2010年高考数学专题十三 化归与转化.doc

专题十二 化归与转化的思想【考点聚焦】转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。【自我检测】1（2006辽宁）设集合,则满足的集合B的个数是（ C ）(A)1 (B)3 (C)4 (D)82函数f(x)=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是 .0b13( 2006湖南）已知则的最小值是 5 .4已知正三棱锥SABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为300，过底面顶点A作截面AMN交侧棱SB、SC分别于M、N，则AMN周长的最小值为 。【重点难点热点】问题1 函数与方程的转化例1 已知二次函数f（x）=ax2+2x2a1，其中x=2sin（0）若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围【分析】注意00，1b0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1） 求点P的轨迹H的方程;（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0q ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？21( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.（）试证：CD平面BEF;（）设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围. 【答案及点拨】1 C2 A 点拨:依题意，a1a2001，故选A3 C4 A 点拨:方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为； 方法2：求出不等式的解集：4；5 C6 B 点拨:中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选B.7 C8 B 点拨:若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=1种；总计有，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有210=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有35=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有41=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.9 A点拨: 本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解,同时还考查了转化能力.，即：，所以，故选择答案A。10 B11 212 点拨:不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.13 35 点拨:如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，同理其余两对的和也是，又， =3514 a=或a115 点拨：连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，如图所示，A1C1BC连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得A1C1C90又BC1C45A1C1C135 由余弦定理可求得A1C16 2n+1-2 点拨:应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点,否则容易出错.，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-217提示 f(x)=3x23=3(x1)(x+1) 易确定f(1)=2是极大值，f(1)=2是极小值 当2ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x，原点距l的距离为，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0q）则2sin（）当q时，上式达到最大值。此时a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S|y1|y2|y1y2|设直线m的方程为xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韦达定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk211，得4S2，当t1，k0时取等号.因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大.21 解法一：（）证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EFPD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（41）图（）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在PAC中易知ECPA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如图）.连结GD.因SCBD=BDGH=GBOF.故GH=.在ABD中，因为ABa,AD=2A,得BD=a第（41）图而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH= 因此tanEHG=由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值范围为k解法二：（）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), =0,故 .设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 E.从而=.=0,故.由此得CD面BEF.（）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PAkAB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x2y=a 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故，即2x+y=2a 由解得x=a,y=a,从而，a.tanEHG=.由k0知，EHC是锐角，由EHC得tanEHGtan即故k的取值范围为k.【