2019_2020学年高中数学第1讲坐标系4柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版.docx

四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题(难点、易错点)教材整理1柱坐标系阅读教材P16P17“思考”及以上部分，完成下列问题一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，Z.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A(1,1,0)B(1,0,1)C(0,1,1) D(1,1,1)解析xcos 1，ysin 0，z1，直角坐标为(1,0,1)，故选B.答案B教材整理2球坐标系阅读教材P17P18，完成下列问题一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记做P(r，)，其中r0,0，02.已知点A的球坐标为，则点A的直角坐标为()A(3,0,0) B(0,3,0)C(0,0,3) D(3,3,0)解析x3sin cos 0，y3sin sin 3，z3cos 0，直角坐标为(0,3,0)故选B.答案B点的柱坐标与直角坐标互化【例1】(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标；(2)设点N的柱坐标为(，)，求它的直角坐标思路探究(1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出，即可(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式求出x，y，z即可自主解答(1)设M的柱坐标为(，z)，则由解之得，因此，点M的柱坐标为.(2)设N的直角坐标为(x，y，z)，则由得因此，点N的直角坐标为(，0，)1由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(，z)，代入变换公式求；也可以利用2x2y2，求.利用tan ，求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的取值2点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同1根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)；(2).解设点的直角坐标为(x，y，z)(1)因此所求点的直角坐标为(，1,3)(2)因此所求点的直角坐标为(1,1,2).将点的球坐标化为直角坐标【例2】已知点M的球坐标为，求它的直角坐标思路探究自主解答设点的直角坐标为(x，y，z)，则因此点M的直角坐标为(1,1，)1根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0，02.2化点的球坐标(r，)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算2若例2中“点M的球坐标改为M”，试求点M的直角坐标解设M的直角坐标为(x，y，z)，则因此M的直角坐标为.空间点的直角坐标化为球坐标【例3】已知长方体ABCDA1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标思路探究先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标自主解答点C1的直角坐标为(1,1，)设C1的球坐标为(r，)，其中r0,0，02，由xrsin cos ，yrsin sin ，zrcos ，得r2.由zrcos ，cos ，又tan 1，从而点C1的球坐标为.1由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M的球坐标为(r，)，再利用变换公式求出r，.2利用r2x2y2z2，tan ，cos ，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误3若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标解易知C的直角坐标为(1,1,0)设点C的柱坐标为(，0)，球坐标为(r，)，其中0，02.(1)由于.又tan 1，因此点C的柱坐标为.(2)由于r.又cos 0，.又tan 1，故点C的球坐标为.柱、球坐标系1在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()A(2,0,3)B.C. D(，0)解析由点的空间柱坐标的意义可知，选B.答案B2柱坐标P转换为直角坐标为()A(5,8,8) B(8,8，5)C(8，8,5) D(4,8，5)解析由公式得即P点的直角坐标为(8,8，5)答案B3已知一个点的球坐标为，则它的高低角为()A B.C. D.解析，它的高低角为.答案A4设点M的直角坐标为(1,1，)，则点M的柱坐标为_，球坐标为_解析由坐标变换公式，可得，tan 1，(点(1,1)在平面xOy的第一象限)，r2.由rcos z，得cos ，.点M的柱坐标为，球坐标为.答案5已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标解设