最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用 (7).docx

第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性、极值、最值专题2导数与函数的极值(2015甘肃省兰州一中三模,导数与函数的极值,选择题,理11)函数f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极值点,则实数a的取值范围是()A.(-,34,+)B.3,4C.(-,3D.4,+)解析:f(x)=(x-a)ex,f(x)=(x+1-a)ex,函数f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极值点,x+1-a0或x+1-a0在区间(2,3)内恒成立,即ax+1或ax+1在区间(2,3)内恒成立,a3或a4.故实数a的取值范围是(-,34,+).答案:A专题3导数与函数的最值(2015甘肃省兰州一中三模,导数与函数的最值,解答题,理21)已知函数f(x)=aln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间1,e上的最小值及相应的x值;(2)若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=alnx+x2的定义域为1,e,f(x)=+2x=,当x1,e时,2x22,2e2,若a-2,f(x)在1,e上非负(仅当a=-2,x=1时,f(x)=0),故f(x)在1,e上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2a-2,令f(x)0,解得1x0,解得xe,此时f(x)单调递增,f(x)min=fln;若a-2e2,f(x)在1,e上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f(x)=0),故f(x)在1,e上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2,综上所述,得a-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2a-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e;(2)不等式f(x)(a+2)x可化为a(x-lnx)x2-2x.x1,e,lnx1x且等号不能同时成立,lnx0,因而a,x1,e,令g(x)=(x1,e),则g(x)=,当x1,e时,x-10,lnx1,x+2-2lnx0,从而g(x)0(仅当x=1时取等号),g(x)在1,e上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,实数a的取值范围是-1,+).3.3导数的综合应用专题3利用导数解决不等式的有关问题(2015河南省洛阳市高考数学二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=ax-xln a(a1),g(x)=b-x2,e为自然对数的底数.(1)当a=e,b=5时,求整数n的值,使得方程f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解;(2)若存在x1,x2-1,1,使得f(x1)+g(x2)+f(x2)+g(x1)+e成立,求实数a的取值范围.解:(1)令F(x)=f(x)-g(x)=ax-xlna+x2-b,当a=e,b=5时,F(x)=ex-x+x2-5,F(x)=ex-1+3x;当x0时,F(x)0,则F(x)在(0,+)上为增函数,当x0时,F(x)0,则F(x)在(0,+)上为减函数;而F(0)=-4,F(1)=e-0,F(-1)=0;又F(x)在(1,2),(-2,-1)上分别连续且单调,F(x)在(1,2),(-2,-1)内分别有一个零点,即方程f(x)=g(x)在区间(1,2),(-2,-1)内分别有一个解;综上所述,当n=1或n=-2时,方程f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解.(2)若存在x1,x2-1,1,使得f(x1)+g(x2)+f(x2)+g(x1)+e成立,即存在x1,x2-1,1,使得f(x1)-g(x1)-f(x2)-g(x2)e-;即存在x1,x2-1,1,使得F(x1)-F(x2)e-;即F(x)max-F(x)mine-成立,x-1,1;F(x)=axlna-lna+3x=3x+(ax-1)lna;当x0时,由a1,得ax-10,lna0,故F(x)0;当x=0时,F(x)=0;当x1,得ax-10,故F(x)1);设h(a)=a-2lna(a0),则h(a)=1+0,(当且仅当a=1时,等号成立)h(a)在(0,+)上为增函数,而h(1)=0;故当a1时,h(a)h(1)=0;F(1)F(-1);故F(1)-F(0)e-;化简可得,a-lnae-lne,且易知m(a)=a-lna在(1,+)上是增函数,故ae;即实数a的取值范围为e,+).(2015河南省六市高考数学二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=(其中kR,e=2.718 28是自然数的底数),f(x)为f(x)的导函数.(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若x(0,1时,f(x)=0都有解,求k的取值范围;(3)若f(1)=0,试证明:对任意x0,f(x)0),f(1)=-,f(1)=,在点(1,f(1)处的切线方程为y-=-(x-1),即为y=-x+.(2)解:f(x)=0,即=0,即有k=,令F(x)=,由0x1,F(x)=-0,g(x)e-2+1等价为1-x-xlnx(e-2+1),由h(x)=1-x-xlnx,得h(x)=-2-lnx,当0x0,h(x)递增,当xe-2时,h(x)0时,(x)0,(x)0,(x)(0)=0,则x0时,(x)=ex-(x+1)0,即1.即1-x-xlnxe-2+10,f(x)恒成立.(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=ln(x+1)-.(1)证明:f(x)0;(2)若当x0,f(x)ax2恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:由题意得函数的定义域为(-1,+).f(x)=.当x(-1,0)时,f(x)0,此时f(x)为增函数.所以f(x)min=f(0)=0,所以f(x)0在定义域内恒成立.(2)解:由已知得ln(x+1)-ax20,当x0时恒成立.令h(x)=ln(x+1)-ax2,x0,+).则h(x)=-2ax=.当a0时,显然h(x)0恒成立,所以h(x)在定义域内递增,而f(e-1)=lne-a(e-1)2=-a(e-1)2+0.故a0不符合题意;当2a1即a时,因为x0,故(x+1)21,所以1-2a(x+1)20,故此时h(x)0恒成立,所以h(x)在定义域内递减,所以h(x)max=h(0)=0,所以此时h(x)0在定义域内恒成立,故此时f(x)ax2恒成立,所以a符合题意;当0a0,当x时,h(x)0,故此时h(x)递增;当x时,h(x)0时,f(x)1恒成立,求a的取值范围;(3)求证:ln(x+1)+(nN*).(1)解:当a=时,f(x)=(x-1),令f(x)0,可得-x1得a(x+2)-(x+2)ln(x+1),记g(x)=(x+2)1-ln(x+1),则g(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当x0时g(x)0,g(x)在(0,+)递减.又g(x)max=g(0)=2(1-ln1)=2,g(x)0),a2.(3)证明:由(2)知ln(x+1)+1(x0),ln(x+1).取x=得ln,即ln.ln+ln+ln+ln+.专题4定积分在物理中的应用(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,定积分在物理中的应用,填空题,理14)设x,y满足约束条件则M(x,y)所在平面区域的面积为.解析:作出不等式组对应的平面区域如图:由x+2y