多元微分学.doc

多元函数的微分学* 关于多元函数的概念，应注意如下几点：1、 与一元函数一样，二元及二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，而与用什么字母表示自变量、因变量无关。2、 二元函数的定义域是平面上的一个区域，二元函数的图形是一张曲面。在求较复杂的多元函数的定义域也和一元函数一样，先写出各部分的简单函数的定义域，再解联立不等式组，即得到所求多元函数的定义域。* 一元函数极限与二元函数极限的区别：1、 前者的动点的方式只有三种：和左右跳动趋向；而后者的动点是平面上的点其方式有无穷多种；2、 二元函数的极限要求点Q（x，y）以任何方式，任何方向，任何路径趋向时，均有，如沿两条不同的路径，不相等，则可断定不存在。这是证明多元函数极限不存在的有效方法。* 关于二元函数的连续性，应注意以下几点：1、 二元函数在点处连续的的三个条件：a在点的某领域内有定义；b 存在 c这三个条件缺一不可，否则，在点处不连续。2、 一元函数只有间断点，二元函数不仅可能有间断点，还可能有间断线。* 关于偏导数，全导数及全微分，应注意如下几点：1 函数在点处的偏导数或与偏导数或是两个不同的概念，函数在点处的偏导数，就是偏导函数在该点的函数值。求分段函数在“分界点”处的偏导数时，必须用偏导数的定义来求。2 一元函数的导数可以理解为与之商，称之为“微商”，但在多元函数中，就不能理解为与之商，只能将作为一个整体来理解。3 只有一个自变量的复合函数才存在全导数，有两个或两个以上自变量的复合函数只存在偏导数。4 二元函数连续，可导（两个偏导数存在）与可微三者的关系： 二元函数在一点可微是可导和连续的充分条件，可导仅是可微的必要条件，可导与连续之间即非充分又非必要条件。存在极限 连续 偏导数存在 可微多元函数的微分学一、有关二元函数的概念与性质等的命题1、 设 ， 则下列结论中正确的是（ ）A）在点（0，0）连续，偏导数，不存在，在（0，0）不可微B）在点（0，0）连续，偏导数，存在，在（0，0）不可微C）在点（0，0）不连续，偏导数，存在，在（0，0）可微D）在点（0，0）连续，偏导数，存在，在（0，0）可微2、设为x 的可微函数，为y的可微函数。且与具有二阶偏导数，若已知，则可以是A） B）C） D）3、设f(x)为区间-1，1上的连续函数，则A） B） C） D） 4、已知为某二元函数的全微分，则a与b的值分别是（ ）A）-2与2 B）2与-2C）-3与3 D）3与-35、设函数，有，且，则为（）A） B）C） D）二、求二重极限 解题提示：求二元函数f(x,y)的极限的常用方法有：1.利用函数连续的定义及初等函数的连续性；2.利用有界函数与无穷小的积的性质；3.通过恒等变形化不定式为定式；4.利用极限四则运算的性质5.利用夹逼准则6.通过适当的变量置换，再利用一元函数中已知的极限公式；7.通过限制方式(特殊路径)，证明极限不存在1、 下列函数的极限（1） （2） （3） , 2、 判断下列函数的极限是否存在？ （1）三、求简单显函数的偏导数解题提示：求简单显函数的偏导数，如求时，将y，z当作常数，利用一元函数的求导公式及求导法则，即可求得。注意，符号表示先对x 求导再对y 求导。1.设函数，求。2、设，求 。 四、求复合函数的偏导数及全微分（重点）解题提示：在求复合函数的偏导数时关键在于弄清函数的复合关系，而且注意函数f对中间变量u,v,w的偏导数仍是以u,v,w为中间变量，x,y为自变量的复合函数，对它们求偏导数时，须重复使用复合函数求导法则。 1、设，则2、设，f 具有连续的二阶导数，求 。3、设，f 具有连续的二阶导数，求。4、设，求5、设u = u(x,y)有二阶连续偏导数，且满足方程及求 .6、设变换可把方程简化为，其中z具有二阶连续偏导，求常数a。7、设，试求数a使8、设w = f ( t )，,其中具有连续的二阶导数及偏导数，求五、求隐函数的偏导数和全微分（重点） 解题提示：隐函数求偏导有三种方法：公式法；直接法（即对方程两边直接求偏导）；微分法（即对方程两边直接求微分），用什么方法求解要据题目的特点而定。1、设xy +yz +zx = 1 ,求2、 设，求！3、设，其中z = z(x,y) 是由 x + y + z + xyz = 0 所确定，求4、设，求在点（1，0，-1）处的全微分dz 。5、设 z = f(u) 是可微函数，函数可微，且，p(t)是连续函数，并且满足，试求6、设，求7、设，其中函数可微，且满足，求8、设，其中都有一阶连续偏导数，且，求9、设，证明：六求函数的方向导数与梯度解题提示：求函数的方向导数与梯度，直接用方向导数的计算公式和梯度概念及其计算公式。注意：梯度方向是方向导数取最大值的方向，梯度的模是最大方向导数的值。梯度是一个向量，方向导数是一个数。1、设是曲面在点p（1，1，1）处的指向外侧的法向量，求函数在点p处沿方向的方向导数。2、函数在点p（1，2，-4）沿曲线在此点的切向量方向上的方向导数。！3、问函数在点p（1，1，1）处，沿哪个方向的方向导数最大？并求最大值。4、设函数，直线L是直线在平面上的投影，试求函数u 在沿直线L的方向的导数（规定L与x轴正向夹角为锐角）七、求多元函数的极值（重点）、求多元函数的无条件极值解题提示：求此类极值时，首先求出可疑的极值点，包括驻点及偏导数不存在的点，然后对可疑点进行判别。一般有两种方法： 利用二阶偏导数之间的关系和符号（及函数取极值的充分条件）判断是否取极值以及该极值的类型； 配方法，适用于多项式或类似于多项式的函数类型。1、求由所确定的极值。2、求由确定的极值。3、设x , y , z为实数，且满足关系式，求证。 、求多元函数的条件极值解题提示：求多元函数的条件极值的基本方法有：将其化为无条件极值问题求解 利用拉格朗日乘数法求解！1、求函数在球面 上的最大值。并以此结果证明，对于a0,b0,c0,有 2、求函数在条件之下的最大值和最小值。3、设有曲线L，求L在xoy上的投影，并求L上的z坐标的最大值和最小值。4、求抛物面与平面 x + y 2z 2 = 0之间的最短距离。练习题1、设，其中f,g 均可微，则= 。2、设可微函数x (u, y) 与v (u, y) 满足u = f (x, v) 与 x = g (v, y) ，f和g 是可微函数，求 。3、设而 z = z (x, y) 是由方程所确定的隐函数，求证 。4、设 y = f ( x, t )，而t (x , y) 是方程F (x, y , t ) = 0所确定的函数，证明 。5、设 z = f ( 2x-y) + g ( x , 2y )，其中函数f（t）二阶可导，g（u , v）有连续二阶偏导数，求 。6、设，求，其中有二阶偏导数。7、设z = f(u, x, y ), ，其中f具二阶连续偏导数，求。8、 求在点（-1，1，3）处沿函数值减小最快的方向 。！9、 适当选取a，b，使方程在线性变换下化为方程。10、 设两个正数x