高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业1 新人教A版必修4.doc

二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列各式中，值为32的是()a.2sin 15cos 15b.cos215-sin215c.2sin215d.sin215+cos215【解析】选b.cos215-sin215=cos 30=32.2.已知sin2=45，cos2=-35，则角所在的象限是()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选c.因为sin=2sin2cos2=245-35=-24250，cos=cos22-sin22=-352-452=-7250，所以是第三象限角.3.(2015乐山高一检测)若tan=3，则sin2cos2的值等于()a.2b.3c.4d.6【解析】选d.sin2cos2=2sincoscos2=2tan=23=6.【延伸探究】若本题条件不变，则cos2+sin2+1cos2的值如何？【解析】cos2+sin2+1cos2=2cos2+2sincoscos2=2+2tan=2+23=8.4.已知r，sin+2cos=102，则tan2=()a.43b.34c.-34d.-43【解析】选c.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sin+2cos=102两边平方可得sin2+4sincos+4cos2=52.将左边分子分母同除以cos2得，3+4tan1+tan2=32，解得tan=3或-13，所以tan2=2tan1-tan2=-34.5.(2015成都高一检测)在abc中，若|ab|=2sin15，|bc|=4cos15，且abc=30，则abbc的值为()a.3b.-3c.23d.-23【解析】选b.因为|ab|=2sin15，|bc|=4cos15，且abc=30，所以abbc=|ab|bc|cos150=2sin154cos15-32=-23sin30=-2312=-3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015合肥高一检测)已知2,，sin=55，则tan2=_.【解析】由2,，sin=55，得cos=-255，tan=sincos=-12，tan2=2tan1-tan2=-43.答案：-437.化简：tan70cos10(3tan20-1)的结果是_.【解析】原式=sin70cos70cos103sin20cos20-1=3cos10-cos10sin70cos70=3cos10-cos10cos202sin10cos10=3sin20-cos202sin10=sin20cos30-cos20sin30sin10=sin(20-30)sin10=-1.答案：-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简.【补偿训练】计算cos27cos47cos67=_.【解析】原式=2sin27cos27cos47cos672sin27=sin47cos47cos672sin27=sin87cos674sin27=sin7cos74sin27=sin278sin27=18.答案：188.已知角的终边经过点(-8，-6)，则1+cos2+sin2cos(+)=_.【解题指南】先利用定义求出的三角函数，而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8，-6)到原点的距离r=(-8)2+(-6)2=10，所以sin=-610=-35，cos=-810=-45.1+cos2+sin2cos(+)=2cos2+2sincos-cos=-2cos-2sin=-2-45-2-35=145.答案：145三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015泰州高一检测)已知为第二象限角，且sin=154，求sin+4sin2+cos2+1的值.【解析】原式=22(sin+cos)2sincos+2cos2=2(sin+cos)4cos(sin+cos).因为为第二象限角，且sin=154，所以sin+cos0，cos=-14，所以原式=24cos=-2.【补偿训练】已知sin4+sin4-=16，2,，求sin4的值.【解析】因为sin4+sin4-=sin4+cos4+=16，所以sin2+2=13，即cos2=13.因为2,，所以2(，2).所以sin2=-1-cos22=-223.所以sin4=2sin2cos2=2-22313=-429.10.(2015吉林高一检测)已知向量m=(cos-23，-1)，n=(sin，1)，m与n为共线向量，且-2,0.(1)求sin+cos的值.(2)求sin2sin-cos的值.【解析】(1)因为m与n为共线向量，所以cos-231-(-1)sin=0，即sin+cos=23.(2)因为1+sin2=(sin+cos)2=29，所以sin2=-79，因为(sin+cos)2+(sin-cos)2=2，所以(sin-cos)2=2-232=169.又因为-2,0，所以sin-cos0，sin-cos=-43.因此，sin2sin-cos=712.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若0,2，且sin2+cos2=14，则tan的值等于()a.22b.33c.2d.3【解析】选d.由二倍角公式可得sin2+1-2sin2=14，即-sin2=-34，sin2=34，又因为0,2，所以sin=32，即=3，所以tan=3.2.(2015昆明高一检测)若sin-4cos2=-2，则sin+cos的值为()a.-72b.-12c.12d.72【解析】选c.cos2=sin2-2=-sin2-2=-sin2-4=-2sin-4cos-4，sin-4cos2=sin-4-2sin-4cos-4=-2，所以22cos-4=1，展开得22coscos4+sinsin4=1，即cos+sin=12.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015黄冈高一检测)若sin6-=13，则cos23+2=_.【解析】已知sin6-=13，且6-+3+=2，则cos3+=sin6-=13，故cos23+2=2cos23+-1=-79.答案：-794.已知是第三象限角，且sin4+cos4=59，那么sin2等于_.【解析】sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-12sin22，又sin4+cos4=59，所以1-12sin22=59，即sin22=89，因为是第三象限角.所以2k+2k+32(kz)，所以4k+220，所以sin2=223.答案：223【延伸探究】若cos2=23，试求sin4+cos4.【解析】因为cos2=23，所以sin22=79.所以sin4+cos4=1-2sin2cos2=1-12sin22=1118.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f()=85，求cos24-2的值.【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=2sin2x-4+1.因此，当2x-4=2k+2，即x=k+38(kz)时，f(x)取得最大值2+1.(2)由f()=1+sin2-cos2及f()=85得sin2-cos2=35，两边平方得1-sin4=925，即sin4=1625.因此，cos24-2=cos2-4=sin4=1625.6.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213+cos217-sin13cos17；sin215+cos215-sin15cos15；sin218+cos212-sin18cos12；sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48；sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55.(1)请根据式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】方法一：(1)计算如下：sin215+cos215-sin15cos15=1-12sin30=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=34.证明如下：sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin)=sin2+34cos2+32sincos+14sin2-32sincos-12sin2=34sin2+34cos2=34.方法二：(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=34.证明如下：sin