数学建模的基本原则和基本方法.pdf

文章编号 100127445 2003 增20038205 数学建模的基本原则和基本方法 韦 革 广西大学 数学与信息科学学院 广西 南宁530004 摘要 在数学建模过程中 模型假设与模型建立是最重要的两个步骤 两者构成机理分析的重要环节 本文将 进一步探讨 在这两个步骤中应遵从的基本原则和具体方法 并结合实例阐明这些原则和方法 从而使人们对 数学建模全貌有一个更深刻的了解和认识 关键词 数学模型 传统数学 模型假设 模型建立 分割 联系 公有性 灵活性 中图分类号 O141 4 文献标识码 A 1 应用模式的框架 应用模式一般包括三部分 实物动作转化为数字信号 数据输入的部分 数字信号转化为实物动 作 处理后决策信息输出的部分以及数学模型部分 数学模型是应用的核心部分 具有处理信息的功 能 三部分构成应用模式统一整体 数学模型的建立一般包括了以下几个步骤 模型准备 模型假设 模 型建立 模型求解 模型检验 模型推广和应用 文献 1 第19 20页 模型假设与模型建立是最重要的 两个步骤 两者构成机理分析 认识事物的两大主线 分割和联系的原则 公有性与灵活性相结合 我们把这两条主线应用到模型 假设和模型建立的过程中 列举出常见具体方法 使人们对数学建模有一个更为细致和全面的认识 2 模型假设和模型建立过程中的两个基本原则 模型假设是整个建模的起点 是模型建立的基础 不同的人对同一事物的认识因其角度及深度不一 致而产生不同的假设条件 从而导致不同的模型建立 恰当进行模型假设是极为重要的 同时 模型假 设和模型建立是一个不易分离的整体过程 因此本文把两者共同放在一起 对其内部过程进行进一步讨 论 以加深对这两个过程的认识 在进行模型假设和模型建立的过程中 我们应遵从以下两个基本原 则 并按两个基本原则的顺序进行反复的操作 1 分割原则 分割成若干个独立的研究对象 并说明对象间应有联系 可用图来表示对象间联 系 2 联系原则 构造出对象之间的联系的具体方式或细节 分割的复杂性在于不存在绝对的客观分割的标准 因为任何一个分割方式都带有一定的主观性 分割问题不单纯是数学问题 还需要有其他学科的观点 这就构成模型假设的复杂性 对其复杂性我们 有必要作深入探讨和研究 联系的难度在于分析 归纳事物的抽象本质 把握事物内部的具体联系 由于人的认识水平差异 对事物本质联系认识度也有较大差异 而这个差异很大程度上往往决定了该模型的 好坏 粗细 的 程度 人们对模型这种内部联系认识得越深刻 越细致 越有层次 建立出模型就越 优 对内部联系 第28卷 增刊 2003年10月 广西大学学报 自然科学版 Journal of GuangxiU niversity N at Sci Ed Vol 28 Sup Oct 2003 收稿日期 20030620 修订日期 20030828 资助项目 广西大学重点建设课程数学模型 作者简介 韦 革 1966 男 广西南宁人 广西大学讲师 认识还需要必要的逻辑推理和大量科学计算 计算机软件在推理及计算中起了很大作用 对上述两原 则反复地 进一步地具体化操作的结果就是模型建立 3 在分割原则中几个关键的要点 数学模型主要目的在于解决实际问题 它是联系现实问题与传统数学 这里传统数学概念包括了 高等数学 线性代数 概率统计 知识的 接口 或桥梁 人们住住需要结合理论与实践两方面来讨论模 型 为了让人们对数学模型有更全面的系统认识 考虑到实际问题的广泛的 随机的等不可确定因素 因此 本文更多地从传统数学方面来描述分割原则的具体方法和形式 具体如下 1 把现实问题分割成主要常量和主要变量 主要自变量与主要因变量 函数与映射 算子 从传统数学角度而言 变量 函数 映射和算子这是一些十分常见的概念 因为这些概念本身都是 传统数学研究的主要对象 而对于一个现实问题而言 这些概念的内容和意义则是难以抽象 解析和把 握的 这正是传统数学教学中容易被忽视的一个问题 而数学模型教学在这方面作了必要的 大胆的尝 试 传统数学与数学模型应成为今后数学教学相互联系与结合的两个部分 面对这一个实际问题 我们 至少要考虑下面几个问题 首先 这个事物中与目标问题的相关量有那些 其次 哪些相关量对目标所起作用较大 用什么方法确定出作用大小 再其次 是应保留哪些量而舍去哪些量 才能达到模型的简单性和真实性的统一 以上三个问题的结论是因人而异的 对于不同人有各自不同的分法 甚至是有极大差异的 这种差 异是合理的 因而我们需要做出相应的模型假设 从模型假设中我们就可清楚看到这种差异根源 相 应判断出模型适用范围 在解决实际问题中 为了得到 较好 的结论 我们必须循序渐进对上述三个问 题进行反复的 精致的讨论 下面以电影院地板设计为例 见 2 第352页 对上述三个问题进行进一 步说明 11 经过模型准备 具备一定的光学知识后 我们确定其中一种相关量的分法 视觉满意度 视角 仰 角 到屏幕中心距离 左右偏离角和地板角度等 21 视觉满意度是因变量 可用层次分析法 或聚类分析等方法 让专家评估出比较矩阵 计算出各 相关量相应权重 将重要性按权重的大小依次排列为 视角 仰角 到屏幕中心距离 左右偏离角 地板 角度 31 为了简化模型 我们保留了权重 较大 的变量 视角和仰角 舍弃权重 较小 的变量 到屏幕中 心距离 左右偏离角 地板角度 得到目标函数 视觉满意度 f 视角 仰角 的关系 需要说明是 虽然 上边筛选方法是线性 粗略估计与分类 对应法则f并不一定是线性的 筛选出来后形成对应法则f 我们仍需下边的进一步讨论 以下讨论实际上是一种直接联系 我们可直接表示成函数y f x1 x2 xn 我们可用图1来 表示它们的联系 图1 可直接表示成函数的 需要对图1说明是 1 对应法则f难以具体化时 图方法更为重 要 这需要图论知识 2 变量个数n可以很大 甚至是无限的 无穷大 的 比如象定积分定义就是这样的例子 许多光 学 流体力学模型需要这样处理 这方面知识可参考 有限元分析 本人认为 2002年全国大学生数学 模型竞赛A题光学问题可把光源分成n个自变量 且n很大 然后用数值方法 计算机求解 2 映射自变量组之间的约束关系 分割因变量 自变量完成后 应考虑自变量间的联系 简单的有约束条件的函数大致表成如下形式 函数y f x1 x2 xn 约束条件g x1 x2 xn 0 93 增刊韦 革 数学建模的基本原则和基本方法 图2 简单的有约束条件的函数 我们可用图2来表示它们的联系 线性与二次规划模型是典型例子 大 量模型离不开约束条件 约束条件一般可 直接计算列出式子来 3 中间变量 层次化 反复过程 1 2 联系呈现层次化 使 模型分析与建立得以展开 在电影院设计 例子中 视觉满意度 f 视角 仰角 进一步的分析我们还可得 视角 g 坡长 坡度 仰角 h 坡 长 坡度 坡长 坡度成为了最终一级的自变量 这里关系不一定是线性的 不能等同于层次分析法 进一步的函数具体式子需在下面讨论 图3 函数两状态间相差很小时的联系 4 递推关系 差分方程 反馈和微分方程 除了考虑其它自变量x1 x2 xn对因变量y 影响外还要考虑因变量对自身影响 即这一状态yn 对下一状态yn 1有无影响 这可表示为 函数yn 1 f x1 x2 xn yn 当两状态间相差 很小时 可写成微分方程式 我们可用图3来表示它 们联系 例如在人口模型中 因变量为某一时刻人口 数y 影响y自变量有时刻t 人口增长率r 而且 显而易见这一时刻yn对下一状态yn 1有影响 写成 函数式yn 1 f t r yn 进一步阻滞分析 还有关系r r yn 4 联系原则 联系具体式子导出 具体导出方式是多样的 复杂的 灵活的 要把握它的全体方法相当因难 作为讨论 我们试图从以 下几个方面来考虑问题 1 多数模型的变量间的关系属于树状联系 见图4 例如 在电影院设计中 图4 树联系 2 联系上级变量y对下级变量x1 x2 xn关系中 部分关系可以通过考虑 直接用传统数学推理方法计算出函数y f x1 x2 xn 的具体形式 如上例 视角 g 坡长 坡度 仰角 h 坡长 坡度 可用平面几何方法计算出表达式 3 联系上级变量y对下级变量x1 x2 xn关系中 可以通过想象或实验得 到函数y f x1 x2 xn 的具体形式 对一些关健性联系 往往需要这种方 法 这是建模难点 该表达式往往反映的是这个模型的本质与 核心 因此我们需要通过对模型反应 出的现象对该表达式进行非常细致的讨论和总结 经济学中的满意度 现象吸引力 类的区分度等都属 于问题 核心 要表达出它们的具体关系需要大胆尝试 想象 还有些核心是建立在大量科学实验基础 上 通过抽象 归纳出式子 开普勒三定律是这样的例子 想象和实验是归纳出具体形式的两个基本方 法 计算机模拟和运算是数学模型实验的重要手段 具体方法可归结成以下两个步骤 首先 考虑因变量y与单个变量间xi i 1 2 n 的具体函数关系 这时其它自变量xj i j 可 设定为任意常数 这需要想象或实验归结出函数y h xi 的单调性 凹凸性等性质 描出曲线图 然 后根据该类曲线具有全部或大部分性质构造出y h xi 一个或一类函数具体表达式 为今后模型计 算 检验等步骤的顺利进行创造条件 以完成模型对实际问题的部分或全体解决 04 广西大学学报 自然科学版 第28卷 由此不难看出 模型对实际问题解决是近似的 逐步推进式的 反映的是 核心 性质近似描述后对 现象影响性 数学模型是一门 艺术 是内部联系简单化与近似真实性的统一 其次 考虑函数y f x1 x2 xn 经过一些特殊点 综合考虑以上n个式子作用地位 地位包括 平等 一个式子作用于另一个式子的某个量等 对于不明确式子地位作一定必要假设后 得到整个多 元函数y f x1 x2 xn 具体形式 比如对于函数 视觉满意度y f 为视角 为仰角 先考虑y h 仰角固定于某个值 通过研究视觉光学原理 我们可以假定 视觉满意度正比于视角 当然也许可假设成凹凸这样的非 线性东西 但作者认为线性在这里较合理 h k k是比例系数 保守一点可写成h k m k是比例系数 m是调整常数 再考虑y q 视角固定于某个值 我们可以假定 仰角对视觉满意度影响是线性递减的 于 是有 q a b a b常数 以上两个函数中 h k 是主体 q a b 作用在量k上的 所以有y a b a b为待定系 数 保守一点可写成y a b m a b m为待定系数 4 函数y f x1 x2 xn 因变量y是有限集 如果可供分析的数据不多 应以机理分析为主 可考虑用模糊数学的方法 4 5 函数y f x1 x2 xn 因变量y是有限集 如果可供分析数据十分充足 可考虑用神经网络 系统的相关算法 3 最后要指出是 演绎和推理在整个过程中都很重要 在一些 核心 关系式可从假设出发 需要经过 较复杂演绎和推理得出表达式和结论 万有引力就是在开普勒三定律基础上经过演绎和推理而得来 的 数学建模需要适当的 较简单 的推理 模型假设是推理前提和出发点 5 公有性和灵活性相结合 公有性 完成特殊任务过程中 需要一些较固定的方法 这些方法是经过逻辑证明或实践检验归 纳出来的 可反复使用的一般性规律和方法 灵活性 完成特殊任务过程中 需要特殊处理的方法 这些方法具有一定可变因素 一个过程的完成需要公有性和灵活性有机结合才能较好完成任务 但过程的公有性和灵活性不是 一成不变的 随着人认识深化 原来一些灵活性东西变成了公有性 部分公有性的转成灵活性 它们间 相对性因人认识变化而变化 其次对于不同事物公有性与灵活性是改变的 有时对这一事物是灵活 的 而对另一事物而却是公有的 用这两者关系去认识数学和数学模型是有益的 学数学如果目的是为了解决实际问题 用以上原则我们不难把数学分成两部分 传统数学和数学 模型 解决一个实际问题需要把一般性公有原则与具体灵活性原则相结合 一般公有性主要是由传统 数学所概括 灵活性是由 数学模型实现 数学模型是联系实际问题与传统数学的 接口 与桥梁 在建 模过程中的灵活性体现为 1 正确地选择传统数学中较常见的算子或算法 比如导数 积分 求最大最小值等 选择还包括 传统数学中部分的定义 定理 公式和推理方法 选择 好 坏 取决于对传统数学的掌握程度和对实际 问题理解多少 2 构造被算子或算法作用的函数或映射以及相应约束条件 在建模过程中需要较大的灵活性 这有益于数学思维培养 我们用一个 数学模型 来描述上述的 思想 y是实际问题需要的结果 f x 是上文中用分割与联系得出的关系 5 是灵活性选取算子或算法 y 5 f x 模型建立过程就是通过恰当假设 推算出f x 并相应选取出 5 进一步用 数学模型 来描述数 14 增刊韦 革 数学建模的基本原则和基本方法 学模型与传统数学关系式 y 5 f x F g x Q Q为传统数学中的定义 公理 定理 F为传统数学中一般推理方法 g x 是通过恰当假设 根据 上述分割联系原则得到的函数 f x 为经过简化后得到的函数 式子前一个等号更多反映实际问题与数学模型关系 而后一个等号反映数学模型与传统数学关 系 这等式体现了解决实际问题中数学建模与传统数学的统一 灵活性与公有性的统一 要指出的是传统数学的算子或算法 5 可用计算机软件进行数值计算或符号运算 2 计算机软件 简化了一般性公有原则计算 使人们有更多精力去探讨灵活性的过程 计算机发展为数学建模提供了 更坚实的基础 传统数学是数学模型的基础 以计算机软件和数值计算为主体的学科 2 进一步扩展 了的传统数学 数学模型是联系实际问题与扩展了的传统数学的 接口 和桥梁 见图5 图5 数学模型的 接口 和桥梁示意 参考文献 1 姜启源 数学模型 M 北京 高等教育出版社 1993 2 姜启源 等 数学实验 M 北京 高等教育出版社 2001 3 阎平凡 等 人工神经网络与模拟进行计算 M 北京 清华大学出版社 2000 4 闻 新 等 M atlab模糊逻辑工具箱的分析与应用 M 北京 科学出版社 2001 Basic pri