考）已知函数f（x）=lg（1x）+lg（1+x）+x42x2（）判断函数f（x）的奇偶性；（） 设1x2=t，把f（x）表示为关于t的函数g（t）并求其值域【考点】对数函数的图像与性质；函数的值域【专题】函数思想；换元法；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性；（2）先化简函数式，判断函数的单调性，并运用单调性确定函数的值域【解答】解：（1）根据题意，由，解得，1x1，所以，函数f（x）的定义域为（1，1）由f（x）=lg（1+x）+lg（1x）+（x）42（x）2=lg（1x）+lg（1+x）+x42x2=f（x），所以，函数f（x）是偶函数（2）f（x）=lg（1x）+lg（1+x）+x42x2=lg（1x2）+x42x2，设t=1x2，由x（1，1），得t（0，1则g（t）=lgt+（t21），其中t（0，1，y=lgt与 y=t21在t（0，1均是增函数，函数g（t）=lgt+（t21）在t（0，1上为增函数，所以，函数f（x）的值域为（，0【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明，对数函数的图象与性质，以及运用函数的单调性求函数的值域，属于中档题19（12分）（2013秋宜昌期末）现有a，b两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是p和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中p与x平方根成正比，且当x为4（万元）时p为1（万元），又q与x成正比，当x为4（万元）时q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资（）分别求出p，q与x的函数关系式；（）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】（i）设p，q与x的比例系数分别是k1，k2，则，q=k2x，根据当x为4（万元）时，p、q为1（万元），可求出p，q与x的函数关系式；（）甲投资到a，b两项目的资金分别为x（万元），（3x）（万元）（0x3），获得利润为y万元，根据（i）可得利润函数，利用配方法可求最大利润【解答】解：（i）设p，q与x的比例系数分别是k1，k2，则，q=k2x且都过（4，1）（1分）所以：（2分），（2分）（）设甲投资到a，b两项目的资金分别为x（万元），（3x）（万元）（0x3），获得利润为y万元（1分）由题意知： =（1分）所以当=1，即x=1时，ymax=1（2分）答：甲在a，b两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元.（1分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确确定函数解析式是关键20（12分）（2015秋成都期中）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kr）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=4f（x）+;frac12x+m2x1，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】函数的性质及应用【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kr）是偶函数，则f（x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m2x，x0，log23，令t=2x1，3，则y=t2+mt，t1，3，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值【解答】解：（1）函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kr）是偶函数，f（x）=f（x），即 log4（4x+1）kx=log4（4x+1）+kx恒成立2kx=log4（4x+1）log4（4x+1）=x，k= （3分）（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，则方程log4（4x+1）x=x+a即方程log4（4x+1）x=a无解令g（x）=log4（4x+1）x=，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点（4分）g（x）在r上是单调减函数，g（x）0a0 （7分）（3）由题意函数h（x）=4f（x）+;frac12x+m2x1=4x+m2x，x0，log23，令t=2x1，3，则y=t2+mt，t1，3，（8分）函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=，故当1，即m2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=1，当13，即6m2时，当t=时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），当3，即m6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=3（舍去），综上所述，存在m=1满足条件（12分）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档21（12分）（2014秋邢台期末）已知定义在r上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x0，4时，f（x）=2|xm|+n，且f（2）=6（1）求m，n的值；（2）当x0，4时，关于x的方程f（x）a2x=0有解，求a的取值范围【考点】函数的周期性【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据函数的周期性以及f（2）=6