数学奥林匹克高中训练题(55).pdf

中等数学 掌 毫克宣中一 5 5 E 第一试 一 选择题 共3 6 分 每小题6 分 1 函数 z z 一1 0 U 0 1 若不等式 z l zl 成立 则在a 一2 一l 一号 o 号 l 2 的条件下 n 可以取的值的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 2 正四面体的4 个正三角形面的1 2 条 中线能形成数值不同的n 个锐角 则一的数 值是 A 4 B 5 c 6 D 7 3 当n b 均为有理数时 称点P 口 b 为有理点 又设A 19 9 8 0 B 0 v 厂j 面丽 则直线A B 上 A 不存在有理点 B 仅有一个有理点 c 仅有两个有理点 D 有无穷多个有理点 4 在复平面内 由复数 南 i 一1 3 所对应的点构成的三角形的最大内角等于 A 一 O D D O S 壳 B 一3 壳 C 4 5 D 1 2 0 5 若无穷递缩等比数列 a 满足 脚等等1 嘉2 等 r dt 口t t 口 3 4 那么 该数列的公比q 为 A 华 B 芦 c 华 D 量乎 5 在一支长1 5 厘米 粗细均匀的圆柱形 蜡烛的下端固定一个薄金属片 体积不计 使蜡烛恰好能竖直地浮于水中 上靖有1 厘 米高的部分露在水面以上 已知蜡烛密度为 0 8 5 克 立方厘米 现在点燃蜡烛 当蜡烛被 水淹没时 它所燃烧的总长度是 厘米 A 鲁 B 辈 c 掣 D 掣 二 填空题 共5 4 分 每小题9 分 1 不等式l g z 一志 o 的解是 一 2 适合方程t 1 9 x s 器重筹器 的最小正整数z 3 在棱长为n 的正四面体中嵌入一个圆 柱体 使其高度恰为四面体高度的一半 而卜 底与四面体的侧面相切 则这个圆柱体的表 面积为 4 M 是圆z 2 y 2 6 x 一8 y 0 上的动 点 o 是原点 N 是射线O M 上的点 若 I O M 1 0 NJ 1 5 0 则点N 的轨迹方程是 5 在扬辉三角中 每一个数值是它上面 两个数值之和 这三角形开头几行如下 第0 行1 第l 行 11 第2 行 121 第3 行 133 1 第4 行 l4641 那么 在杨辉三角的第 行会出现三个相 邻的数 它们的比是3 4 5 6 由以下条件分别给出数列 n l r 是等比数列 前 项的和S m 2 1 n o 且n 占 n n pJ 2 万方数据 2 0 0 2 年第2 期 4 5 以上使 d 是等差数列的是 填 序号 三 2 0 分 已知点A 4 3 0 和曲线y 4 鲁一1 2 z 2 拈 上的点P P z 只 若J P A I l P 2 AJ 1 只 I 成等差数列 且公差d 击 求n 的最L 大值 四 2 0 分 图1 是吼4 个腰长为1 的 等嘎直角三角形为侧 一 面的棱锥 其中的4 个 直角是 A P D 么A P B Z P B e 么P D C 求棱 锥的高 圈1 五 2 0 分 已知 z a x 3 如2 十c r d 且f 1 f 0 f 一1 2 都是整数 求证 当z 是整数时 z 也是整数 第二试 一 5 0 分 已知 A B c 的内切圆0 I 把 中线A M 三等分 求证 A B c 的三边之比 为5 l O 1 3 二 5 0 分 有三种股票 前两种的股数之 和等于第三种的股数 第二种股票的总价值 是第一种股票的4 倍 第一 二种股票的总价 值等于第三种股票的总价值 第二种股票每 股比第一种股票贵1 5 元到2 元 而第三种 股票每股的价值不小于4 2 元而不大于6 元 求在股票总量中第一种股票股数占总股 数的百分比的最大值与最小值 三 5 0 分 已知置 R n b z i 1 2 令 n 等窘器等 苎立丝垒 当苎 6 I 6 2 b 求证 在z z z 中 必存在两个 数z p 和x 满足 1 4 一b I I 口一z I 1 2 5 一 1 V p I 参考答案 第一试 一 1A 记J 0 1 U 一1 0 耍使 工 l J 在 上应大于o 知a 一1 1 显然不符合要 求 当n 0 时 x l 0 l 引 l I 成立 当口 2 时 在 上 T 1 0 l T I 1 则 f z f x f 当a 号时 z I I 由 昌 z I 及 l z I Ir l 当a 一号时 r l z I 一 由击昌 l t l 及O l z l l z l 综上 可取的值共有4 个 2 B 正四面体表面正三角形的中线所成角的余弦值 有吉 吾 吾 五种 3 A 设有理点P n 6 在直线A B 上 刚 b 一宰些 口一 I9 9 8 I9 9 8 b 2 徽 n 2 l9 9 8 2 汀丽 当n 是非0 的有理数时 b 2 是无理教 与 P n 6 是有理点矛盾 4 A 由 2 弋南3 1 一i i 一1 3 2 2 i 知它们所对应的点A B C 如图2 A B C 的最大内角是Z A 由a r c o c 6 A 图2 A B 2 A C 2 一甜2 2 8 司面F 雨丁一 一等2 筹1 3 一 一南1 3 一 则z A T f f l 一壳 5A 今 万方数据 中等数学 t i m H l 十 十 L q 2 叮 1 叉南2 号 有3 矿 3 q I 0 目4q 二 二 互 舍去q 竿 故q 下 7 i 3 6C 堤蜡烛潢截面积为s 平方厘米 金属片重n 克 则依题意有1 5XS 0 8 5 十 1 4 s 1 又设当水面以上的1 厘米长蜡烛烧完后 蜡烛 上升了z 厘米 则有 1 4 S 0 8 5 口 1 4 一 s 1 从两式消去a 得 0 8 5 厘米 周理 当水面以上的O 8 5 厘米烧完后 可知蜡 烛卫上升TO 8 5 2 厘米 如此下去 燃烧婚各段蜡烛长度的和是 1 0 8 5 0 8 5 2 丁 竽 厝米 二 1 o 矗 u 1 1 1 0 由原不等式有掣 兰 g 三二卫 则0 0 故原不等式解集为 o 击 u 1 l o 2 3 6 原式右边 r I 面t a 两n9 9 r t a i n 磊4 5 了 r t 瓦e r n 研9 9 t a l l1 4 4 则1 9 z 1 4 4 1 8 0 k N 故z 下1 踯k 1 4 4 9 k 7 掣 知1 9 l9 k 1 1 于是 一 3 从而 r 9 3 7 坚铲 3 6 3 生皂业 t 一 2 4 如图3 设正四面体 A 为P A 髓 0 为底面 A B C 的重心 E 为高 圈3 B 尸0 的中点 A D 为正 A B C 的中线 F 为P D 的中 点 易知E F A D E F 的长度即为圆柱休的底面半 径 由 A B A C A 尸 B P P C 口 可知 4 1 譬 0 9 加 等 E F O D 键 P D 雩n 高P O 厂瓦F j 确 孥 O F 尸O 髻 于是 表面积为 2 E F O E 2 E F 2 2 E E F O E E F z 霍 譬 镭 2 掣n 4 3 r 4 y 一7 5 0 本题可采用特殊点 法 如图4 易知题设 的圆半径r 5 圆心点 o 3 4 设射线O O 交豳于M iO M I 1 0 在射线 3 0 上取点 N I 使l O N I 1 5 则 莽 o j 圈4 l 州I i O N I l 1 5 0 所以 N 是轨迹上的一点 叉设M 是四上任意一点 点心在射线O M 上 是轨述上的一点 即满足l 叫 O N 1 5 0 于是 I O M 1 0 N l i O M 2 I 洲2 I 由此可知 f N M N 共一 而O M 悬直 径 所以Z O M 2 M 舶 从而Z f N M 蚰 故点N 轨迹是过点N 9 1 2 且垂直于O O 的 直线易求该直线为3 z 4 一7 5 0 5 第6 2 行 在扬辉三角形中 它的第m 行由二硬式系数C 组成 女 O 1 H 若杨辉三角第 行3 个连续项 的比为3 4 5 那么 有正整数I 使得 寻 等 矿嵛 南 生5 导 坐尚鼎 墨 一 I f n 一女 n 一 万方数据 2 0 0 2 年第2 期 4 7 由此得 3 一7 3 3 4 n 一9 k 5 解方程组得 2 7 6 2 6 先考虑 设6 2 l N 则n 1 0 6 因 2 一 是等比数列 故 2 b 旷1 6 g 为正常数 于是 n 咄以 l 吸b 1 一1 l o g a q 其中l q 殴b 1 和l Q 臣q 是常量 所以 I 是等差数列 考虑 由于n 只一S 2 n 一1 2 而 q l S I 2 不符合a 2 n l 所以 a I 不是等差数列 考虑 由题设等式可得 2 d l a2 峨2 a 一1 一1 a 1 2 1 十 吼一2 七一2 a 1 2 1 一 2 得 2 a k1 一1 a 一 女一2 口 I 故a 2 禹m 2 重复用这个公式替换 得 矗 一 日2 f 可 一12 f 1 F 刁 2 禹1 捌2 三2 呈1n 矗一 一 加 由此知 t n 1 是等差数列 公差等于首项 a l 2 a It 3 a l I 综上 为所求 三 题设的曲线是如下双曲线的一段 即 z 2 一 2 1 2 z 2 店 o A 亏 O 是它的右焦点 如图5 其中直线l 为 右准线z i 4 点P 2 亏 2 离心率f 訾 V 图5 易知 只A I 5 2 1 只A l 一 e l 跗J 雩 2 压一砉 3 依题意 可设等差数列的第1 项n 朽一2 第一项 口 3 则3 拈一2 n 一1 a 得d 警 捌 由题意 了1 d 击 即 等等 击 得5 4 3 4 n 2 6 5 而7 5 x2 2 4 5 拈一4 且2 6 5 朽 2 6 5 2 2 1 5 喇7 n 1 5 故一最大可取1 4 四 如图6 连B D A C 交于o 连肋 在 A P B 和 A P D 中 由于Z A P B Z 栅 9 0 P A P D l P B P A 1 别 A P B 篁 A P D 从而 A B A D 压 且 Z P 舳 呦 D 图6 同理 由C 曰 B P I C D D P I 可得 P C 以 且Z P C D 么P C B 2 由 1 2 知C P A 都在B D 的中垂面上 若作f 忖上面A B 则H 必在A C 上 故m 2 0 8 2 1 o c 2 O B 2 于是 t O O C 设P O 0 c z 刑 h 在 xG O P 中 由余弦定理有 o P 2 2 工2 一2 2 储Z C O P 又 P 一11 i V 1 工 则2 2 2 2 垒 l z 有一 z 2 l 0 解得 2 迎j 1 韭掣 在R t A P O 中 拈南 掣 万方数据 故h f T S 1 五 由题便f 0 d f 1 n 6 f J 一1 一 6 一f d 2 8 a 4 6 2 c d Y f o 1 是整数 d 口 6 f 是整数 又 f 一1 2 b d 一 n b f 是整数 2 6 是整数 f 2 6 a 2 6 d 2 d 6 c 是整数 6 口 2 6 是整数 6 也是整数 而 3 k 2 口 d z 3 一z 十6 T 2 一J a b f z d 垃业掣 6 掣 2 b b OZ c l z d 当z z 时 z I z z i 是相邻整敷 z 1 z 工 1 是6 的整数倍 z 一1 z 是 偶敫 z 是整数 第二试 一 如图7 设 A B C 的内切圆o 切三边于D E F A M 交0 于P 0 连 I A I C 皿 伊 作I N 上P 口于 N 剜P N Q N 又A P M 口 则 A N N M 奄1 4 I M 图7 B 又Z A C I Z M C I 在 A C I 与 M 口中 有 承CI衙 i五 A一 Zj Msin A C If i n 丽 南f i nC M I Z 叫s 访ZZ 俐 Z 则西n Z C A I 画n Z C M I 又么C A I4 Z C l V l l 1 8 0 则Z C A I 么C M I 有 删篁 M C I C A C M 且c f N 共线 设A C C I V 1 A B z E 俨 r 则 B C 2 伍 宰 A M 六可耳弼 以i q 由 c 厄得露 E 等 即 上 五 j r4 r 等 2 1 中等数学 叭2 与群 叉C i r N c N 贼 以可 了河 历 2 代人r 2 的值 化简得 2 扣了 九万而7 可丽 币j 妻 i F 再可F j 即 9 一T 2 9 3 z 一1 2 2 3 十z z 2 1 5 1 1 9 x 整理得2 z 3 2 z 一1 5 z 一1 3 0 解得 一3 台 1 舍 z 擘 故A C C B A B 1 2 辈 5 1 0 1 3 二 设第一 二 三种股票的股数分别为 m 一 每股价值分别为z Y 2 元 问疆欲束 f f 毛i 1 0 0 的值 由已知 m H h m v 4 k x 呻 I 1 6 一z 2 0 4 2 z 6 0 2 记户 罟从式 I 中消去H 并用声表示 用 与声表示f z 有 再告再 1 0 0 赤 1 0 0 币5 0