2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式学案新人教B版选修1_1.docx

1.3.2命题的四种形式学 习 目 标核 心 素 养1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系(重点)3.会利用命题的等价性解决问题(难点、易混点)1.通过对四种命题的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助命题的等价性解决有关问题的探究，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1四种命题栏目内容名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”思考1：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？提示因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题2四种命题间的相互关系(1)形式关系(2)真假关系：互为逆否的两个命题是等价的，它们有相同的真假性；互逆或互否的两个命题是不等价的，它们的真假性没有关系思考2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？提示互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误1当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定为真的是()A若q，则pB若p，则qC若q，则pD若p，则qC原命题为真时，原命题的逆否命题必为真，无法判断原命题的逆命题和否命题是否为真2命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A逆命题B否命题C逆否命题D无关命题A两个命题条件与结论互换，故互为逆命题3命题“若a5，则a225”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A原命题、否命题 B原命题、逆命题C原命题、逆否命题D逆命题、否命题D原命题为真，逆命题为假，逆否命题为真，否命题为假4命题“已知不共线向量e1，e2，若e1e20，则0”的否命题为_，是_命题(填“真”或“假”)已知不共线向量e1，e2，若e1e20，则0或0真否命题即把原命题的条件和结论都否定四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x10，那么x0；(3)当x2时，x2x60.解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果x0，那么x10；否命题：如果x10，那么x0；逆否命题：如果x0，那么x10.(3)逆命题：如果x2x60，那么x2；否命题：如果x2，那么x2x60；逆否命题：如果x2x60，那么x2.写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.1命题：“若ab0，则a，b都不为零”的逆否命题是_若a，b至少有一个为零，则ab0由“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”可得2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)当c0时，若ab，则acbc；(2)正数m的平方大于0.解(1)逆命题：当c0时，若acbc，则ab；否命题：当c0时，若ab，则acbc；逆否命题：当c0时，若acbc，则ab.(2)逆命题：若m20，则m0；否命题：若m0，则m20；逆否命题：若m20，则m0.四种命题间的关系及真假判断【例2】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)若mn0，则方程mx2xn0有实数根；(2)若ab0，则a0或b0.思路探究解(1)逆命题：若方程mx2xn0有实数根，则mnbc2，则ab”的逆命题其中真命题是_“如果xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“如果ac2bc2，则ab”的逆命题是“如果ab，则ac2bc2”，是假命题所以真命题是.4写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)在ABC中，若ab，则AB；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x22x30，则x3；(4)若xA，则xAB.解(1)逆命题：在ABC中，若AB，则ab.真命题；否命题：在ABC中，若ab，则AB.真命题；逆否命题：在ABC中，若AB，则ab.真命题(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题； 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题(3)逆命题：若x3，则x22x30.真命题；否命题：若x22x30，则x3.真命题；逆否命题：若x3，则x22x30.假命题(4)逆命题：若xAB，则xA.真命题；否命题：若A，则xAB.真命题；逆否命题：若xAB，则xA.假命题.等价命题的应用探究问题1直接证明原命题有困难时，应如何证明？提示由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想2四种命题之间有怎样的相互关系？提示(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题它们分别为：两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题【例3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假思路探究可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解解法一：逆否命题为：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，对应方程的判别式(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a71，所以原命题为真又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真法三：命题p：关于x的不等式x2(2a1)xa220有非空解集，命题q：a1.所以命题p：Aa|关于x的不等式x2(2a1)xa220有实数解a|(2a1)24(a22)0.命题q：Ba|a1因为AB，所以“若p，则q”为真，所以“若p，则q”的逆否命题“若q，则p”为真，即原命题的逆否命题为真1(改变问法)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集，则a2”的逆命题的真假解逆命题为：已知a，x为实数，若a2，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，对应方程的判别式4a7，因为a2时，4a71，所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不一定为空集故逆命题为假命题2(变换条件)本例中判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是R，则a0的解集为R，且抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a.所以原命题是真命题因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.1思考辨析(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题()(2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题()(3)命题“若x2y2，则xy”的否命题是“若xy，则x2y2”()提示(1)(2)(3)“若p，则q”的否命题为“若p，则q”故“若x2y2，则xy”的否命题为“若x2y2，则xy”2命题：“若x21，则1x1”的逆否命题是 ()A若x21，则x1，或x1B若1x1，则x21，或x1D若x1，或x1，则x21答案D3命题“若a2b2，则ab”的否命题是()A若a2b2，则abB若a2b2，则abC若ab，则a2b2D若ab，则a2b2答案B4命题“若x3，y5，则xy8”的逆命题是_；否命题是_；逆否命题是_答案逆命题：若xy8，则x3，y5；否命题：若x3，或y5，则xy8；逆否命题：若xy8，则x3