Jiaoan_PlaneVector.doc

“平面向量基本定理”教学设计一、内容和内容解析1内容：平面向量基本定理：如果向量、是同一个平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量，必存在惟一对实数、，使。这一定理是向量用坐标表示并将向量进行运算的基础。定理的更一般的情形是：n维向量空间的任一向量均可由这个向量空间的一组基底惟一线性表示。2内容解析：根据平面向量基本定理，在同一个平面内，对于确定的基底、，任意向量均对应着惟一的实数对。基于此，在平面直角坐标系中，当取分别与两个坐标轴同方向的单位向量作基底时，该坐标平面上的任一向量都可用惟一的实数对来表示。而此时，实数对亦是向量的起点在原点时向量终点的坐标，我们今后也就把这个坐标叫做向量的坐标了。所以，平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础。因此，可以说是平面向量基本定理使向量成为沟通代数与几何的桥梁。在解决实际问题时，通常从问题中抽象出向量模型，再通过向量的坐标表示，利用代数运算获得问题的解决方案或结果，这是利用向量解决问题的基本特征。平面向量基本定理不仅建立了向量的代数表示及向量运算的代数化问题，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达事物，并把对事物的研究转化为对事物的基本要素的研究的典型范例，这对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着重要的地位与作用。这是平面向量基本定理的知识延伸或“数学知识之间联系”的分析，非常准确和清楚。但是缺乏对向量基本定理这一知识本身的分析。这是对平面向量基本定理的一部分分析：应用平面向量分解定理，有助于我们判断指定向量能否用两个向量线性组合表示，但并能够帮助我们直接获得向量的线性组合式。通常情况下，在选定不共线的两个向量作基底向量后，要用它们表示指定的空间向量，必须首先结合已知条件，观察图形，然后运用向量运算法则表示向量。根据上述分析，我们自然会产生一个疑问，既然获得向量表示式的每一步都没有应用平面向量基本定理，那么为什么还要求学生学习这个定理呢？我们认为，平面向量基本定理解决的是基底向量线性表示能否实现的判断问题，而用不共线的两个向量表示指定的向量的方法是解决如何实现的问题，因此它们是紧密联系的。本课的教学重点是得出平面向量基本定理，并正确认识这一定理的重要作用。二、目标和目标解析1理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。2通过同一平面上的不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。对于向量基本定理的学习要求并不十分明确。建议：（1）通过同一平面上不同向量用同一基底表示的探究，使学生掌握平面向量的基本定理的思想或观念（不是掌握平面向量基本定理）；（2）掌握平面上选择基底和用基底表示向量的方法。3对于简单平面图形中的向量，会选择恰当的基底，将图形中的向量用基底表示出来。这是典型的行为目标描述方法，它指明了行为产生的条件：简单平面图形中的向量，行为及其结果：选择恰当的基底和将图形中的向量用基底表示出来。4通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。5平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。这一目标描述不清。主要问题是没有明确学习活动或学习结果的要求。6体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。三、教学问题诊断分析1学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆，由此可能增加向量用基底表示时的难度。2对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。3如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。4如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是进行平面向量基本定理教学的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。5利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教学中的难点。教学时，让学生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取舍。四、教学支持条件分析1数乘运算的几何意义、共线向量定理与向量加法的平行四边形法则是学习平面向量基本定理的重要基础，教学时需对学生掌握这些内容的情况进行了解，并根据情况进行适当的复习。2为便于向量分解和加强直观理解，应尽可能准备能反映向量的伸缩、向量加法与数乘运算的计算机软件（如几何画板、卡氏几何等）或图形计算器（如TI图形计算器）。五、教学过程设计问题1：任意找一首用简谱谱写的歌曲，你能找到用阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？师生活动：教师给出一些用简谱谱写的歌曲，提出问题让学生思考，归纳总结出如下结论：任何一首用简谱谱写的曲子都找不出用阿拉伯数字“8”表示的音符，但都可以用17这七个阿拉伯数字作为音符谱写出来。意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想，让学生明白任何一首曲子都可以用17这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，为用基底表示向量作铺垫，并由此感受用“元”表达事物的思想。提出这个与数学知识联系不紧密的问题让学生思考的另一个目的，是将将要学习的知识与思想寓于学生感兴趣的问题中，从而激发他们的学习欲望与热情。问题2：两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形之间有什么关系？你是如何得出这个关系的？你能从这个问题中得到一个怎样的结论？师生活动：让学生思考讨论，教师帮助学生总结出结论：“如果只考虑形状大小，任何三角形都可由它的边来确定，因此我们可以说边是构成三角形的要素（元），而三角形是三元对象”。任何数学对象都有确定它的基本要素（元），可以通过探究如何用这些要素表示数学对象，达到理解并把握这些数学对象的目的。意图：由此，使学生形成三角形的三条边是三角形这个数学对象的三个类似于向量的“基底”的元认知，明确有关三角形（忽略了位置）的问题均可以转化为关于三角形的三条边的问题。希望能将问题1中“事物元分解”的观点迁移到数学对象的认识中来，并由此引出向量的分解与基底表示的探讨。问题3：取一个与数轴方向相同的向量记为a，那么与数轴平行的所有向量与向量a有什么关系？师生活动：引导学生回顾共线向量定理，教师重新解析共线向量定理的意义与作用。意图：回顾共线向量定理，体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量的方法，明确平行向量形成“一维空间”，形成对“一元数学对象”的认识，并为探究平面向量基本定理作铺垫。问题4：取一个与数轴不平行的向量记为b，那么向量b可以表示怎样的向量？师生活动：学生思考问题4与问题3的同异点与联系，教师解析这个问题的意义与作用。意图：明确任意一个方向上的全体向量均构成“一维向量空间”，为探究选取两个不同方向的向量作平面向量的基底作准备。问题5：对平滑的斜坡上受重力下滑的物体，你能将引起下滑的重力分解成哪几个力？师生活动：学生说，教师引导并表述结论。意图：由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和，体会向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）过渡。问题6：平面向量基本定理只是提供了平面向量可用两个不共线向量线性表示的“观念”或“思想”，但它并没有说明如何表示。向量用基底表示的方法或过程实际上是向量的加减运算和数乘运算的应用（这一点在教学支持条件中“数乘运算的几何意义、共线向量定理与向量加法的平行四边形法则是学习平面向量基本定理的重要基础”已经有所说明，但不是非常明确）分别就下面的图一与图二进行探究，你能用作图的方法将向量a用向量和表示出来吗？通过上述探究，你能得出什么结果？（图一）（图2）师生活动：教师引导，学生独立探究，教师在学生的探究所获得的结论的基础上，总结出平面向量基本定理，并给出证明。意图：得出平面向量基本定理的内容。问题7：利用平面向量基本定理，你能解决下面问题吗？师生活动：教师启发引导学生思考，给出解决这一问题的严谨过程，给学生一个利用向量解决问题的示范。教师引导学生总结上述解决问题的方法的步骤，一方面使学生明确这一方法与平面几何方法的差异：由于数量及其运算的引进，使得我们的算法更容易表达和操作了；另一方面为今后学习算法留下案例，引导学生从算法的角度思考并解决问题。如图在中, , 与相交于, 求证: .解析：设，则，同时，由三个向量的终点共线，故有。所以，从而所以，。意图：这个问题是一个相当简单的问题，用相似三角形之间的比例关系就可以解决。这里的目的，是以这个熟悉而且简单的问题，让学生感受平面向量基本定理的重要作用，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。练习：问题7和随后练习的设计不是很合理。在学习平面向量基本定理之后，应该对向量基本定理中蕴涵的“元思想”或基底思想进行评价或反思（可与引入的问题相联系）。其次，应在给出平面向量问题的学习，使学生掌握选择基底和应用基底的基本方法和过程。问题7可以在学生掌握上述方法之后的延伸或提高。用向量的方法证明：顺次连结任一四边形各边中点所得的四边形为平行四边形. 问题8：如果一个问题中没有向量（结合问题7中的平面几何问题考虑），但可以考虑用向量来解决它，你会按怎样的步骤来实现？师生活动：学生先思考，让学生发表意见，教师总结出向量方法的算法步骤。意图：加深对平面向量基本定理的理解，将向量方法总结为一个算法。问题9：你能结合问题1、问题2与平面向量基本定理，谈谈你的认识吗？师生活动：学生先谈，教师给出总结：世界上具有某种共同属性的事物总有决定它的基本要素，如果我们能找出这些要素并用它来表示这一类事物，那么我们就能通过研究这些基本要素来研究这一类事物，这是一种基本方法。平面向量基本定理为我们建立了一个示范，它告诉我们，今后利用向量研究问题，我们关注更多的是基底是什么，如何将有关向量用基底表示出来。当向量用基底表示后，一个向量与其它