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复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 第一章 实第一章 实 数数 一 数的分类 一 数的分类 0 正整数 自然数 整数 有理数负整数 实数 正分数 分数 负分数 无理数 无限不循环小数 二 质数 二 质数 大于 1 的正整数 如果除了 1 和自身 没有其他约数的数就称为质数或素数 否则就称 为合数 则 则 最小的质数为 2 最小的合数为 4 1 既不是质数也不是合数 常见的质数 常见的质数 2 3 5 7 11 13 17 19 21 23 29 等 三 奇数偶数运算性质 三 奇数偶数运算性质 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 四 正整数除法中的商数与余数 四 正整数除法中的商数与余数 设正整数n被正整数除的商数为 余数为r 则可以表示为 msnmsr 和为自然数 特例 能被整除是指sr0rm nm0r 性质 能被 2 整除的数 个位数字为 0 2 4 6 8 能被 3 整除的数 各位数字之和必能被 3 整除 能被 4 整除的数 末两位 个位和十位 数字必能被 4 整除 能被 5 整除的数 个位数字为 0 或 5 能被 6 整除的数 同时满足能被 2 和 3 整除的条件 能被 10 整除的数 个位数字为 0 五 绝对值定义 五 绝对值定义 实数a的绝对值定义为 0 0 a a a a a 0 x 0 x 4 三角不等式 xy xyxy xx 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 2 0 0 特别的 a xyxyxy b xyxyxy c xyxy 0 xy d xa 的解为0a axa xa 的解为xa e xba 的解为0a baxab xba 的解为xba 六 算术平均值六 算术平均值 给定n个数 称 1 a 2 a n a 12 1 1 n n i i aaa aa nn 为这个数的算术平均值 n 七 几何平均值七 几何平均值 如果n个正数正数 称 1 a 2 a n a 12 n gn aa aa 为这个数的几何平均值 n 八 算术平均值与几何平均值的关系 算术平均值不小于几何平均值 八 算术平均值与几何平均值的关系 算术平均值不小于几何平均值 当两个正数 则ab 2 ab ab 当且仅当ab 时等号成立 常用变形 1 2 22 2abab 2 2 ab ab 九 比例性质 九 比例性质 1 更比定理 acab bdcd 2 反比定理 acbd bdac 3 合比定理 acabcd bdbd 4 分比定理 acabcd bdbd 5 合分比定理 1m acamcac bdbmdbd 6 等比定理 aceacea bdfbdfb 十 指数十 指数 1 2 mnm aaa nnmnm aaa 3 mnmn aa 4 5 mm aba b m m m m aa bb 6 1 m m a a 7 1 n n a a 8 m nm n aa 9 1 m n nm a a 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 十一 指数函数十一 指数函数 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 指数函数的图象与性质 指数函数的图象与性质 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 3 a 1 0 a 1 图 像 1 定义域 R 2 值域 0 3 过点 0 1 即 x 0 时 y 1 图 像 性 质 4 在 R 上是增函数 4 在 R 上是减函数 十二 对数 十二 对数 logayN 且0a 1a 1 对数恒等式 log y a yNN a logaN Na 更常用 lnN Ne 2 log loglog aaa MNM N 3 log loglog aa M a MN N 4 loglog n aa Mn M 5 1 loglog n a a MM n 5 1 loglog n aaM n 6 换底公式 log lo M Mg log b a b M a 以b为底 7 1 lo 8 log log a b b a g 10 a log1 aa 十三 对数函数 十三 对数函数 函数logayx a 0 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域是 0 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 对数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 a 1 0 a 1 图 像 1 定义域 0 2 值域 R 3 过点 1 0 即 x 1 时 y 0 图 像 性 质 4 在 0 上是增函数 4 在 0 上是减函数 第二章 整式第二章 整式 一 常用的基本公式一 常用的基本公式 1 平方差 22 abab ab 2 2 完全平方和 22 2abaabb 完全平方差 2 22 2abaabb 特别的 2 2 2 11 2xx xx 3 3 项和的平方 2222 2abcabcabacbc 4 立方和 立方差 3322 abab aabb 3 33abaa babb 33223 33abaa babb 3322 abab aabb 5 和的立方 差的立方 3322 1 ab aababb 6 次方的差 ab n 1232 nnnnnn 特别的 12 1 1 1 nnn xxxxx 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 4 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 第三章 一元二次方程及不等式第三章 一元二次方程及不等式 一 一元二次函数图像一 一元二次函数图像 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 5 c 2 4ba 0 0 0 的根 1 2 2 b x a 1 2 b x 0f x 2a 方程无实根 0f x 的解集 1 xx 2 b x a x为一切实数 0f x 的解集 12 xxx x不存在 x不存在 二 韦达定理的扩展及其应用 韦达定理的对称轮换式变形二 韦达定理的扩展及其应用 韦达定理的对称轮换式变形 1 韦达定理 若 韦达定理 若 1 x 2 x是方程是方程 2 0axbxc 的两个根 则有的两个根 则有 12 12 b xx a c x x a 2 韦达定理的对称轮换式变形 韦达定理的对称轮换式变形 1 222 12121 2 2 xxxxx x 2 22 12121212 x 4xxxxxx x 方程两根之差的绝对值 3 22 121212 xxxxxx 4 12 1212 11xx xxx x 5 2 1212 222 1212 211 xxx xxx x x 6 33222 121211 2212121 2 3 xxxxxx xxxxxxx x 7 33222 121211 2212121 2 xxxxxx xxxxxxx x 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 第四章 数第四章 数 列列 一 数列的基本概念一 数列的基本概念 1 定义 定义 依一定顺序排列的一列数叫做数列 数列中的每一个数都叫这个数列的项 数列的一般表达形式为 或简记为 1231 nn a a aa a n a 其中 叫做数列 n a n a的通项通项 下标为自然数叫做数列的项数 n 如果通项与项数之间的函数关系 可以用一个关于的关系式 n ann f n表示 则称 n af n 为数列 n a的通项公式通项公式 2 数列的前 数列的前n项和项和 n S 即 显然有 12nn Saaa 1 1 n nn a a SS 1 2 n n 此式为与的关系式 n a n S 二 等差 等比数列性质对比记忆二 等差 等比数列性质对比记忆 对比方面 等差数列 等比数列 定义 1nn aad 1 n n a q a 0q 通项公式 1 1 n anad 1 1 n n a qa 1 1 2 n n aa nS 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 6 前 n 项和 公式 2 1 1 2 n nn dSn a 2 1 22 dd na n 1 1 1 n n aaq q S 1q 2 1 1 1 n n aq q S 1 1 a q 1 q 公差 公比 性质 nm aa d nm 或 nm aanm d n m n m a a q 或 n m nm a qa 若项数 满足 则 mnpq mnpq mnp aaaa q 项数性质 特例 12132nnn aaaaaa q 若项数 满足mnp mnpq 则 mnpq aaaa 特例 12132nnn aaaaaa 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 7 2bac ac与 11 2 rrr s aaaaa 如果三个非零数成等比数列 则 a b c 2 acb 称b为的等比中项 ac与 1 2 11rrrr sr aaaaa 如果三个数成等差数列 则 称b为的等差中项 a b c s 2rmn2 如果等比数列项数 中项性质 1 rr s rmn n 则 2 rm aaa 2 如果等差数列项数2 2 rmn aaa 则 常用 11 22 nrn r n n aan aa S 部分和性 质 当项数满足 ab cd ef 等差数列 则 abcdef a aaaaa 仍成等差数列 当项数满足 成 等差数列 则 ab cd ef abcdef aa aa aa 仍成等 比数列 阶段和性 质 12n aaa 12nn aaa 2n aaa 21223nnn 2n aaa 即 也是等差数列 公差为 232 nnnnn SSSSS 2d n 12n aaa 12nn aaa 21223nnn 即 232 nnnnn SSSSS 也是等比数列 公 比为 n q 0abc 1 即成等差又成等比 则 a b c 2 已知数列 n a为等差数列 则数列 n a a是等比数列 且其首项为 公比为 1 a a d a 3 已知数列 n a为各项为正的等比数列 则数列 loga n a为等差数列 且其首项为 公差为 1 logaalogaq 补充性质 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 第五章 排列组合与概率第五章 排列组合与概率 一 基本原理一 基本原理 1 加法原理 分类计数原理 加法原理 分类计数原理 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 8 n m 如果完成一件事有类办法 只要选择其中的任何一种方法 就可以完成这件事 若在第 一类办法中有种不同的方法 第二类办法中有种不同的方法 在第n类办法中有 种不同的方法 那么完成这件事共有 n 1 m 2 m 12n Nmmm 种不同的方法 2 乘法原理 分步计数原理 乘法原理 分步计数原理 如果完成一件事 需要依次连续地分为n个步骤 若完成第一个步骤有种不同的方法 完成第二个步骤有种不同的方法 完成第步有种不同的方法 那么完成这件事 共有种不同的方法 1 m 2 mn n m 12n Nmmm 二 排列与排列数公式二 排列与排列数公式 1 排列 无重复排列 的定义 排列 无重复排列 的定义 若从n个不同的元素中 任取 mmn 个元素 按照一定的顺序排成的一列 叫做从个 不同元素中任取个元素的一个排列 n m 2 排列数 排列数 若从n个不同的元素中取出个元素 mmn 的所有排列的种数 称为从个不同元素中 取出个不同元素的排列数 记作 当 n m m n Pmn 时 称作n个元素的全排列 也叫的阶乘 即 通常用符号表示 n n n P n 3 排列数公式如下 排列数公式如下 1 2 1 m n n Pn nnn nm m 4 全排列数 全排列数 12 n n Pnnnn2 1 5 允许重复的排列 允许重复的排列 设每次从n个不同的元素中任取 1 个 取后放回 共取次 则这个取出的元素排成一行 的不同排法有种 mm m n 三 组合与组合数公式三 组合与组合数公式 1 组合的定义 组合的定义 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 9 从个不同的元素中 任意取出nm mn 个元素并成的一组 叫做从n个不同的元素中任 取个元素的一个组合 m 2 组合数 组合数 从个不同的元素中 取出nm mn 个元素的所有组合的总数 称为从个不同元素中 取出m个元素的组合数 记作 n m n C 3 组合数公式 组合数公式 1 2 1 m m n n Pn nnnmn C mmm nm 注 两个规定 C C 0 0 n 1 n n 组合数常用性质 C CC mn nn m C C 1 1 mmm nnn 四 概率初步基本概念四 概率初步基本概念 1 必然事件 不可能事件与随机事件 必然事件 不可能事件与随机事件 必然事件 每次试验必发生的事件 记为 不可能事件 每次试验中都不可能发生的事情 记为 随机事件 在试验中可能发生也可能不发生的事件 常用A B C 表示 2 事件的图形表示 利用集合中的 事件的图形表示 利用集合中的Venn图来表示图来表示 将必然事件必然事件 画为一个矩形矩形 将一般的随机事件随机事件A画为矩形 内的一块平面区域一块平面区域 当随机点落入区域A时表示事件A发生 当随机点并未落入 区域A时表示事件A不发生 将不可能事件不可能事件 画为空区域空区域 随机点不会落入空区域 事件的包含包含 若事件A的发生必然导致事件B发生 则称事件B包含事件A 记为AB 或BA 3 随机事件的运算及图形表示 随机事件的运算及图形表示 事件的运算 设A与B是两个随机事件 事件的加法加法 AB 或记 AB AB A与B中至少有一个发生 用Venn图表示为 A图形与B图形的并 所以A加B又称A与B的并 事件的减法 减法 AB 定义为AB A发生但B不发生 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 用Venn图表示为 在A图形中挖去它与B图形的 公共部分 事件的乘法 乘法 AB或 AB 定义为AB A发生B也发生 用Venn图表示为 A图形与B图形的相交部分 所以AB也称A与B的交交 事件A的逆事件逆事件或对立事件对立事件A定义为 A A不发生 用图表示为 在Venn 的矩形中挖 去A图形 4 事件间的相互关系 事件间的相互关系 设 A B为两个随机事件 1 若事件A与事件B不能同时发生 即AB 则称事件A与事件B互斥互斥或互不相容互不相容 从Venn图上看 图形A与图形B分离 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 10 2 若事件A与事件B满足AB 则称事件A与事件B互补互补 从Venn图上看 图形A与图形B的并为必然事件 3 若事件A与事件B既互斥又互补 就称 事件A与B互逆互逆或对立对立 即A不发生时必发生B B不发生时A必发生 A B互逆 BA AB 五 概率的计算五 概率的计算 1 常用的概率运算性质 常用的概率运算性质 加法公式 加法公式 设A与B是两个随机事件 则 P ABP AP BP AB 特别 当A与B互不相容即互斥时 成立 P ABP AP B 即 P ABP AP B 逆事件概率公式 逆事件概率公式 记A的逆事件即对立事件为A 则 1 P AP A 特别 因为由德摩根定律 ABAB ABAB 所以有 1 P ABP AB 1 P ABP AB 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 2 三种常见事件的概率计算 三种常见事件的概率计算 等可能事件的概率 古典概率 等可能事件的概率 古典概率 设随机试验一切试验结果 样本点 基本事件 只有有限个 而且每个发生等可能 这样的随机试验模型称为古典概率模型古典概率模型 这一模型中任一事件A的概率定义为 P A mA P A n 包含的基本事件个数 基本事件的总数 相互独立事件的概率相互独立事件的概率 设随机事件A和B满足概率关系 P ABP A P B 就称事件事件A与事件与事件B相互独立相互独立 N 次独立重复试验的二项概率公式 次独立重复试验的二项概率公式 在成功率为 01 的n次独立重复试验中恰好成功次的概率为 pp 任意两边之差小于第三边 即abc 4 三角形中位线 三角形两边中点的连线平行于第三边 且等于第三边边长的一半 5 三角形面积公式 11 sin 22 ahabCp papbpcS 其中 1 2 abcp 其中 是边上的高 C是边的夹角 为三角形的半周长 ha a bp 6 三角形四心 内心 三条内角平分线的交点 三角形内切圆的圆心 外心 三条边的垂直平分线的交点 三角形外接圆的圆心 重心 三条中线的交点 垂心 三条高线的交点 三角形分类 三角形分类 1 直角三角形 直角三角形 有一个内角为直角的三角形 勾股定理 在直角三角形中 角ABCC 为直角 则有ca 222 b b c 2 常见的勾股数 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 等 勾股定理推论 设三角形三边a中最大的为 则 c 直角三角形 锐角三角形 22 cab 22 cab2 2 三种情况下 最大边对应的三角形的最大内角分别为直角 锐角和钝角 c 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 射影定理 直角三角形中 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 如图 直角三角形中 角为直角 斜边ABCC AB 上的高CD分斜边为AD和BD 则有 2 CDADBD 2 ACADA B 2 BCBDB A 2 等腰直角三角形 等腰直角三角形 两直角边长度相等的直角三角形 有一内角为45或 4 的直角三角形 1 边长比关系 1 1 2 2 面积公式 2 11 24 Sac 2 其中为直角边 为斜边 ac 3 角为的直角三角形 角为的直角三角形 其中角所对的直角边边长为斜边边长的一半 30 30 则三边边长比关系为 1 3 2 4 等腰三角形 等腰三角形 有两个边的长度相等的三角形 或有两个内角相等的三角形 5 等边三角形 正三角形 等边三角形 正三角形 三角形三个边长度都相等的三角形 或三个内角都为的三 角形 60 面积公式 2 3 4 S a ABCA B C 其中为边长 a 两三角形全等 相似 两三角形全等 相似 1 两个三角形全等全等 其含义为两三角形的大小与形状完全一致 性质 1 两全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 判定两三角形全等的充分条件 两三角形有 2 条边及其夹角对应相等 两三角形有 2 只角及其夹边对应相等 两三角形的三条边对应相等 2 两三角形相似相似 ABC A B C 其含义是两三角形的图形是放大 缩小关系 性质 1 以下都是相似三角形的性质 两相似三角形对应边长成比例 称为相似比 对应角相等 两相似三角形的对应线段的比等于相似比 两相似三角形的周长比等于相似比 两相似三角形的面积比等于相似比的平方 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 13 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 2 以下都是两三角形相似的充分条件 两三角形有一个内角对应相等 其两夹边对应成比例 两三角形有 2 组内角对应相等 两三角形的 3 条边对应成比例 三 四边形三 四边形 1 平行四边形 两对对边分别平行的四边形称为平行四边形平行四边形 性质 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 14 h 1 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分 2 一对对边平行且相等的四边形是平行四边形 3 平行四边形的面积为底乘高 ABCD Sa 特例 四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形 即为菱形菱形 且菱形的对角线互相垂直 对角线平分顶角 2 内角都是直角的四边形称为矩形 长方形 矩形 长方形 性质 1 两对角线相等且互相平分 即 2222ACBDAEECBEDE 2 矩形的面积等于长乘宽 即 ABCD SCD BCab 3 四边相等的矩形称正方形正方形 则对角线相互垂直还平分顶角 2 ABCD Sa 3 只有一对对边平行的四边形称为梯形梯形 平行的两边称为梯形的 上底上底与下底下底 梯形两腰中点的连线MN称为梯形的中位线中位线 性质 1 梯形的中位线 1 2 MNa b 2 梯形的面积等于中位线与高的乘积 即 1 2 ABCD Sa b h 四 圆四 圆 角的弧度制 圆心角所对弧长与半径的比值叫该圆心角的弧度数 即 圆心角弧度数 l r 其中 为圆心角所对的弧长 为圆半径 lr 度数与弧度数的换算关系 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 1 弧度 180 1 180 弧度 常用的度与弧度的对照值 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 定义 与定点A距离等于的平面上动点的轨迹称为以rA为圆心 半径为r的圆圆 性质 如图在圆O中 半径为 线段是过圆外点r 1 AB AB2A的两条切线 则 1 半径为的圆 面积等于r 2 r 圆周长等于2 r 2 直径所对的圆周角是直角 3 弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半 4 等弧对等角 圆周角 圆心角 5 圆的切线在切点处与半径垂直 6 从圆外一点所作圆的两根切线相等 即 12 ABAB 五 扇形五 扇形 扇形的弧长 2 360 lr r 扇形的面积公式 2 1 2360 Slrr 注 为扇形圆心角的弧度数 为圆心角的角度数 弓形面积 AOB SSS 弓形ACB扇 六 坐标六 坐标 1 平面直角坐标系 象限及平面内点的坐标 平面直角坐标系 象限及平面内点的坐标 表示为 P x y 其中 x为点的横坐标 为点的纵坐标 y 象限中的点坐标关系如右图所示 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 15 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 2 两点间距离公式 两点间距离公式 两点及 AA A xy BB B xy间的距离d为 22 ABAB xyy dx 特别地 点与坐标原点O的 P x y 0 0 距离为d 22 dxy 3 中点公式 中点公式 设 AA A xy BB B xy 则线段AB的中点的 坐标为 CC C xy 1 2 CAB xxx 1 2 CA yyy B 4 定比分点 定比分点 设两点 AA A xy BB B xy 点是线段PAB或其延长线的 一点 并且分AB的定比为 1APPB 且 则点的坐标为 P 11 ABAB xxyy 七 平面直线七 平面直线 1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 直线与x轴正方向的夹角 记为 且 01 80 直线的斜率 反映直线的倾斜程度 记为 tank 90 常见直线倾斜角所对应的直线斜率值 150 120 60 0 30 45 135 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 16 1 3 1 3 3 tan 11 0 3 2 斜率计算公式 斜率计算公式 经过点和 AA A xy BB B xy的直线L 的斜率为tan BA BA yy k xx 3 直线方程的常见形式 直线方程的常见形式 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 1 水平直线与竖直直线 过点 00 xy的水平直线为 0 yy 竖直线为 0 xx 2 直线的点斜式 00 yyk xx 表示 斜率为k且过点 00 xy的一条直线 3 直线的斜截式 ykxb 表示 斜率为k且与y轴相交于点的直线 0 b 其中称b为直线的纵截距 4 直线的两点式 AA BAB yyxx yyxx A 求过点与 AA A xy BB B xy的直线方程 因为直线AB的斜率为 BA BA yy k xx 把直线AB看做经过点 AA xy且斜率为 B BA yy k A xx 直线 按直线的点斜式 则方程为 BA AA BA yy yyxx xx 常把这一方程写成关于A和B的对称形式 A BAB yyxx yyxx A A 此时为直线的两点式 5 直线的截距式 1 xy ab 表示 直线与x轴及轴都相交且直线与 y x轴交于点 与轴交于点 0 ay 0 b 称为直线的横截距横截距 b为直线的纵截距纵截距 a 地址 复旦大学南区国权路 533 号 电话 021 55664550 网址 17 复旦求是 MBA MPAcc 考前辅导办公室 6 直线的一般方程 0AxByC A与B不全为 0 若 方程则为水平直线0A C y B 若 方程则为竖直直线0B C x A 若 直线经过点 0 0C 0 若 则方程可改写为0B AC yx BB 此时 直线的斜率为 A k B 纵截距为 C y B 横截距为 C x A 4 两直线的夹角公式 两直线的夹角公式 设直线